١) الفكرة الأساسية

مساحة متوازي الأضلاع هي مقدار المنطقة الموجودة داخل الشكل.

القانون:

أو:

٢) أهم شرط: الارتفاع عمودي

الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها.

لذلك لا نستخدم الضلع الجانبي المائل بدل الارتفاع إلا إذا كان عموديًا على القاعدة.

مثال

قاعدة متوازي أضلاع = ١٥، وضلع مائل = ٩، وارتفاع = ٦.

المساحة:

ولا نستخدم:

٣) الارتفاع قد يكون داخل الشكل أو خارجه

قد يظهر الارتفاع داخل متوازي الأضلاع، وقد يقع خارج الشكل على امتداد القاعدة.

في الحالتين الشرط هو نفسه: أن يكون الارتفاع عموديًا على القاعدة.

٤) كيف أختار القاعدة؟

يمكن اختيار أي ضلع ليكون قاعدة، لكن يجب استخدام الارتفاع العمودي على هذا الضلع تحديدًا.

تكتيك

في أسئلة القدرات، ابحث أولًا عن علامة الزاوية القائمة أو عن المسافة العمودية بين ضلعين متوازيين.

٥) الحل المباشر

مثال

قاعدة متوازي أضلاع = ١٠، وارتفاعه = ٨.

٦) إيجاد الارتفاع من المساحة

إذا كانت المساحة والقاعدة معلومتين:

مثال

المساحة = ٧٢، والقاعدة = ١٢.

٧) إيجاد القاعدة من المساحة

إذا كانت المساحة والارتفاع معلومين:

مثال

المساحة = ٨٤، والارتفاع = ٧.

٨) إذا كانت القاعدة أو الارتفاع على صورة متغير

مثال

قاعدة متوازي أضلاع = ، وارتفاعه = ٥، ومساحته = ٦٠.

٩) الفرق بين المساحة والمحيط

في متوازي الأضلاع:

المساحة تستخدم القاعدة والارتفاع العمودي.

المحيط يستخدم أطوال الأضلاع.

مثال

قاعدة = ١٦، ضلع مائل = ٩، ارتفاع = ٦.

المساحة:

المحيط:

١٠) لماذا مساحة متوازي الأضلاع تشبه المستطيل؟

إذا نُقل الجزء المثلث من طرف متوازي الأضلاع إلى الطرف الآخر، يمكن إعادة ترتيب الشكل ليصبح مستطيلًا له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه.

لذلك مساحة متوازي الأضلاع تساوي:

وليس الضلع المائل هو الذي يحدد المساحة.

١١) ميل الشكل لا يغيّر المساحة إذا ثبتت القاعدة والارتفاع

إذا بقيت القاعدة والارتفاع العمودي ثابتين، فإن مساحة متوازي الأضلاع تبقى ثابتة حتى لو تغير ميل الضلع الجانبي.

نتيجة مهمة

شكلان قد يبدوان مختلفين في الميل، لكن إذا تساوت القاعدة والارتفاع، فمساحتاهما متساويتان.

١٢) متوازيَا أضلاع لهما القاعدة والارتفاع نفسيهما

إذا كان لمتوازيَي أضلاع القاعدة نفسها والارتفاع نفسه:

حتى لو اختلف ميل الضلعين الجانبيين.

١٣) إذا تساوى الارتفاع فقط

إذا كان لمتوازيَي أضلاع الارتفاع نفسه، فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين:

مثال

قاعدتان ٦ و٩ والارتفاع نفسه.

نسبة المساحتين:

١٤) إذا تساوت القاعدة فقط

إذا كانت القاعدة نفسها، فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة الارتفاعين:

مثال

ارتفاعان ٤ و١٠ مع قاعدة واحدة.

نسبة المساحتين:

١٥) القطر يقسم المساحة إلى نصفين

أي قطر في متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين.

إذن مساحة كل مثلث:

مثال

مساحة متوازي الأضلاع = ٩٦.

مساحة كل مثلث ناتج من القطر:

١٦) مثلث قاعدته ضلع كامل ورأسه على الضلع المقابل

إذا رسمنا داخل متوازي الأضلاع مثلثًا قاعدته ضلع كامل من الشكل، وكان رأس المثلث على الضلع المقابل، فإن المثلث ومتوازي الأضلاع لهما:

القاعدة نفسها.

