١) الفكرة الأساسية

في أي مثلث قائم الزاوية:

حيث:

ج: الوتر.

أ، ب: ضلعا القائمة.

مهم جدًا

نظرية فيثاغورس لا تستخدم في أي مثلث عشوائي؛ يجب أن يكون المثلث قائم الزاوية.

٢) كيف أعرف الوتر؟

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة .

وهو دائمًا أطول ضلع في المثلث القائم.

تكتيك سريع

إذا أعطيت ثلاثة أطوال وقال السؤال إن المثلث قائم، فاجعل أكبر طول هو الوتر.

٣) إذا كان المطلوب هو الوتر

إذا كان ضلعا القائمة معلومين:

مثال

ضلعا القائمة ٦ و٨:

٤) إذا كان المطلوب ضلعًا قائمًا

إذا كان الوتر معلومًا وأحد ضلعي القائمة معلومًا، فنطرح:

مثال

وتر مثلث قائم = ١٣، وأحد ضلعي القائمة = ٥.

٥) التسلسل الذهني الأسرع

عند رؤية سؤال فيثاغورس:

١. تأكد أن المثلث قائم.

٢. حدد الوتر.

٣. إذا كان المطلوب الوتر: ربّع، اجمع، ثم خذ الجذر.

٤. إذا كان المطلوب ضلعًا قائمًا: ربّع، اطرح، ثم خذ الجذر.

٦) لماذا نأخذ الجذر في النهاية؟

قانون فيثاغورس يعطينا مربع طول الضلع، لا الطول نفسه.

مثال

إذا وصلنا إلى:

فطول الضلع:

ولأننا نتعامل مع طول هندسي، نأخذ القيمة الموجبة.

٧) مثلثات فيثاغورس المشهورة

بعض الأطوال تتكرر كثيرًا، وحفظها يوفر وقتًا كبيرًا:

وكل مجموعة تحقق:

٨) مضاعفات الثلاثيات المشهورة

إذا ضربنا أطوال مثلث قائم كلها في العدد نفسه، نحصل على مثلث قائم آخر.

من الثلاثية ٣، ٤، ٥

← ضربنا في ٢.

← ضربنا في ٣.

← ضربنا في ٤.

تكتيك

قبل التربيع، انظر هل الأرقام مجرد مضاعف لثلاثية تحفظها.

٩) الثلاثية قد تظهر بأعداد عشرية

يمكن أيضًا تصغير ثلاثية مشهورة بالقسمة على عدد واحد.

مثال

من بالقسمة على ٢ نحصل على:

إذن هذه أيضًا أطوال مثلث قائم.

١٠) استخدام عكس فيثاغورس للتحقق من مثلث قائم

إذا أعطاك السؤال ثلاثة أطوال ولم يقل إن المثلث قائم، يمكنك التحقق.

خذ أكبر ضلع وليكن ج، ثم اختبر:

إذا تحققت المساواة، فالمثلث قائم.

مثال

الأضلاع:

إذن المثلث قائم.

١١) الفرق بين «إيجاد ضلع» و«التحقق من النوع»

إذا كان المثلث قائمًا ومطلوب طول ضلع: استخدم فيثاغورس للحساب.

إذا أعطيت ثلاثة أضلاع ومطلوب هل هو قائم: اختبر مربع أكبر ضلع مقابل مجموع مربعي الآخرين.

هذا التمييز يمنع خطوات غير ضرورية.

١٢) قطر المستطيل

قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين قائمين.

إذا كان طول المستطيل أ وعرضه ب وقطره ق:

مثال

مستطيل طوله ١٢ وعرضه ٥.

١٣) إيجاد ضلع مستطيل من القطر

إذا كان القطر وأحد البعدين معلومين، نستخدم الطرح.

مثال

قطر مستطيل ١٧ وعرضه ٨. أوجد طوله.

١٤) مسائل الجدار والسلم

عندما يستند سلم إلى جدار عمودي على الأرض، يتكوّن مثلث قائم:

السلم = الوتر.

