١) الفكرة الأساسية

مساحة شبه المنحرف هي مقدار المنطقة الموجودة داخل الشكل.

القانون الأساسي:

حيث ق١ وق٢ هما القاعدتان المتوازيتان، وع هو الارتفاع العمودي بينهما.

٢) الطريقة الأسرع: متوسط القاعدتين × الارتفاع

نصف مجموع القاعدتين هو متوسطهما.

لذلك يمكن كتابة القانون بصورة أسرع:

أي:

٣) أهم شرط: الارتفاع عمودي

الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين.

لا تستخدم الساق المائلة بدل الارتفاع.

مثال

قاعدتان ٢٠ و١٢، ساق مائلة ١٠، وارتفاع ٦.

المساحة تعتمد على ٢٠ و١٢ و٦، وليس على الساق المائلة ١٠.

٤) الحل المباشر خطوة بخطوة

لحساب المساحة:

١. اجمع القاعدتين.

٢. اقسم المجموع على ٢.

٣. اضرب في الارتفاع.

مثال

قاعدتان ١٨ و١٠، وارتفاع ٧.

٥) مثال باستخدام متوسط القاعدتين

قاعدتان ٨ و١٤، وارتفاع ٥.

متوسط القاعدتين:

المساحة:

٦) إيجاد الارتفاع من المساحة

من القانون:

نحصل على:

مثال

المساحة ٨٤، والقاعدتان ١٦ و١٢.

٧) إيجاد مجموع القاعدتين

إذا كانت المساحة والارتفاع معلومين:

مثال

مساحة شبه منحرف = ٩٠، وارتفاعه = ٦.

٨) إيجاد قاعدة مجهولة

إذا كانت المساحة والارتفاع وإحدى القاعدتين معلومة، نجد مجموع القاعدتين أولًا ثم نطرح القاعدة المعلومة.

مثال

المساحة ١٠٠، والارتفاع ٥، وإحدى القاعدتين ١٢.

مجموع القاعدتين:

القاعدة الأخرى:

٩) إذا كان متوسط القاعدتين معلومًا

إذا أعطاك السؤال متوسط القاعدتين مباشرة، فلا تحتاج إلى القاعدتين كلتيهما.

مثال

متوسط القاعدتين ١٣ والارتفاع ٨.

١٠) القطعة المتوسطة في شبه المنحرف

القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين تكون موازية للقاعدتين، وطولها يساوي متوسط القاعدتين.

لذلك إذا كان طول القطعة المتوسطة معلومًا:

مثال

طول القطعة المتوسطة ١١ والارتفاع ٧.

١١) لماذا يعمل قانون متوسط القاعدتين؟

يمكن تصور نسختين متطابقتين من شبه المنحرف مرتبتين معًا لتكوين متوازي أضلاع.

قاعدته تساوي مجموع قاعدتي شبه المنحرف، وارتفاعه هو الارتفاع نفسه.

مساحة متوازي الأضلاع:

وشبه المنحرف يمثل نصفه:

١٢) إذا تساوت القاعدتان

إذا تساوت القاعدتان، يتحول الشكل من شبه منحرف وفق تعريفنا إلى متوازي أضلاع.

لكن قانون المساحة ينسجم رياضيًا:

وهو قانون مساحة متوازي الأضلاع.

١٣) تأثير تغيير الارتفاع

إذا بقيت القاعدتان ثابتتين، فالمساحة تتناسب طرديًا مع الارتفاع.

إذا تضاعف الارتفاع، تتضاعف المساحة.

إذا أصبح الارتفاع نصفه، تصبح المساحة نصفها.

١٤) تأثير تغيير القاعدتين بالنسبة نفسها

إذا ضُربت القاعدتان في العدد ك وبقي الارتفاع ثابتًا، فإن متوسط القاعدتين يُضرب في ك، ولذلك المساحة تُضرب في ك.

مثال

إذا تضاعفت القاعدتان مع ثبات الارتفاع، تتضاعف المساحة.

١٥) تكبير الشكل كله

إذا ضُربت جميع الأطوال في ك، بما فيها القاعدتان والارتفاع، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

إذا تضاعفت جميع أبعاد شبه المنحرف:

فتصبح المساحة أربعة أمثال.

١٦) نسبة مساحتي شبه منحرفين متشابهين

إذا كانت نسبة الأطوال المناظرة:

فنسبة المساحتين:

مثال

نسبة الأطوال = .

