١) ما معنى مقياس الرسم؟

مقياس الرسم هو نسبة بين طول في رسم أو خريطة أو نموذج وبين الطول الحقيقي المناظر له.

وأهم شرط قبل تكوين هذه النسبة هو أن يكون الطولان بالوحدة نفسها.

٢) معنى المقياس ١:ن

إذا كان المقياس:

فهذا يعني أن كل ١ وحدة في الرسم تقابل ن وحدات في الحقيقة.

مثال

المقياس ١:٢٠٠ يعني:

١ سم في الرسم يقابل ٢٠٠ سم في الحقيقة.

٣) القانونان الأسرع للمقياس ١:ن

إذا كان المقياس ١:ن:

و:

بشرط توحيد الوحدات.

٤) أهم خطوة: توحيد الوحدات

لا يجوز مقارنة سنتيمترات بكيلومترات مباشرة داخل نسبة مقياس الرسم.

احفظ:

٥) من الرسم إلى الحقيقة

إذا أعطاك طول الرسم ومقياسًا على صورة ١:ن، نضرب في ن.

مثال

مقياس ١:٥٠٠٠٠، وطول الطريق في الخريطة ٤ سم.

وبالتحويل:

٦) من الحقيقة إلى الرسم

نحوّل الطول الحقيقي أولًا إلى الوحدة المستخدمة في الرسم، ثم نقسم على ن.

مثال

المقياس ١:١٠٠٠٠٠، والمسافة الحقيقية ٣ كم.

٧) إيجاد مقياس الرسم نفسه

نستخدم:

ثم نبسّط النسبة إلى أبسط صورة.

مثال

٣ سم على الخريطة تقابل ٦ كم في الحقيقة.

أولًا:

إذن:

٨) إذا أعطاك المقياس بالكلمات

قد لا يكتب السؤال النسبة صراحة.

مثل:

«كل ١ سم على الخريطة يمثل ٢ كم في الحقيقة».

للحساب المباشر، يمكن استخدام:

إذا كان طول الرسم ٥ سم.

أما إذا طلب مقياس الرسم، نحوّل ٢ كم إلى ٢٠٠٠٠٠ سم، فيكون المقياس:

٩) التناسب طريقة بديلة

يمكن حل أي مسألة مقياس رسم بالتناسب.

مثال

المقياس ١:٢٠٠٠٠، وطول الطريق في الرسم ٦ سم.

نكتب:

إذن:

أي:

١٠) مقياس التكبير ن:١

ليست كل الرسومات مصغّرة.

إذا كان المقياس:

فالرسم أكبر من الحقيقة ٤ مرات.

مثال

طول جسم في رسم مكبّر ٢٠ سم بمقياس ٤:١.

الطول الحقيقي:

١١) المقياس العام أ:ب

إذا لم يكن أحد الطرفين ١، فإن:

ومنها:

و:

مثال

المقياس ٢:٥، وطول الرسم ٨ سم.

١٢) كيف أعرف هل الرسم تصغير أم تكبير؟

إذا كان:

حيث ن أكبر من ١، فالرسم تصغير.

إذا كان:

حيث ن أكبر من ١، فالرسم تكبير.

وإذا كان المقياس ١:١ فالرسم بالحجم الحقيقي.

١٣) اختصارات مفيدة للخرائط

بما أن ١ كم = ١٠٠٠٠٠ سم:

المقياس ١:١٠٠٠٠٠ يعني:

المقياس ١:٥٠٠٠٠ يعني:

المقياس ١:٢٠٠٠٠٠ يعني:

المقياس ١:٢٥٠٠٠٠ يعني:

١٤) مقارنة مسافتين على الخريطة نفسها

إذا كان المقياس نفسه، فإن نسبة الأطوال في الرسم تساوي نسبة الأطوال الحقيقية.

مثال

طريقان على الخريطة طولهما ٣ سم و٥ سم.

