١) الفكرة الأساسية

مساحة المعين هي مقدار المنطقة الموجودة داخل الشكل.

لها طريقتان أساسيتان مهمتان في القدرات:

الطريقة الأولى: القاعدة × الارتفاع العمودي.

الطريقة الثانية: نصف حاصل ضرب القطرين.

٢) متى أستخدم كل طريقة؟

إذا أعطاك السؤال ضلعًا وارتفاعًا عموديًا عليه، استخدم القاعدة × الارتفاع.

إذا أعطاك طولي القطرين، استخدم نصف حاصل ضرب القطرين.

اختر الطريقة التي تعتمد مباشرة على المعطيات لتختصر الوقت.

٣) الطريقة الأولى: القاعدة × الارتفاع

لأن المعين نوع خاص من متوازي الأضلاع، يمكن اعتبار أي ضلع قاعدة.

لكن الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة.

مثال

معين طول قاعدته ١٢ وارتفاعه العمودي ٧.

٤) لا تستخدم الضلع المائل بدل الارتفاع

الارتفاع هو أقصر مسافة عمودية بين ضلعين متقابلين متوازيين.

ليس كل خط داخل المعين يصلح ارتفاعًا.

مثال

إذا كان الضلع ١٠ والارتفاع العمودي ٦:

ولا نحسب إلا إذا كان الشكل مربعًا.

٥) الطريقة الثانية: القطران

إذا كان طولا القطرين معلومين:

مثال

قطرا معين ١٤ و٦.

٦) لماذا نصف حاصل ضرب القطرين؟

قطرا المعين متعامدان وينصف كل منهما الآخر.

وهما يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة متساوية في المساحة.

عند جمع مساحات المثلثات الأربعة نحصل على:

٧) القطران يقسمان المساحة إلى أربعة أجزاء متساوية

إذا كانت مساحة المعين = م، فإن مساحة كل مثلث من المثلثات الأربعة الناتجة عن القطرين:

مثال

مساحة معين = ٩٦.

مساحة كل مثلث:

٨) إذا أعطاك السؤال أنصاف الأقطار

هذه من النقاط التي تتكرر فيها الأخطاء.

إذا كان نصفا القطرين أ وب، فالقطران الكاملان:

إذن:

٩) اختصار أنصاف الأقطار

إذا أعطاك السؤال نصفي القطرين مباشرة، يمكنك استخدام الاختصار:

مثال

نصفا القطرين ٥ و٧.

١٠) إيجاد قطر مجهول من المساحة

إذا كانت المساحة وأحد القطرين معلومين:

إذن القطر المجهول:

مثال

مساحة معين = ٨٤، وأحد القطرين = ١٢.

١١) إيجاد الارتفاع من المساحة والضلع

من:

نحصل على:

مثال

مساحة معين = ٩٦ وطول ضلعه ١٢.

١٢) إيجاد الضلع من المساحة والارتفاع

إذا كانت المساحة والارتفاع معلومة:

مثال

مساحة معين = ٧٢ وارتفاعه = ٦.

١٣) إيجاد المساحة من المحيط والارتفاع

إذا كان المحيط معلومًا، نجد الضلع أولًا:

ثم:

مثال

محيط معين = ٤٨ وارتفاعه = ٥.

الضلع:

المساحة:

١٤) إيجاد المساحة من الضلع وأحد القطرين

إذا كان الضلع وأحد القطرين معلومين، يمكن أولًا إيجاد القطر الآخر باستخدام فيثاغورس.

تذكر أن نصفي القطرين مع ضلع المعين يصنعون مثلثًا قائمًا.

مثال

ضلع معين = ١٣، وأحد القطرين = ١٠.

نصف القطر المعلوم = ٥.

إذا كان نصف القطر الآخر = س:

إذن القطر الآخر = ٢٤.

المساحة:

١٥) تكتيك أسرع عند معرفة نصفي القطرين

في المثال السابق، بعدما عرفت نصفي القطرين ٥ و١٢، يمكن حساب المساحة مباشرة:

وهذا أسرع من مضاعفة كل نصف ثم استخدام القانون الأصلي.

١٦) إذا تضاعف أحد القطرين فقط

من قانون المساحة:

إذا تضاعف قطر واحد وبقي الآخر ثابتًا، فإن المساحة تتضاعف.

مثال

مساحة معين = ٣٠، ثم تضاعف أحد القطرين فقط.

المساحة الجديدة = ٦٠.

١٧) إذا تضاعف القطران معًا

إذا تضاعف القطران معًا:

فتصبح المساحة أربعة أمثال.

مثال

مساحة معين = ٢٥، ثم تضاعف القطران.

١٨) القاعدة نفسها والارتفاع نفسه

أي معينين لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه تكون مساحتاهما متساويتين.

شكل الميل لا يغيّر المساحة ما دام طول القاعدة والارتفاع العمودي ثابتين.

١٩) المعين والمربع

المربع حالة خاصة من المعين.

يمكن حساب مساحة المربع بالطريقة نفسها باستخدام القاعدة والارتفاع، لكن في المربع يكون الارتفاع مساويًا لطول الضلع.

أما في المعين العام فالارتفاع غالبًا أصغر من طول الضلع.