نسبة المساحتين:

١٧) شبه منحرف متساوي الساقين: إيجاد الارتفاع

إذا كانت القاعدتان والساق معلومة، يمكن إيجاد الارتفاع بفيثاغورس.

في شبه المنحرف متساوي الساقين، نصف فرق القاعدتين:

ثم إذا كان طول الساق ل:

١٨) مثال: المساحة من القاعدتين والساق

شبه منحرف متساوي الساقين قاعدتاه ١٦ و١٠، وطول كل ساق ٥.

نصف فرق القاعدتين:

الارتفاع:

متوسط القاعدتين:

المساحة:

١٩) شبه المنحرف القائم

في شبه المنحرف القائم تكون إحدى الساقين عمودية على القاعدتين.

لذلك طول هذه الساق يساوي الارتفاع مباشرة.

مثال

قاعدتاه ١٥ و٩، وساقه العمودية ٨.

٢٠) التقسيم إلى مستطيل ومثلثات

يمكن أحيانًا تقسيم شبه المنحرف إلى مستطيل ومثلث أو مثلثين.

هذه الطريقة مفيدة في المساحات المظللة أو عندما تكون أبعاد الأجزاء واضحة.

لكن إذا كانت القاعدتان والارتفاع معلومين، فالقانون المباشر أسرع.

٢١) مساحات شبه منحرفات لها القاعدتان نفسيهما والارتفاع نفسه

إذا كان لشبه منحرفين القاعدتان بالطولين نفسيهما والارتفاع نفسه، فمساحتاهما متساويتان مهما اختلف ميل الساقين.

لأن القانون يعتمد فقط على القاعدتين والارتفاع.

٢٢) مقارنة عند ثبات مجموع القاعدتين والارتفاع

إذا كان مجموع القاعدتين ثابتًا والارتفاع ثابتًا، فإن المساحة ثابتة أيضًا.

لأن:

مثال

شبه منحرف قاعدتاه ٨ و١٢، وآخر قاعدتاه ٦ و١٤، ولهما الارتفاع نفسه.

مجموع القاعدتين في كل منهما = ٢٠، إذن المساحتان متساويتان.

٢٣) المساحات المظللة

في المساحات المظللة، استخدم إحدى الطريقتين:

المساحة المظللة = مساحة الشكل الكبير − مساحة الجزء غير المظلل.

أو قسّم الشكل إلى أشكال مألوفة ثم اجمع المساحات.

٢٤) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

ولا تكتب وحدة طول فقط عند الإجابة عن مساحة.

٢٥) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

شبه منحرف قاعدتاه ١٠ و٦، وارتفاعه ٤. ما مساحته؟

أ) ١٦
ب) ٢٤
ج) ٣٢
د) ٦٤

مثال ٢ — إيجاد الارتفاع

مساحة شبه منحرف ٨٤، وقاعدتاه ١٦ و١٢. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

مثال ٣ — قاعدة مجهولة

مساحة شبه منحرف ١٠٠، وارتفاعه ٥، وإحدى قاعدتيه ١٢. ما القاعدة الأخرى؟

أ) ١٨
ب) ٢٢
ج) ٢٨
د) ٣٢

مثال ٤ — القطعة المتوسطة

طول القطعة المتوسطة في شبه منحرف ١٢، وارتفاعه ٧. ما مساحته؟

أ) ٤٢
ب) ٧٢
ج) ٨٤
د) ١٦٨

٢٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى

شبه منحرف متساوي الساقين قاعدتاه ٢٤ و١٤، وطول كل ساق ١٣. ما مساحته؟

أ) ١١٤
ب) ١٩٠
ج) ٢٢٨
د) ٤٥٦

٢٧) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان القسمة على ٢ في القانون.

الخطأ الثاني: ضرب القاعدتين في بعضهما بدل جمعهما.

الخطأ الثالث: استخدام الساق المائلة بدل الارتفاع العمودي.

الخطأ الرابع: عند إيجاد قاعدة مجهولة، نسيان أن القانون يعتمد على مجموع القاعدتين.

الخطأ الخامس: في شبه المنحرف متساوي الساقين، استخدام فرق القاعدتين كاملًا بدل نصف الفرق عند تكوين المثلث القائم.

الخطأ السادس: الخلط بين المحيط والمساحة.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة.

٢٨) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مساحة شبه منحرف = متوسط القاعدتين × الارتفاع.