نسبة طولهما الحقيقي:

ولا نحتاج إلى معرفة رقم المقياس.

١٥) مقارنة خريطتين للشيء نفسه

لنفس المسافة الحقيقية، كلما كان مقام المقياس أصغر ظهر الشيء أكبر على الخريطة.

مثال

نفس الطريق مرسوم بمقياسين:

١:٥٠٠٠٠.

١:١٠٠٠٠٠.

طوله في الخريطة الأولى يساوي ضعفي طوله في الثانية؛ لأن:

١٦) إذا تغيّر المقياس وبقي الطول الحقيقي ثابتًا

طول الرسم يتناسب عكسيًا مع مقام المقياس عندما يكون على صورة ١:ن.

فإذا تضاعف ن، يصبح طول الرسم نصفه.

وإذا أصبح ن ثلاثة أمثاله، يصبح طول الرسم ثلثه.

١٧) مقياس الرسم والمحيط

المحيط مقدار خطي، لذلك يتغير بعامل المقياس نفسه.

إذا كان المقياس الخطي:

فنسبة محيط الرسم إلى المحيط الحقيقي:

١٨) مقياس الرسم والمساحات

المساحة لا تتغير بالنسبة الخطية نفسها، بل بمربعها.

إذا كان مقياس الطول:

فمقياس المساحة:

١٩) مثال على مقياس المساحة

مقياس الرسم ١:١٠٠.

إذن نسبة المساحات:

فإذا كانت مساحة غرفة في الرسم ٦ سم^٢، فالمساحة الحقيقية:

وبما أن:

فالمساحة الحقيقية:

٢٠) انتبه لتحويل وحدات المساحة

التحويل الخطي يختلف عن تحويل المساحة.

بما أن:

فإن:

ولذلك لا نقسم سم^٢ على ١٠٠ فقط عند تحويلها إلى م^٢.

٢١) مقياس الحجم في نموذج مجسم

إذا كان السؤال عن نموذج ثلاثي الأبعاد، فإن الحجم يتغير بمكعب عامل المقياس.

إذا كان المقياس الخطي:

فنسبة الأحجام:

مثال

نموذج مجسم مقياسه ١:١٠.

الحجم الحقيقي يساوي حجم النموذج مضروبًا في:

إذا كانت الوحدات الحجمية موحّدة.

٢٢) طول ومساحة وحجم: قاعدة واحدة بثلاث درجات

إذا كان عامل التكبير الخطي ك:

الأطوال تتغير بعامل:

المساحات تتغير بعامل:

الأحجام تتغير بعامل:

وهذه القاعدة تمنع الخلط بين مقياس الطول ومقياس المساحة والحجم.

٢٣) إذا أعطيت أبعاد مستطيل في الرسم

هناك طريقتان:

إما تكبير كل بُعد بالمقياس ثم حساب المساحة الحقيقية.

أو حساب مساحة الرسم أولًا ثم استخدام مربع عامل المقياس.

مثال

مستطيل في مخطط أبعاده ٣ سم و٤ سم، والمقياس ١:٢٠٠.

مساحة الرسم:

المساحة الحقيقية بالسنتيمتر المربع:

وبالتحويل:

٢٤) إيجاد المقياس من طولين بوحدتين مختلفتين

هذا من أكثر مواضع الخطأ.

مثال

٥ سم في المخطط تمثل ٢٥ مترًا في الحقيقة.

نحوّل ٢٥ مترًا:

المقياس:

٢٥) متى يمكن الاختصار دون تحويل كامل؟

إذا كان السؤال يقول مباشرة مثلًا:

«كل ١ سم يمثل ٣ كم».

وطلب المسافة الحقيقية لمسافة ٧ سم، يمكن مباشرة:

لكن إذا طلب مقياس الرسم كنسبة عددية، يجب توحيد الوحدات أولًا.

٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — من الخريطة إلى الحقيقة

خريطة مقياسها ١:١٠٠٠٠٠، والمسافة عليها ٤ سم. ما المسافة الحقيقية؟

أ) ٢ كم
ب) ٣ كم
ج) ٤ كم
د) ٤٠ كم

مثال ٢ — من الحقيقة إلى الرسم

المسافة الحقيقية ٥ كم، ومقياس الخريطة ١:٢٠٠٠٠٠. كم طولها على الخريطة؟

أ) ١٫٥ سم
ب) ٢ سم
ج) ٢٫٥ سم
د) ٥ سم

مثال ٣ — إيجاد المقياس

طريق طوله الحقيقي ٦ كم وطوله في الخريطة ٣ سم. ما مقياس الرسم؟

أ) ١:٢٠٠٠٠
ب) ١:٢٠٠٠٠٠
ج) ١:٥٠٠٠٠٠
د) ١:٦٠٠٠٠٠

مثال ٤ — المساحة

مخطط مقياسه ١:٢٠٠، ومساحة غرفة فيه ٤ سم^٢. ما المساحة الحقيقية؟

أ) ٨ م^٢
ب) ١٢ م^٢
ج) ١٦ م^٢
د) ٢٠ م^٢

٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

طريق واحد رُسم في خريطتين. مقياس الأولى ١:٥٠٠٠٠، ومقياس الثانية ١:٢٠٠٠٠٠. إذا كان طوله في الخريطة الثانية ٣ سم، فما طوله في الأولى؟

أ) ٦ سم
ب) ٩ سم
ج) ١٢ سم
د) ١٥ سم

٢٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: عدم توحيد الوحدات قبل تكوين النسبة.

الخطأ الثاني: عكس الرسم والحقيقة في قانون المقياس.

الخطأ الثالث: الضرب بدل القسمة عند الانتقال من الحقيقة إلى الرسم.

الخطأ الرابع: نسيان أن ١ كم = ١٠٠٠٠٠ سم.

الخطأ الخامس: استخدام مقياس الطول نفسه مباشرة للمساحة؛ الصحيح تربيعه.

الخطأ السادس: تحويل م^٢ إلى سم^٢ بعامل ١٠٠ فقط؛ الصحيح بعامل ١٠٠٠٠.

الخطأ السابع: افتراض أن كل مقياس هو تصغير؛ قد يكون المقياس ن:١ تكبيرًا.

الخطأ الثامن: في مقارنة خريطتين، الاعتقاد أن المقام الأكبر يعطي رسمًا أكبر؛ الصحيح العكس.

٢٩) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: وحّد الوحدات قبل النسبة.

التكتيك الثاني: ١:ن، من الرسم للحقيقة ← ×ن.

التكتيك الثالث: ١:ن، من الحقيقة للرسم ← ÷ن.

التكتيك الرابع: ١:١٠٠٠٠٠ ← كل ١ سم = ١ كم؛ اختصار مهم جدًا.

التكتيك الخامس: مقياس المساحة ← مربع المقياس الخطي.

التكتيك السادس: المقام الأصغر في ١:ن يعني خريطة أكثر تكبيرًا وتفصيلًا.

التكتيك السابع: إذا كان المطلوب مجرد مقارنة أطوال على الخريطة نفسها، فالمقياس قد يُختصر تمامًا.

