١) الفكرة الأساسية

معادلة الدائرة في المستوى الإحداثي تربط بين موقع مركز الدائرة وطول نصف قطرها.

الصورة الأساسية:

حيث:

النقطة (أ، ب) هي مركز الدائرة.

ور هو نصف القطر.

٢) كيف أقرأ المعادلة؟

في المعادلة:

المركز نقرأه من داخل القوسين، لكن مع عكس الإشارة.

أما الطرف الأيمن فهو مربع نصف القطر، وليس نصف القطر نفسه.

٣) إذا كان المركز عند نقطة الأصل

نقطة الأصل هي:

وعندها تصبح معادلة الدائرة:

مثال

دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ٦:

٤) كتابة المعادلة من المركز ونصف القطر

إذا أعطاك السؤال المركز ونصف القطر:

١. ضع إحداثيي المركز داخل القوسين.

٢. اعكس الإشارة بالطريقة التي تظهر في القانون.

٣. ربّع نصف القطر في الطرف الأيمن.

مثال

المركز (٤، ٣)، ونصف القطر ٥.

٥) أهم قاعدة: اعكس الإشارة داخل القوس

إذا رأيت:

فإحداثي س للمركز = ٣.

أما إذا رأيت:

فإحداثي س للمركز = −٣.

والقاعدة نفسها تنطبق على ص.

٦) مثال على عكس الإشارة

لدائرة المعادلة:

المركز:

وليس (٣، −٥).

٧) استخراج المركز من المعادلة

ننظر فقط إلى ما داخل القوسين، ثم نعكس الإشارتين.

مثال

المعادلة:

من نحصل على ٩.

ومن نحصل على −١.

إذن المركز:

٨) استخراج نصف القطر

الطرف الأيمن يمثل:

لذلك نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد ر.

مثال

إذا كان:

فإن:

٩) استخراج المركز ونصف القطر معًا

مثال

المعادلة:

المركز:

ونصف القطر:

١٠) لا تخلط بين نصف القطر ومربعه

إذا كان الطرف الأيمن ٢٥، فنصف القطر ليس ٢٥.

بل:

١١) كتابة المعادلة إذا كان أحد إحداثيي المركز صفرًا

إذا كان المركز مثلًا:

ونصف القطر ٣، فالمعادلة:

ولا حاجة إلى كتابة .

١٢) مثال بإحداثي س سالب

المركز:

ونصف القطر ٤.

معادلة الدائرة:

لاحظ أن الإحداثي −٥ يظهر داخل القوس على صورة +٥.

١٣) مثال بإحداثي ص سالب

المركز:

ونصف القطر ٦.

المعادلة:

١٤) من المعادلة إلى القطر

بعد إيجاد نصف القطر، يمكن إيجاد القطر:

مثال

المعادلة:

نصف القطر = ٨.

إذن القطر = ١٦.

١٥) من المعادلة إلى محيط الدائرة

نستخرج نصف القطر أولًا، ثم نستخدم:

مثال

المعادلة:

نصف القطر = ٧.

١٦) من المعادلة إلى مساحة الدائرة

قانون المساحة:

لكن الطرف الأيمن في معادلة الدائرة هو أصلًا .

لذلك يمكن استخدامه مباشرة.

مثال

المعادلة:

إذن:

١٧) تكتيك المساحة السريع

إذا طلب السؤال مساحة دائرة من معادلتها، لا تحتاج إلى إيجاد نصف القطر ثم تربيعه مرة أخرى.

إذا كان الطرف الأيمن = أ:

مثال

إذا كان الطرف الأيمن ١٢١، فالمساحة:

١٨) من القطر إلى معادلة الدائرة

إذا أعطاك السؤال المركز والقطر، أوجد نصف القطر أولًا.

مثال

مركز دائرة (٢، ٣)، وقطرها ١٠.

إذن:

١٩) من المساحة إلى معادلة الدائرة

إذا كان المركز معلومًا والمساحة على صورة عدد مضروب في π، فإن العدد هو .

مثال

مركز الدائرة (−١، ٤)، ومساحتها .

إذن:

فتكون المعادلة:

٢٠) من المحيط إلى معادلة الدائرة

إذا كان المركز والمحيط معلومين، أوجد نصف القطر من قانون المحيط ثم اكتب المعادلة.

مثال

مركز الدائرة (٣، −٢)، ومحيطها .

إذن:

٢١) مقارنة دائرتين من معادلتيهما

لمقارنة نصفي قطر دائرتين، قارن الجذر التربيعي للطرفين الأيمنين.

