١) الفكرة الأساسية

مساحة المظلل هي مساحة الجزء المحدد داخل شكل مركب.

لا يوجد قانون واحد ثابت لكل المساحات المظللة، بل نحلل الرسم إلى أشكال نعرف قوانين مساحاتها.

أشهر قاعدة:

٢) الخطة الذهبية للحل

عند رؤية شكل مظلل، اتبع الترتيب التالي:

١. حدّد المنطقة المطلوبة بدقة.

٢. حدّد الشكل الكبير الذي يحتويها.

٣. احسب مساحة الشكل الكبير.

٤. حدّد الجزء أو الأجزاء التي يجب طرحها.

٥. اجمع أو اطرح المساحات في النهاية.

٣) لا تبدأ بالقانون قبل فهم الرسم

أكثر الأخطاء تأتي من القفز مباشرة إلى قانون مساحة دائرة أو مربع دون تحديد المنطقة المطلوبة.

قبل الحساب اسأل نفسك:

هل المظلل داخل الشكل الكبير أم خارجه؟ وما الذي يجب أن أطرحه؟

٤) داخل مربع وخارج دائرة

إذا كانت دائرة داخل مربع، والمظلل هو الجزء داخل المربع وخارج الدائرة:

مثال

مربع ضلعه ١٢، وداخله دائرة نصف قطرها ٤.

مساحة المربع:

مساحة الدائرة:

المظلل:

٥) دائرة مماسة لأضلاع مربع

إذا كانت الدائرة داخل مربع وتمس أضلاعه الأربعة، فإن:

إذن:

مثال

مربع ضلعه ١٤، وداخله دائرة مماسة لأضلاعه.

نصف القطر:

المظلل خارج الدائرة وداخل المربع:

٦) داخل دائرة وخارج مربع

إذا كان المربع داخل دائرة، والمظلل هو الجزء داخل الدائرة وخارج المربع:

إذا كانت رؤوس المربع على الدائرة:

٧) مثال: مربع مرسوم داخل دائرة

مربع ضلعه ٦ مرسوم داخل دائرة.

قطر المربع:

إذن نصف قطر الدائرة:

مساحة الدائرة:

مساحة المربع:

المظلل داخل الدائرة وخارج المربع:

٨) المظلل بين دائرتين لهما المركز نفسه

إذا كان لدينا دائرتان متحدتا المركز، فإن المنطقة بينهما تسمى حلقة.

مساحتها:

أي:

٩) مثال على الحلقة

نصف قطر الدائرة الكبرى = ٧، والصغرى = ٣.

١٠) المظلل نصف دائرة أو ربع دائرة

إذا كان المظلل يمثل نصف الدائرة:

وإذا كان يمثل ربع الدائرة:

مثال

دائرة نصف قطرها ٨، والمظلل ربعها.

١١) القطاعات الدائرية المظللة

إذا كانت زاوية القطاع المركزية = س:

مثال

قطاع زاويته ٦٠° ونصف قطره ٦.

١٢) قطاع دائري ناقص مثلث

من الأنماط المهمة أن يكون المظلل داخل قطاع دائري وخارج مثلث.

عندها:

١٣) مثال: ربع دائرة ناقص مثلث

قطاع دائري زاويته ٩٠° ونصف قطره ٦، وداخله مثلث قائم ضلعاه القائمان نصفا القطر.

مساحة القطاع:

مساحة المثلث:

المظلل بين القوس والوتر:

١٤) الأجزاء المتكررة المتساوية

إذا كان الشكل متماثلًا ومقسمًا إلى أجزاء متطابقة، فقد يكون إيجاد مساحة جزء واحد ثم ضربها في عدد الأجزاء أسرع.

مثال

إذا كان المظلل مكوّنًا من ٤ أجزاء متطابقة مساحة كل جزء ٦:

١٥) إذا كان المظلل نصف الشكل

أحيانًا يبيّن التماثل أو القطر أن الجزأين متساويان في المساحة.

إذا ثبت أن المظلل نصف الشكل:

لا تحسب مساحات معقدة إذا كان التماثل يعطي النتيجة مباشرة.

١٦) المثلث داخل متوازي الأضلاع أو المستطيل

إذا كان مثلث له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه لمتوازي أضلاع، فمساحة المثلث نصف مساحة متوازي الأضلاع.