المسافة عن الجدار = ضلع قائم.

الارتفاع على الجدار = الضلع القائم الآخر.

مثال

سلم طوله ١٥، وقاعدته تبعد ٩ عن الجدار.

١٥) أقصر مسافة مائلة في مستطيل

إذا تحركت مسافة أ أفقيًا ومسافة ب رأسيًا، فإن المسافة المستقيمة بين البداية والنهاية تمثل وتر مثلث قائم:

مثال

تحرك شخص ٦ وحدات أفقيًا و٨ وحدات رأسيًا.

المسافة المباشرة بين البداية والنهاية:

ملاحظة

صيغة المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي ستأتي بتفصيلها في وحدة هندسة الإحداثيات.

١٦) إذا لم يكن الجذر تامًا

ليس شرطًا أن تكون الإجابة عددًا صحيحًا.

مثال

ضلعا القائمة ٤ و٧:

إذا لم يمكن تبسيط الجذر أكثر، نتركه بهذه الصورة.

١٧) تبسيط الجذر إذا أمكن

مثال

ضلعا القائمة ٢ و٦:

نبسط:

١٨) تقدير منطقي للوتر

الوتر دائمًا أطول من كل ضلع قائم، لكنه أقصر من مجموع ضلعي القائمة.

مثال

ضلعا القائمة ٦ و٨، إذن الوتر يجب أن يكون:

أكبر من ٨، وأصغر من ١٤.

لذلك إذا ظهرت إجابة مثل ٧ أو ١٥، يمكن استبعادها فورًا قبل الحساب.

١٩) لا تجمع الأطوال بدل مربعاتها

فيثاغورس لا يقول:

بل:

مثال

في مثلث ٣، ٤، ٥:

لكن الوتر ليس ٧؛ الوتر = ٥.

٢٠) متى لا أستخدم فيثاغورس؟

لا تستخدمها لمجرد وجود ثلاثة أضلاع.

لا تستخدمها في مثلث لم يُثبت أنه قائم.

لا تستخدمها إذا كان السؤال أسهل باستخدام ثلاثية محفوظة مباشرة.

ولا تحتاجها إذا كان المطلوب مجرد مجموع الزوايا أو المحيط.

٢١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — إيجاد الوتر

مثلث قائم ضلعاه القائمان ٩ و١٢. ما الوتر؟

أ) ١٣
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ١٦

مثال ٢ — إيجاد ضلع قائم

مثلث قائم وتره ١٠ وأحد ضلعي القائمة ٦. فما الآخر؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٢

مثال ٣ — التعرف على الثلاثية

أي المجموعات التالية تمثل أضلاع مثلث قائم؟

أ) ٤، ٥، ٦
ب) ٥، ١٢، ١٣
ج) ٦، ٧، ٨
د) ٨، ٩، ١٠

مثال ٤ — قطر مستطيل

مستطيل طوله ٩ وعرضه ١٢. فما قطره؟

أ) ١٣
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ١٦

٢٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مستطيل قطره ٢٥ وطوله ٢٠. ما عرضه؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ١٨

٢٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام فيثاغورس في مثلث غير قائم.

الخطأ الثاني: اختيار وتر غير صحيح. الوتر هو المقابل لـ٩٠° وهو الأطول.

الخطأ الثالث: عند إيجاد ضلع قائم، جمع المربعات بدل طرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر.

الخطأ الرابع: نسيان أخذ الجذر بعد إيجاد مربع الضلع.

الخطأ الخامس: في التحقق من مثلث قائم، عدم جعل أكبر ضلع هو الطرف المنفرد في المقارنة.

الخطأ السادس: إجراء حساب طويل رغم أن الأرقام ثلاثية مشهورة أو مضاعف لها.

الخطأ السابع: الخلط بين قطر المستطيل وأحد أبعاده؛ القطر هو وتر المثلث القائم الناتج.