التكتيك الثاني: ابحث عن القاعدتين المتوازيتين، لا عن أطول ضلعين فقط.

التكتيك الثالث: الارتفاع يجب أن يكون عموديًا.

التكتيك الرابع: مساحة + قاعدتان ← .

التكتيك الخامس: مساحة + ارتفاع ← مجموع القاعدتين = .

التكتيك السادس: القطعة المتوسطة معلومة ← المساحة = القطعة المتوسطة × الارتفاع.

التكتيك السابع: متساوي الساقين + القاعدتان + الساق ← نصف فرق القاعدتين ثم فيثاغورس لإيجاد الارتفاع.

التكتيك الثامن: إذا كان مجموع القاعدتين والارتفاع ثابتين، فالمساحة ثابتة.

٢٩) تدريب متدرج

سؤال ١

شبه منحرف قاعدتاه ١٢ و٨، وارتفاعه ٥. ما مساحته؟

أ) ٤٠
ب) ٥٠
ج) ٦٠
د) ١٠٠

سؤال ٢

شبه منحرف قاعدتاه ١٥ و٩، وارتفاعه ٥. ما مساحته؟

أ) ٢٤
ب) ٤٨
ج) ٦٠
د) ١٢٠

سؤال ٣

مساحة شبه منحرف ٨٤، وقاعدتاه ١٦ و١٢. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

سؤال ٤

مساحة شبه منحرف ١٠٠، وارتفاعه ٥، وإحدى قاعدتيه ١٢. ما القاعدة الأخرى؟

أ) ١٨
ب) ٢٢
ج) ٢٨
د) ٣٢

سؤال ٥

متوسط قاعدتي شبه منحرف ١٤، وارتفاعه ٦. ما مساحته؟

أ) ٤٢
ب) ٧٠
ج) ٨٤
د) ١٦٨

سؤال ٦

طول القطعة المتوسطة في شبه منحرف ٩، وارتفاعه ٨. ما المساحة؟

أ) ٣٦
ب) ٧٢
ج) ٨١
د) ١٤٤

سؤال ٧

مساحة شبه منحرف ١٢٠، وارتفاعه ٨. ما مجموع قاعدتيه؟

أ) ١٥
ب) ٢٤
ج) ٣٠
د) ٦٠

سؤال ٨

شبه منحرف متساوي الساقين قاعدتاه ١٦ و١٠، وساقه ٥. ما ارتفاعه؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

سؤال ٩

شبه منحرف متساوي الساقين قاعدتاه ١٦ و١٠، وساقه ٥. ما مساحته؟

أ) ٢٦
ب) ٤٠
ج) ٥٢
د) ٦٥

سؤال ١٠

شبه منحرف قائم قاعدتاه ١٤ و٨، وساقه العمودية ٦. ما مساحته؟

أ) ٣٣
ب) ٦٦
ج) ٨٤
د) ١٣٢

سؤال ١١

إذا تضاعف ارتفاع شبه منحرف وبقيت القاعدتان ثابتتين، فماذا يحدث للمساحة؟

أ) تبقى كما هي
ب) تتضاعف
ج) تصبح أربعة أمثال
د) تصبح نصفها

سؤال ١٢

إذا تضاعفت جميع أبعاد شبه منحرف، فكم تصبح مساحته؟

أ) الضعف
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

سؤال ١٣

شبه منحرف قاعدتاه ٨ و١٢، وآخر قاعدتاه ٦ و١٤، ولهما الارتفاع نفسه. ما العلاقة بين المساحتين؟

أ) الأولى أكبر
ب) الثانية أكبر
ج) متساويتان
د) لا يمكن المقارنة

سؤال ١٤

أي قيمة لا تستخدم مباشرة في قانون مساحة شبه المنحرف؟

أ) القاعدة الأولى
ب) القاعدة الثانية
ج) الارتفاع العمودي
د) الساق المائلة

٣٠) ملخص الدرس

مساحة شبه المنحرف:

والصيغة الأسرع ذهنيًا:

الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدتين. وإذا كانت القطعة المتوسطة معلومة، فإن طولها يساوي متوسط القاعدتين، فتكون المساحة = القطعة المتوسطة × الارتفاع.

إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين وأُعطيت القاعدتان والساق، فاستخدم نصف فرق القاعدتين مع فيثاغورس لإيجاد الارتفاع أولًا.