وتفيد هذه العلاقة كثيرًا في المساحات المظللة دون الحاجة إلى أبعاد إضافية.

١٧) الأقطار وتقسيم المساحة

قطر المستطيل أو متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين في المساحة.

وقطرا متوازي الأضلاع يقسمانه إلى أربعة مثلثات متساوية في المساحة.

إذا كان التظليل يطابق بعض هذه الأجزاء، استخدم النسبة مباشرة.

١٨) مربع داخلي يصل بين منتصفات أضلاع مربع

إذا وصلنا منتصفات أضلاع مربع، يتكون مربع داخلي مساحته نصف مساحة المربع الخارجي.

إذن المساحة المتبقية أيضًا نصف المساحة الخارجية.

١٩) جمع المساحات بدل الطرح

ليس كل سؤال مظلل يحتاج إلى طرح.

إذا كانت المنطقة المطلوبة مكونة من أجزاء منفصلة أو أشكال متجاورة دون تداخل، نجمع مساحاتها.

٢٠) مستطيل وفوقه نصف دائرة

إذا كان الشكل مركبًا من مستطيل ونصف دائرة فوقه، فالمساحة الكلية = مساحة المستطيل + مساحة نصف الدائرة.

مثال

مستطيل طوله ١٠ وعرضه ٦، وفوقه نصف دائرة قطرها ١٠.

مساحة المستطيل:

نصف قطر الدائرة:

مساحة نصف الدائرة:

المساحة الكلية:

٢١) الأشكال المتداخلة: احسب من الخارج للداخل

إذا كان هناك أكثر من شكل داخل بعضه، رتّب الحساب من الشكل الخارجي إلى الداخلي.

مثال: مربع كبير، داخله دائرة، وداخل الدائرة مربع صغير.

حدّد بالضبط أي مناطق داخلة في التظليل وأيها مستبعدة، ثم اكتب عملية الجمع والطرح قبل التعويض بالأرقام.

٢٢) استخدام النسب بدل القوانين الطويلة

إذا كانت الأطوال المتناظرة تتغير بنسبة معلومة، فتذكر أن المساحات تتغير بمربع النسبة.

مثال

دائرتان نسبة نصفي قطريهما:

فنسبة المساحتين:

إذا كانت مساحة الكبرى ٨٠، فمساحة الصغرى ٢٠، والمساحة بينهما ٦٠.

٢٣) عندما تكون المساحة الكلية معلومة

ليس من الضروري دائمًا معرفة الأبعاد.

إذا أعطاك السؤال مساحة الشكل الكبير ومساحة الجزء الداخلي مباشرة، اطرح فورًا.

مثال

مساحة الشكل الكبير = ١٥٠، ومساحة الجزء غير المظلل = ٤٢.

٢٤) إذا كان المظلل أكثر من جزء

قد يتكون المظلل من منطقتين أو أكثر.

يمكنك إما جمع المساحات المظللة، أو في بعض الرسومات يكون الأسهل:

اختر الطريق الذي يحتاج أقل حساب.

٢٥) كيف تختار العملية الصحيحة؟

داخل الكبير وخارج الصغير: اطرح الصغير من الكبير.

جزآن متجاوران مطلوبان معًا: اجمع.

حلقة بين دائرتين: الكبرى − الصغرى.

قطاع دون مثلث: القطاع − المثلث.

شكل مركب دون تداخل: اجمع أجزاءه.

٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مربع ودائرة

مربع مساحته ١٠٠، وداخله دائرة مساحتها . ما مساحة الجزء داخل المربع وخارج الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — حلقة دائرية

دائرتان متحدتا المركز، نصف قطر الكبرى ٨ والصغرى ٥. ما مساحة المنطقة بينهما؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — ربع دائرة

دائرة نصف قطرها ٦، والمنطقة المظللة تمثل ربع الدائرة. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — قطاع ناقص مثلث

ربع دائرة نصف قطرها ٦، وداخلها مثلث قائم ضلعاه القائمان نصفا القطر. ما المساحة بين القوس والوتر؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مربع ضلعه ١٤، بداخله دائرة تمس أضلاعه الأربعة. ما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: طرح المساحتين بالعكس. إذا كان المطلوب داخل الكبير وخارج الصغير، فالعملية = الكبير − الصغير.

الخطأ الثاني: استخدام قانون المحيط؛ المطلوب مساحة، لذلك استخدم قوانين المساحة.

الخطأ الثالث: الخلط بين قطر الدائرة ونصف قطرها عند وجود دائرة داخل مربع.

الخطأ الرابع: نسيان أن نصف الدائرة نصف المساحة، وربع الدائرة ربعها.

الخطأ الخامس: التعامل مع «مساحة المظلل» كأن لها قانونًا مستقلًا ثابتًا.

الخطأ السادس: حساب مساحة القطاع ثم نسيان طرح المثلث أو الجزء الداخلي.

الخطأ السابع: جمع مناطق متداخلة بطريقة تؤدي إلى حساب جزء مرتين.

٢٩) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: قبل الحساب اكتب بالكلمات: كبير − صغير، أو جزء + جزء.

التكتيك الثاني: دائرة داخل مربع ومماسة للأضلاع ← قطر الدائرة = ضلع المربع.

التكتيك الثالث: مربع داخل دائرة ورؤوسه على المحيط ← قطر المربع = قطر الدائرة.

التكتيك الرابع: دائرتان متحدتا المركز ← مساحة الحلقة = الكبرى − الصغرى.

التكتيك الخامس: ٩٠° = ربع دائرة، ١٨٠° = نصف دائرة، ٢٧٠° = ثلاثة أرباع دائرة.

التكتيك السادس: قطاع ناقص مثلث ← احسب كل مساحة وحدها ثم اطرح.

التكتيك السابع: استغل التماثل والأجزاء المتساوية قبل بدء الحساب.

التكتيك الثامن: إذا كانت الأبعاد بنسبة ك، فالمساحات بنسبة .

٣٠) تدريب متدرج

سؤال ١

مستطيل مساحته ٨٠، وداخله جزء غير مظلل مساحته ٢٥. ما مساحة المظلل؟

أ) ٥٥
ب) ٦٥
ج) ٨٠
د) ١٠٥

سؤال ٢

مربع ضلعه ١٠، وداخله دائرة نصف قطرها ٤. ما مساحة الجزء داخل المربع وخارج الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

مربع ضلعه ١٢، وداخله دائرة تمس أضلاعه الأربعة. ما مساحة الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤

دائرتان متحدتا المركز، نصف قطر الكبرى ٦ والصغرى ٢. ما مساحة الحلقة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥

دائرة نصف قطرها ١٢. ما مساحة نصف الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦

دائرة نصف قطرها ٦. ما مساحة ربع الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧

قطاع زاويته ١٢٠° في دائرة نصف قطرها ٣. ما مساحة القطاع؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٨

ربع دائرة نصف قطرها ٨، وداخلها مثلث قائم ضلعاه القائمان نصفا القطر. ما المساحة بين القوس والوتر؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩

مربع مرسوم داخل دائرة، طول ضلعه ٨. ما مساحة المربع؟

أ) ١٦
ب) ٣٢
ج) ٦٤
د) ١٢٨

سؤال ١٠

مربع ضلعه ٨ مرسوم داخل دائرة. ما مساحة الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١

مربع ضلعه ٨ مرسوم داخل دائرة. ما مساحة الجزء داخل الدائرة وخارج المربع؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٢

مربع كبير مساحته ١٠٠، ووصلت منتصفات أضلاعه لتكوين مربع داخلي. ما مساحة المنطقة بين المربعين؟

أ) ٢٥
ب) ٥٠
ج) ٧٥
د) ١٠٠

سؤال ١٣

مستطيل طوله ١٠ وعرضه ٦، وفوقه نصف دائرة قطرها ١٠. ما مساحة الشكل كله؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤

دائرتان نسبة نصفي قطريهما ١:٣. إذا كانت مساحة الكبرى ٩٠، فما مساحة المنطقة بينهما؟

أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٨٠
د) ٩٠

٣١) ملخص الدرس

مساحة المظلل تعتمد على تحليل الشكل، وليس على قانون واحد.

القاعدة الأشهر:

وقد نحتاج بدل ذلك إلى جمع مساحات أجزاء متجاورة، أو استخدام نسب وتماثل لتجنب الحساب الطويل.

في الدوائر، انتبه إلى القطر ونصف القطر، وأنصاف وأرباع الدائرة والقطاعات. وفي الأشكال المتداخلة، اكتب عملية الجمع أو الطرح أولًا قبل التعويض بالأرقام.