٢٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: احفظ ٣،٤،٥ و٥،١٢،١٣ و٨،١٥،١٧ و٧،٢٤،٢٥.

التكتيك الثاني: ابحث عن مضاعف أو جزء من ثلاثية قبل استخدام الآلة الذهنية الطويلة.

التكتيك الثالث: الوتر مطلوب؟ ربّع + ربّع + اجمع + جذر.

التكتيك الرابع: ضلع قائم مطلوب؟ مربع الوتر − مربع الضلع الآخر + جذر.

التكتيك الخامس: قطر مستطيل = وتر.

التكتيك السادس: في الجدار والسلم، السلم هو الوتر.

التكتيك السابع: للتحقق من قائم، ابدأ بأكبر ضلع.

التكتيك الثامن: استبعد أي جواب للوتر أصغر من أحد ضلعي القائمة.

٢٥) تدريب متدرج

سؤال ١

مثلث قائم ضلعاه القائمان ٣ و٤. ما الوتر؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٢

مثلث قائم ضلعاه القائمان ٨ و١٥. ما الوتر؟

أ) ١٦
ب) ١٧
ج) ١٨
د) ٢٠

سؤال ٣

مثلث قائم وتره ١٣ وأحد ضلعي القائمة ١٢. ما الآخر؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٤

أي مجموعة تمثل مثلثًا قائمًا؟

أ) ٥، ٦، ٧
ب) ٦، ٨، ١٠
ج) ٧، ٨، ٩
د) ٨، ٩، ١١

سؤال ٥

الأطوال ١٫٥، ٢، ٢٫٥ تمثل:

أ) مثلثًا قائمًا
ب) مثلثًا متساوي الأضلاع
ج) أطوالًا لا تكوّن مثلثًا
د) مثلثًا منفرجًا حتمًا

سؤال ٦

مستطيل طوله ١٦ وعرضه ١٢. ما قطره؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٢٢
د) ٢٨

سؤال ٧

مستطيل قطره ١٣ وعرضه ٥. ما طوله؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ٨

سلم طوله ١٧، وقاعدته تبعد عن الجدار ٨. ما الارتفاع؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ١٦

سؤال ٩

ضلعا القائمة ٥ و٦. ما الوتر؟

أ)
ب)
ج) ١١
د) ٣٠

سؤال ١٠

ضلعا القائمة ٢ و٦. ما الوتر في أبسط صورة؟

أ)
ب)
ج)
د) ٨

سؤال ١١

هل الأضلاع ٩، ١٢، ١٥ تكوّن مثلثًا قائمًا؟

أ) نعم
ب) لا
ج) لا يمكن التحديد
د) فقط إذا كان متساوي الساقين

سؤال ١٢

تحرك شخص ٩ وحدات أفقيًا و١٢ وحدة رأسيًا. ما المسافة المستقيمة بين نقطة البداية والنهاية؟

أ) ١٣
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ٢١

سؤال ١٣

مثلث قائم وتره ٢٥ وأحد ضلعي القائمة ٧. ما الضلع الآخر؟

أ) ١٨
ب) ٢٢
ج) ٢٤
د) ٣٢

سؤال ١٤

إذا كان مربع الوتر في مثلث قائم = ١٦٩، وأحد ضلعَي القائمة = ٥، فما الضلع الآخر؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

٢٦) ملخص الدرس

في المثلث القائم فقط، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة:

إذا كان المطلوب الوتر، نجمع المربعات ثم نأخذ الجذر. وإذا كان المطلوب ضلعًا قائمًا، نطرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر ثم نأخذ الجذر.

احفظ الثلاثيات المشهورة ومضاعفاتها، وتذكر أن قطر المستطيل يمثل وترًا، والسلم المائل على جدار يمثل وترًا أيضًا. وللتحقق من أن ثلاثة أطوال تكوّن مثلثًا قائمًا، اجعل أكبر طول هو الوتر المحتمل واختبر المساواة.