ولمقارنة المساحتين، يمكن مقارنة الطرفين الأيمنين مباشرة؛ لأن مساحة كل دائرة = .

مثال

دائرتان طرفاهما الأيمنان ٢٥ و٤٩.

نصفا القطر ٥ و٧، والدائرة الثانية أكبر مساحة.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — المركز

ما مركز الدائرة؟

أ) (٤، ٣)
ب) (٤، −٣)
ج) (−٤، ٣)
د) (−٤، −٣)

مثال ٢ — نصف القطر

ما نصف قطر الدائرة؟

أ) ١
ب) ٤
ج) ٥
د) ٢٥

مثال ٣ — كتابة المعادلة

دائرة مركزها (−٣، ٥)، ونصف قطرها ٤. ما معادلتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — المساحة من المعادلة

دائرة معادلتها:

ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

دائرة معادلتها:

ما مركزها ومحيطها؟

أ) المركز (٢، −٦)، والمحيط
ب) المركز (−٢، ٦)، والمحيط
ج) المركز (−٢، ٦)، والمحيط
د) المركز (٢، ٦)، والمحيط

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: عدم عكس الإشارة عند استخراج المركز.

الخطأ الثاني: اعتبار الطرف الأيمن نصف القطر بدل مربع نصف القطر.

الخطأ الثالث: نسيان تربيع نصف القطر عند كتابة المعادلة.

الخطأ الرابع: الخلط بين إحداثيي المركز؛ الحد الذي يحتوي على س يعطي إحداثي س، والحد الذي يحتوي على ص يعطي إحداثي ص.

الخطأ الخامس: إذا كان المركز عند الأصل، كتابة أقواس غير ضرورية أو تغيير الإشارات.

الخطأ السادس: عند طلب المساحة من المعادلة، أخذ الجذر ثم تربيعه مرة أخرى رغم أن الطرف الأيمن يمثل مباشرة.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: احفظ الصورة: .

التكتيك الثاني: داخل القوس اعكس الإشارة لاستخراج المركز.

التكتيك الثالث: الطرف الأيمن = ، لذلك خذ الجذر لإيجاد نصف القطر.

التكتيك الرابع: المركز عند الأصل ← .

التكتيك الخامس: إذا طلب المساحة من المعادلة، اضرب الطرف الأيمن في π مباشرة.

التكتيك السادس: إذا طلب المحيط، أوجد نصف القطر ثم استخدم .

التكتيك السابع: إذا أعطاك القطر، اقسمه على ٢ قبل كتابة المعادلة.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

ما مركز الدائرة؟

أ) (٦، ٢)
ب) (٦، −٢)
ج) (−٦، ٢)
د) (−٦، −٢)

سؤال ٢

ما نصف قطر الدائرة؟

أ) ١
ب) ٤
ج) ٥
د) ٢٥

سؤال ٣

ما مركز الدائرة؟

أ) (٥، ٧)
ب) (−٥، ٧)
ج) (٥، −٧)
د) (−٥، −٧)

سؤال ٤

ما نصف قطر الدائرة؟

أ) ٣
ب) ٩
ج) ٤٠٫٥
د) ٨١

سؤال ٥

دائرة مركزها (٠، ٠) ونصف قطرها ٧. ما معادلتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦

دائرة مركزها (٤، −٣) ونصف قطرها ٥. ما معادلتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧

المعادلة:

ما قطر الدائرة؟

أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٥٠
د) ١٠٠

سؤال ٨

المعادلة:

ما المحيط؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩

المعادلة:

ما المساحة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٠

دائرة مركزها (−٢، ١) وقطرها ١٢. ما معادلتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١

دائرة مركزها (١، −٤) ومساحتها . ما معادلتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٢

في المعادلة:

ما نصف القطر؟

أ) ١٣
ب) ٢٦
ج) ٨٤٫٥
د) ١٦٩

سؤال ١٣

أي معادلة تمثل دائرة مركزها (−٣، −٥) ونصف قطرها ٢؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤

دائرتان معادلتا طرفيهما الأيمنين ٢٥ و١٠٠. ما نسبة نصفي قطريهما؟

أ) ١:٢
ب) ١:٤
ج) ٢٥:١٠٠
د) ٥:١٠٠

٢٧) ملخص الدرس

الصورة الأساسية لمعادلة الدائرة:

المركز هو (أ، ب)، لكن عند استخراجه من المعادلة نعكس الإشارة داخل كل قوس.

الطرف الأيمن يمثل مربع نصف القطر، لذلك:

إذا كان المركز عند الأصل:

ومن المعادلة يمكن إيجاد القطر والمحيط والمساحة مباشرة بعد معرفة نصف القطر.