١) الفكرة الأساسية

هندسة الإحداثيات تربط بين الجبر والهندسة عن طريق تمثيل النقاط والأشكال على المستوى الإحداثي.

المستوى الإحداثي يتكون من محورين:

محور س: أفقي.

محور ص: رأسي.

ويلتقي المحوران عند نقطة الأصل:

٢) قراءة النقطة الإحداثية

تكتب النقطة دائمًا بالصورة:

العدد الأول هو إحداثي س، والعدد الثاني هو إحداثي ص.

مثال

النقطة:

تعني أن س = ٤، وص = −٢.

٣) كيف أتحرك إلى النقطة؟

إحداثي س يحدد الحركة الأفقية:

الموجب ← إلى اليمين.

السالب ← إلى اليسار.

إحداثي ص يحدد الحركة الرأسية:

الموجب ← إلى الأعلى.

السالب ← إلى الأسفل.

٤) الأرباع الأربعة

يقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع.

الربع الأول: س موجب، ص موجب.

الربع الثاني: س سالب، ص موجب.

الربع الثالث: س سالب، ص سالب.

الربع الرابع: س موجب، ص سالب.

٥) طريقة سريعة لحفظ الأرباع

ابدأ من الربع الأول أعلى اليمين، ثم تحرك عكس اتجاه عقارب الساعة:

الأول: (+، +).

الثاني: (−، +).

الثالث: (−، −).

الرابع: (+، −).

٦) النقطة الواقعة على محور

إذا كان إحداثي س = ٠، فالنقطة تقع على محور ص.

إذا كان إحداثي ص = ٠، فالنقطة تقع على محور س.

إذا كان الإحداثيان كلاهما صفرًا، فهي نقطة الأصل.

مثال

النقطة:

تقع على محور ص، ولا تقع في أي ربع.

٧) المسافة الأفقية

إذا كانت قيم ص متساوية في النقطتين، فالقطعة أفقية.

نحسب المسافة بطرح إحداثيي س وأخذ القيمة الموجبة:

مثال

النقطتان:

و:

المسافة:

٨) المسافة الرأسية

إذا كانت قيم س متساوية في النقطتين، فالقطعة رأسية.

نحسب المسافة بطرح إحداثيي ص وأخذ القيمة الموجبة:

مثال

النقطتان:

و:

٩) المسافة بين نقطتين عامتين

إذا اختلف كل من س وص، نستخدم قانون المسافة:

وهو تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس.

١٠) فهم قانون المسافة بفيثاغورس

الفرق بين إحداثيي س يمثل ضلعًا أفقيًا.

والفرق بين إحداثيي ص يمثل ضلعًا رأسيًا.

والمسافة بين النقطتين هي وتر المثلث القائم.

مثال

النقطتان (١، ٢) و(٥، ٥).

الفرق الأفقي:

الفرق الرأسي:

إذن:

١١) تكتيك ٣، ٤، ٥

إذا كان الفرق الأفقي ٣ والرأسي ٤، أو العكس، فالمسافة مباشرة ٥.

وهذا يختصر وقت الحساب في أسئلة القدرات.

١٢) نقطة المنتصف

نقطة المنتصف هي النقطة الواقعة في منتصف القطعة بين نقطتين.

إذا كانت النقطتان:

و:

فإن المنتصف:

١٣) كيف أحسب المنتصف بسرعة؟

المنتصف يعني متوسطين:

متوسط إحداثيي س.

ومتوسط إحداثيي ص.

مثال

بين النقطتين (٢، ٤) و(٨، ١٠):

إذن المنتصف:

١٤) إيجاد نقطة مجهولة من المنتصف

يمكن استخدام قانون المنتصف بالعكس إذا عرفت نقطة والمنتصف وأردت النقطة الأخرى.

مثال

منتصف القطعة بين أ(٢، ٤) وب هو (٥، ٧).

لإحداثي س:

ولإحداثي ص:

إذن النقطة الأخرى:

١٥) الميل

الميل يقيس مقدار صعود أو نزول المستقيم عند التحرك أفقيًا.

قانون الميل بين نقطتين:

أي:

التغير الرأسي ÷ التغير الأفقي.

١٦) مثال على الميل

النقطتان (١، ٢) و(٥، ١٠).

١٧) معنى إشارة الميل

ميل موجب: المستقيم يصعد من اليسار إلى اليمين.

ميل سالب: المستقيم ينزل من اليسار إلى اليمين.

ميل صفر: المستقيم أفقي.

ميل غير معرف: المستقيم رأسي.

١٨) المستقيم الأفقي

في المستقيم الأفقي تكون قيمة ص ثابتة.

مثال:

و:

بما أن ص متساوية، فالمستقيم أفقي وميله:

١٩) المستقيم الرأسي

في المستقيم الرأسي تكون قيمة س ثابتة.

مثال:

و:

لأن الفرق في س يساوي صفرًا، يصبح مقام قانون الميل صفرًا، ولذلك الميل غير معرف.

٢٠) مساحة مستطيل من إحداثيات رؤوسه

إذا كانت أضلاع المستطيل موازية للمحورين، يمكن إيجاد الطول والعرض من فروق الإحداثيات.

مثال

رؤوس مستطيل:

(١، ٢)، (٧، ٢)، (٧، ٥)، (١، ٥).

الطول الأفقي:

العرض الرأسي:

المساحة:

٢١) محيط مستطيل من الإحداثيات

بعد إيجاد الطول والعرض بالطريقة نفسها، يمكن استخدام قانون المحيط.