٣٠) تدريب متدرج

سؤال ١

خريطة مقياسها ١:١٠٠٠٠٠، وكانت المسافة عليها ٧ سم. ما المسافة الحقيقية؟

أ) ٧ كم
ب) ٧٠ كم
ج) ٧٠٠ متر
د) ٧٠٠٠ كم

سؤال ٢

مقياس رسم ١:٥٠٠٠٠، وطول طريق في الرسم ٢ سم. ما طوله الحقيقي؟

أ) ٥٠٠ متر
ب) ١ كم
ج) ٢ كم
د) ٥ كم

سؤال ٣

مسافة حقيقية ٩ كم، ومقياس الرسم ١:٣٠٠٠٠٠. كم طولها على الخريطة؟

أ) ٢ سم
ب) ٣ سم
ج) ٤ سم
د) ٦ سم

سؤال ٤

٤ سم على مخطط تمثل ٢٠ مترًا في الحقيقة. ما مقياس الرسم؟

أ) ١:٥٠
ب) ١:٢٠٠
ج) ١:٥٠٠
د) ١:٢٠٠٠

سؤال ٥

كل ١ سم على خريطة يمثل ٣ كم. إذا كان الطريق في الخريطة ٨ سم، فما طوله الحقيقي؟

أ) ١١ كم
ب) ١٦ كم
ج) ٢٤ كم
د) ٣٠ كم

سؤال ٦

رسم مكبّر مقياسه ٥:١، وطول جسم فيه ٣٠ سم. ما الطول الحقيقي؟

أ) ٥ سم
ب) ٦ سم
ج) ١٥ سم
د) ١٥٠ سم

سؤال ٧

مقياس رسم ٢:٥، وطول في الرسم ١٢ سم. ما الطول الحقيقي؟

أ) ٤٫٨ سم
ب) ٢٤ سم
ج) ٣٠ سم
د) ٦٠ سم

سؤال ٨

في خريطة واحدة، طول طريق أ = ٤ سم وطريق ب = ٦ سم. ما نسبة الطولين الحقيقيين أ:ب؟

أ) ١:٢
ب) ٢:٣
ج) ٣:٢
د) ٤:٥

سؤال ٩

نفس الطريق يظهر بطول ٨ سم في خريطة مقياسها ١:٥٠٠٠٠. كم يظهر طوله في خريطة مقياسها ١:١٠٠٠٠٠؟

أ) ٢ سم
ب) ٤ سم
ج) ٨ سم
د) ١٦ سم

سؤال ١٠

مخطط مقياسه ١:١٠٠، ومساحة شكل فيه ٥ سم^٢. ما المساحة الحقيقية بالسنتيمتر المربع؟

أ) ٥٠٠
ب) ٥٠٠٠
ج) ٥٠٠٠٠
د) ٥٠٠٠٠٠

سؤال ١١

مخطط مقياسه ١:٢٠٠، ومساحة غرفة فيه ٤ سم^٢. ما مساحتها الحقيقية بالمتر المربع؟

أ) ٤ م^٢
ب) ٨ م^٢
ج) ١٦ م^٢
د) ٤٠ م^٢

سؤال ١٢

نموذج مجسم مقياسه ١:١٠. كم يساوي الحجم الحقيقي بالنسبة إلى حجم النموذج؟

أ) ١٠ أمثال
ب) ١٠٠ مثل
ج) ١٠٠٠ مثل
د) ١٠٠٠٠ مثل

سؤال ١٣

إذا كان المقياس ١:٢٥٠٠٠٠، فماذا يمثل ١ سم على الخريطة؟

أ) ٠٫٢٥ كم
ب) ١ كم
ج) ٢٫٥ كم
د) ٢٥ كم

سؤال ١٤

مستطيل في مخطط أبعاده ٣ سم و٤ سم، ومقياس الرسم ١:٢٠٠. ما مساحته الحقيقية؟

أ) ١٢ م^٢
ب) ٢٤ م^٢
ج) ٤٨ م^٢
د) ٩٦ م^٢

٣١) ملخص الدرس

مقياس الرسم:

إذا كان المقياس ١:ن:

يجب توحيد الوحدات قبل تكوين النسبة.

في المساحات نستخدم مربع عامل المقياس:

وفي الأحجام نستخدم مكعبه:

وأفضل فحص سريع: في مقياس تصغير ١:ن، يجب أن يكون الطول الحقيقي أكبر من طول الرسم بعد توحيد الوحدات.