٢٠) لا تخلط بين مساحة المعين ومحيطه

محيط المعين:

أما المساحة:

أو:

٢١) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

إذا كانت الأطوال بالمتر، فالمساحة بالمتر المربع.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — القاعدة والارتفاع

معين قاعدته ١٠ وارتفاعه ٦. ما مساحته؟

أ) ٣٠
ب) ٤٠
ج) ٦٠
د) ١٠٠

مثال ٢ — القطران

قطرا معين ١٢ و٨. ما مساحته؟

أ) ٢٤
ب) ٤٨
ج) ٩٦
د) ١٩٢

مثال ٣ — أنصاف الأقطار

نصفا قطري معين ٤ و٩. ما مساحته؟

أ) ٣٦
ب) ٧٢
ج) ١٤٤
د) ٢٨٨

مثال ٤ — قطر مجهول

مساحة معين = ٩٠، وأحد قطريه = ١٥. ما القطر الآخر؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٣٠

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

معين طول ضلعه ١٧، وأحد قطريه ١٦. فما مساحته؟

أ) ١٢٠
ب) ٢٤٠
ج) ٢٧٢
د) ٥٤٤

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان النصف عند استخدام القطرين.

الخطأ الثاني: استخدام الضلع المائل بدل الارتفاع العمودي.

الخطأ الثالث: استخدام أنصاف الأقطار وكأنها أقطار كاملة.

الخطأ الرابع: إذا عرفت أنصاف الأقطار، مضاعفتها ثم نسيان النصف في القانون.

الخطأ الخامس: استخدام المحيط بدل قانون المساحة.

الخطأ السادس: عند استخدام فيثاغورس، استعمال القطر كاملًا بدل نصف القطر.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: قاعدة + ارتفاع عمودي ← اضربهما مباشرة.

التكتيك الثاني: قطران كاملان ← .

التكتيك الثالث: نصفا القطرين أ وب ← .

التكتيك الرابع: مساحة + قطر ← القطر الآخر = .

التكتيك الخامس: مساحة + ضلع ← الارتفاع = المساحة ÷ الضلع.

التكتيك السادس: محيط + ارتفاع ← اقسم المحيط على ٤ لإيجاد الضلع ثم اضرب في الارتفاع.

التكتيك السابع: ضلع + قطر ← استخدم نصف القطر مع فيثاغورس لإيجاد نصف القطر الآخر.

التكتيك الثامن: تضاعف قطر واحد ← المساحة تتضاعف؛ تضاعف القطرين ← المساحة تصبح أربعة أمثال.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

معين قاعدته ١٢ وارتفاعه ٥. ما مساحته؟

أ) ٣٠
ب) ٥٠
ج) ٦٠
د) ١٢٠

سؤال ٢

قطرا معين ١٠ و١٤. ما مساحته؟

أ) ٣٥
ب) ٧٠
ج) ١٤٠
د) ٢٨٠

سؤال ٣

قطرا معين ١٦ و٢٠. ما مساحته؟

أ) ٨٠
ب) ١٦٠
ج) ٣٢٠
د) ٦٤٠

سؤال ٤

نصفا قطري معين ٣ و٨. ما مساحته؟

أ) ٢٤
ب) ٤٨
ج) ٩٦
د) ١٩٢

سؤال ٥

مساحة معين ١٠٨، وأحد قطريه ١٢. ما القطر الآخر؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢٤

سؤال ٦

مساحة معين ٨٠ وطول ضلعه ١٠. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٦

سؤال ٧

محيط معين ٥٦ وارتفاعه ٩. ما مساحته؟

أ) ٦٣
ب) ١٢٦
ج) ٢٥٢
د) ٥٠٤

سؤال ٨

ضلع معين ١٣ وأحد قطريه ١٠. ما مساحته؟

أ) ٦٠
ب) ١٢٠
ج) ١٣٠
د) ٢٤٠

سؤال ٩

مساحة معين ٧٢. ما مساحة كل مثلث من المثلثات الأربعة الناتجة عن القطرين؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٣٦
د) ٧٢

سؤال ١٠

إذا تضاعف أحد قطري معين وبقي الآخر ثابتًا، فالمساحة:

أ) تبقى ثابتة
ب) تتضاعف
ج) تصبح أربعة أمثال
د) تصبح نصفها

سؤال ١١

إذا تضاعف قطرا معين معًا، فالمساحة الجديدة:

أ) ضعف الأصلية
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

سؤال ١٢

أي القيم التالية تمثل ارتفاعًا ممكنًا لمعين طول ضلعه ١٠؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ١٣

معين قاعدته ١٥ ومساحته ٩٠. ما ارتفاعه؟

أ) ٣
ب) ٦
ج) ٩
د) ١٥

سؤال ١٤

نصفا قطري معين ٦ و١٠. أي قانون يعطي مساحته مباشرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٧) ملخص الدرس

لمساحة المعين قانونان أساسيان:

و:

إذا أعطيت نصفي القطرين أ وب، فإن الاختصار:

وانتبه دائمًا إلى أن الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة، وأن أنصاف الأقطار ليست أقطارًا كاملة. ويمكن ربط المساحة بخصائص المعين وفيثاغورس لإيجاد قطر أو ضلع مجهول قبل تطبيق القانون.