والارتفاع نفسه.

وبما أن مساحة المثلث فيها عامل ، فإن:

مثال

مساحة متوازي الأضلاع = ٧٠.

رُسم داخله مثلث قاعدته ضلع كامل ورأسه على الضلع المقابل.

مساحة المثلث:

١٧) ماذا عن الجزء غير المثلث؟

في الحالة السابقة، إذا كانت مساحة المثلث نصف مساحة متوازي الأضلاع، فإن المساحة المتبقية أيضًا نصف مساحة الشكل.

مثال

مساحة الشكل = ١٢٠.

المثلث الداخلي = ٦٠.

المساحة المتبقية = ٦٠.

١٨) لا تحكم على المساحة من شكل الرسم

متوازي الأضلاع الأكثر ميلًا ليس بالضرورة أقل أو أكبر مساحة.

المساحة تعتمد على:

القاعدة × الارتفاع العمودي.

لذلك تجاهل الانطباع البصري وابحث عن القاعدة والارتفاع.

١٩) تأثير تكبير الأبعاد

إذا ضُربت القاعدة في ك والارتفاع في ك أيضًا، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

إذا تضاعفت القاعدة والارتفاع معًا:

فتصبح المساحة أربعة أمثال.

٢٠) إذا تغير بعد واحد فقط

إذا بقي الارتفاع ثابتًا وتضاعفت القاعدة، تتضاعف المساحة.

وإذا بقيت القاعدة ثابتة وتضاعف الارتفاع، تتضاعف المساحة أيضًا.

مثال

مساحة متوازي أضلاع = ٤٠.

إذا بقي الارتفاع نفسه وتضاعفت القاعدة، تصبح المساحة = ٨٠.

٢١) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة مثل:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

لا نكتب وحدة طول فقط؛ لأن الناتج مساحة.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

متوازي أضلاع قاعدته ١٤ وارتفاعه ٥. ما مساحته؟

أ) ١٩
ب) ٣٥
ج) ٧٠
د) ١٤٠

مثال ٢ — ارتفاع مجهول

مساحة متوازي أضلاع ٩٦ وقاعدته ١٢. ما ارتفاعه؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٢

مثال ٣ — تجاهل الضلع المائل

قاعدة متوازي أضلاع ٢٠، وضلع مائل ١٣، وارتفاع ١٢. ما المساحة؟

أ) ١٥٦
ب) ٢٤٠
ج) ٢٦٠
د) ٤٨٠

مثال ٤ — مثلث داخل الشكل

مساحة متوازي أضلاع = ٨٨. رُسم مثلث قاعدته ضلع كامل من الشكل ورأسه على الضلع المقابل. ما مساحة المثلث؟

أ) ٢٢
ب) ٤٤
ج) ٦٦
د) ٨٨

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

متوازيَا أضلاع لهما الارتفاع نفسه. قاعدة الأول ٨ ومساحته ٤٨، وقاعدة الثاني ١٤. فما مساحة الثاني؟

أ) ٦٤
ب) ٧٢
ج) ٨٤
د) ٩٦

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام الضلع المائل بدل الارتفاع.

الخطأ الثاني: استخدام كما في المثلث. مساحة متوازي الأضلاع لا تحتوي على النصف.

الخطأ الثالث: الخلط بين قانون المساحة وقانون المحيط.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن الارتفاع يجب أن يكون داخل الشكل دائمًا.

الخطأ الخامس: الحكم على المساحة من مقدار ميل الشكل.

الخطأ السادس: في مقارنة شكلين، استخدام الضلع المائل بدل الارتفاع العمودي.

الخطأ السابع: نسيان أن المثلث الذي يشترك مع متوازي الأضلاع في القاعدة والارتفاع مساحته نصف مساحة الشكل.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مساحة متوازي الأضلاع = قاعدة × ارتفاع، دون نصف.

التكتيك الثاني: ابحث عن علامة التعامد؛ فهي تحدد الارتفاع الصحيح.

التكتيك الثالث: إذا أعطاك القاعدة والضلع المائل والارتفاع، تجاهل الضلع المائل في المساحة.

التكتيك الرابع: مساحة معلومة؟ القيمة الناقصة = المساحة ÷ القيمة المعروفة.

التكتيك الخامس: قاعدة وارتفاع متساويان بين شكلين ← المساحتان متساويتان.