مثال

إذا كان الطول ٦ والعرض ٣:

٢٢) ترتيب الطرح في قانون الميل

يمكنك البدء بأي نقطة، لكن يجب أن تستخدم الترتيب نفسه في البسط والمقام.

إذا استخدمت:

فيجب أن تستخدم:

ولا تعكس واحدًا دون الآخر.

٢٣) المسافة لا تكون سالبة

المسافة طول، ولذلك لا يمكن أن تكون سالبة.

في المسافة الأفقية أو الرأسية استخدم القيمة الموجبة للفرق.

وفي قانون المسافة العام، التربيع يجعل النتيجة النهائية موجبة.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الربع

في أي ربع تقع النقطة (−٤، ٦)؟

أ) الأول
ب) الثاني
ج) الثالث
د) الرابع

مثال ٢ — المسافة الرأسية

ما المسافة بين (٢، ٣) و(٢، ٩)؟

أ) ٣
ب) ٥
ج) ٦
د) ١١

مثال ٣ — المنتصف

ما منتصف القطعة بين (٢، ٤) و(٦، ٨)؟

أ) (٢، ٢)
ب) (٤، ٦)
ج) (٦، ٤)
د) (٨، ١٢)

مثال ٤ — الميل

ما ميل المستقيم المار بالنقطتين (١، ٢) و(٥، ١٠)؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٤
د) ٨

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

النقطتان أ(−١، ٢) وب(٥، ١٠). ما إحداثيات المنتصف وما ميل المستقيم أ ب؟

أ) المنتصف (٢، ٦)، والميل
ب) المنتصف (٣، ٦)، والميل
ج) المنتصف (٢، ٤)، والميل ٢
د) المنتصف (٤، ٦)، والميل

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: عكس ترتيب الإحداثيات؛ النقطة تكتب (س، ص)، وليس (ص، س).

الخطأ الثاني: الخلط بين الربع الثاني والرابع.

الخطأ الثالث: نسيان أن النقطة التي تقع على محور لا تقع في أي ربع.

الخطأ الرابع: جعل المسافة سالبة.

الخطأ الخامس: في المنتصف، نسيان القسمة على ٢.

الخطأ السادس: الخلط بين المستقيم الأفقي والرأسي؛ الأفقي ص ثابت، والرأسي س ثابت.

الخطأ السابع: عكس ترتيب الطرح في بسط الميل دون عكسه في المقام.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: في النقطة (س، ص)، الأول أفقي والثاني رأسي.

التكتيك الثاني: ص متساوية ← المسافة أفقية، اطرح قيم س فقط.

التكتيك الثالث: س متساوية ← المسافة رأسية، اطرح قيم ص فقط.

التكتيك الرابع: الفرقان ٣ و٤ ← المسافة ٥ مباشرة.

التكتيك الخامس: المنتصف = متوسط س ومتوسط ص.

التكتيك السادس: الميل = التغير الرأسي ÷ التغير الأفقي.

التكتيك السابع: ص ثابت ← ميل صفر؛ س ثابت ← ميل غير معرف.

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

في أي ربع تقع النقطة (٥، −٣)؟

أ) الأول
ب) الثاني
ج) الثالث
د) الرابع

سؤال ٢

في أي ربع تقع النقطة (−٢، −٧)؟

أ) الأول
ب) الثاني
ج) الثالث
د) الرابع

سؤال ٣

النقطة (٦، ٠) تقع على:

أ) محور س
ب) محور ص
ج) الربع الأول
د) الربع الرابع

سؤال ٤

ما المسافة بين (−٢، ٤) و(٦، ٤)؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٥

ما المسافة بين (٣، −٢) و(٣، ٧)؟

أ) ٥
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ٦

ما المسافة بين (١، ٢) و(٥، ٥)؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٧

سؤال ٧

ما منتصف القطعة بين (٤، ٢) و(٨، ١٠)؟

أ) (٦، ٦)
ب) (٤، ٨)
ج) (١٢، ١٢)
د) (٢، ٤)

سؤال ٨

منتصف القطعة بين (٢، ٤) والنقطة ب هو (٥، ٧). ما ب؟

أ) (٣، ٣)
ب) (٦، ٨)
ج) (٨، ١٠)
د) (١٠، ١٤)

سؤال ٩

ما ميل المستقيم المار بالنقطتين (٢، ٣) و(٦، ١١)؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٤
د) ٨

سؤال ١٠

ما ميل المستقيم المار بالنقطتين (٢، ٦) و(٩، ٦)؟

أ) ٠
ب) ١
ج) ٦
د) غير معرف

سؤال ١١

المستقيم المار بالنقطتين (٤، ٢) و(٤، ٩) هو:

أ) أفقي وميله صفر
ب) رأسي وميله غير معرف
ج) مائل وميله ١
د) مائل وميله −١

سؤال ١٢

مستطيل رؤوسه (١، ٢)، (٧، ٢)، (٧، ٥)، (١، ٥). ما مساحته؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٣٠

سؤال ١٣

للنقطتين أ(−١، ٣) وب(٣، ٦)، ما المسافة بينهما؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

سؤال ١٤

إذا كان ميل مستقيم سالبًا، فكيف يتحرك من اليسار إلى اليمين؟

أ) يصعد
ب) ينزل
ج) يبقى أفقيًا
د) يصبح رأسيًا

٢٩) ملخص الدرس

النقطة تكتب بالترتيب:

المسافة بين نقطتين:

نقطة المنتصف:

الميل:

إذا كان ص ثابتًا فالمستقيم أفقي وميله صفر، وإذا كان س ثابتًا فالمستقيم رأسي وميله غير معرف.