التكتيك السادس: ارتفاع متساوٍ ← نسبة المساحات = نسبة القواعد.

التكتيك السابع: قاعدة متساوية ← نسبة المساحات = نسبة الارتفاعات.

التكتيك الثامن: قطر متوازي الأضلاع ← كل مثلث نصف المساحة.

التكتيك التاسع: مثلث قاعدته ضلع كامل ورأسه على الضلع المقابل ← نصف مساحة متوازي الأضلاع.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

قاعدة متوازي أضلاع ١١ وارتفاعه ٦. ما المساحة؟

أ) ١٧
ب) ٣٣
ج) ٦٦
د) ١٣٢

سؤال ٢

مساحة متوازي أضلاع ١٢٠ وقاعدته ١٥. ما ارتفاعه؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ٣

مساحة متوازي أضلاع ٩٠ وارتفاعه ٩. ما قاعدته؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ٤

قاعدة متوازي أضلاع ٢٠، وضلع مائل ١٣، وارتفاع ١٢. ما المساحة؟

أ) ١٥٦
ب) ٢٤٠
ج) ٢٦٠
د) ٤٨٠

سؤال ٥

مساحة متوازي أضلاع ٧٢. رُسم قطر واحد. ما مساحة كل مثلث ناتج؟

أ) ١٨
ب) ٢٤
ج) ٣٦
د) ٧٢

سؤال ٦

مساحة متوازي أضلاع ١٠٠. رُسم داخله مثلث قاعدته ضلع كامل ورأسه على الضلع المقابل. ما مساحة المثلث؟

أ) ٢٥
ب) ٥٠
ج) ٧٥
د) ١٠٠

سؤال ٧

متوازيَا أضلاع لهما الارتفاع نفسه، وقاعدتاهما ٥ و١٥. ما نسبة المساحتين؟

أ) ١:٢
ب) ١:٣
ج) ١:٥
د) ٣:٥

سؤال ٨

متوازيَا أضلاع لهما القاعدة نفسها، وارتفاعاهما ٤ و٦. ما نسبة المساحتين؟

أ) ٢:٣
ب) ٣:٢
ج) ٤:٩
د) ١:١

سؤال ٩

قاعدة متوازي أضلاع = ، وارتفاعه ٤، ومساحته ٤٨. فما س؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ١٠

إذا تضاعفت القاعدة والارتفاع معًا، فإن المساحة تصبح:

أ) الضعف
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

سؤال ١١

إذا بقي الارتفاع ثابتًا وتضاعفت القاعدة، فإن المساحة:

أ) تبقى ثابتة
ب) تتضاعف
ج) تصبح أربعة أمثال
د) تنخفض للنصف

سؤال ١٢

متوازي أضلاع قاعدته ١٢ وارتفاعه ٥ وضلع مائل ٨. أي طولين نستخدم لحساب المساحة؟

أ) ١٢ و٥
ب) ١٢ و٨
ج) ٥ و٨
د) ١٢ و١٢

سؤال ١٣

متوازيَا أضلاع لهما القاعدة والارتفاع نفسيهما، لكن أحدهما أكثر ميلًا. ما العلاقة بين مساحتيهما؟

أ) مساحة الأكثر ميلًا أكبر
ب) مساحة الأقل ميلًا أكبر
ج) المساحتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١٤

مساحة مثلث داخل متوازي أضلاع تساوي ٣٥، وقاعدة المثلث ضلع كامل من متوازي الأضلاع ورأسه على الضلع المقابل. فما مساحة متوازي الأضلاع؟

أ) ٣٥
ب) ٥٢٫٥
ج) ٧٠
د) ١٤٠

٢٧) ملخص الدرس

مساحة متوازي الأضلاع:

لا تستخدم الضلع المائل بدل الارتفاع. إذا كانت المساحة معلومة، فأوجد القاعدة أو الارتفاع بالقسمة.

إذا تساوت القاعدة والارتفاع في متوازيَي أضلاع، تساوت المساحتان. وإذا تساوى الارتفاع فقط، فنسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين. وإذا تساوت القاعدة فقط، فنسبة المساحتين تساوي نسبة الارتفاعين.

وأي مثلث قاعدته ضلع كامل من متوازي الأضلاع ورأسه على الضلع المقابل يشترك معه في القاعدة والارتفاع، ولذلك مساحته تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع.