١) الفكرة الأساسية

مساحة المستطيل هي مقدار المنطقة الموجودة داخل المستطيل.

القانون:

أو:

٢) لماذا نضرب الطول في العرض؟

يمكن تخيل المستطيل مكوّنًا من صفوف وأعمدة من الوحدات المربعة.

إذا كان الطول ٥ وحدات والعرض ٣ وحدات، فلدينا ٥ أعمدة و٣ صفوف:

إذن المساحة = ١٥ وحدة مربعة.

٣) متى أستخدم المساحة؟

فكر في المساحة عندما ترى عبارات مثل:

المساحة داخل مستطيل.

مساحة أرض أو غرفة.

تغطية أرضية بالبلاط.

دهان سطح مستطيل.

عدد القطع اللازمة لتغطية سطح.

جزء من مساحة مستطيل.

٤) الحل المباشر

مثال

مستطيل طوله ١٤ وعرضه ٦.

إذن المساحة = ٨٤.

٥) إذا كانت المساحة وأحد البعدين معلومين

إذا عرفت المساحة والطول، فإن:

وإذا عرفت المساحة والعرض، فإن:

مثال

مساحة مستطيل = ٩٦، وطوله = ١٢.

٦) تكتيك عوامل المساحة

إذا أعطاك السؤال مساحة المستطيل وطلب بعديه، ففكر في أزواج الأعداد التي حاصل ضربها يساوي المساحة.

مثال

مساحة مستطيل = ٤٨، وأبعاده أعداد صحيحة.

من أزواج العوامل:

نستخدم الشرط الإضافي في السؤال لاختيار الزوج الصحيح.

٧) المساحة وحدها لا تحدد البعدين

إذا قيل فقط إن مساحة مستطيل = ٢٤، فلا نستطيع تحديد طوله وعرضه بصورة وحيدة.

مثلًا:

لذلك نحتاج إلى معلومة إضافية مثل المحيط أو النسبة أو الفرق بين البعدين.

٨) إذا كانت الأبعاد تحتوي على متغير

نكوّن معادلة من قانون المساحة.

مثال

طول مستطيل = ، وعرضه = ، ومساحته = ٤٨.

بدل البدء بحل معادلة طويلة، نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٤٨ والفرق بينهما ٢.

وهما ٦ و٨.

إذن:

٩) تكتيك تجربة الخيارات

إذا كانت أبعاد المستطيل تحتوي على س وكانت الخيارات أعدادًا بسيطة، فقد تكون تجربة الخيارات أسرع.

مثال

مساحة مستطيل = ٦٠، وطوله = ، وعرضه = س.

إذا كان من الخيارات س = ٦:

فلا يصلح.

إذا كان س = ٥:

وهكذا نختبر الخيارات حتى نجد ما يحقق المساحة المعطاة.

تنبيه

استخدم تجربة الخيارات عندما تكون أسرع فعلًا، وليس لمجرد وجود متغير.

١٠) إذا كان الطول أكبر من العرض بمقدار معلوم

نبحث عن زوج عوامل للمساحة يكون الفرق بينهما هو المقدار المعطى.

مثال

مساحة مستطيل = ٦٠، وطوله أكبر من عرضه بـ٧.

نبحث عن عاملين حاصل ضربهما ٦٠ والفرق بينهما ٧.

والفرق:

إذن الطول = ١٢ والعرض = ٥.

١١) إذا كان الطول ضعف العرض

إذا كان العرض = س، فالطول = .

إذن المساحة:

مثال

مساحة مستطيل = ٧٢، وطوله ضعف عرضه.

إذن العرض = ٦ والطول = ١٢.

١٢) إذا كانت نسبة الطول إلى العرض معلومة

إذا كانت النسبة:

فيمكن كتابة:

ثم نستخدم المساحة.

مثال

نسبة الطول إلى العرض = ، والمساحة = ٥٤.

إذن الطول = ٩ والعرض = ٦.

١٣) العلاقة بين المساحة والمحيط

المساحة والمحيط يقيسان شيئين مختلفين:

المساحة: المنطقة داخل الشكل.

المحيط: المسافة حول الشكل.

لذلك لا يمكن تحويل أحدهما إلى الآخر دون معلومات إضافية عن الأبعاد.

١٤) نفس المساحة لا تعني نفس المحيط

مثال

مستطيل ٦ × ٤:

مستطيل ٨ × ٣:

المساحتان متساويتان لكن المحيطين مختلفان.

١٥) نفس المحيط لا يعني نفس المساحة

مثال

مستطيل ٦ × ٤:

مستطيل ٨ × ٢:

المحيطان متساويان لكن المساحتين مختلفتان.

١٦) إذا تضاعف بعد واحد فقط

إذا تضاعف الطول وبقي العرض ثابتًا، تتضاعف المساحة.

مثال

مستطيل أبعاده ٥ و٤ ومساحته ٢٠.

إذا أصبح الطول ١٠ وبقي العرض ٤:

أي أن المساحة تضاعفت.

١٧) إذا تضاعف الطول والعرض معًا

إذا ضُرب كل بعد في ٢، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

مستطيل مساحته ٣٠.

إذا تضاعف الطول والعرض معًا:

١٨) القاعدة العامة للتكبير

إذا ضُرب الطول والعرض معًا في العدد ك، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

إذا ضُرب كل بعد في ٣:

١٩) إذا تغير الطول والعرض بنسب مختلفة

نضرب تأثير التغيرين معًا.

مثال

تضاعف الطول، وأصبح العرض ثلاثة أمثاله.

عامل تغير المساحة:

إذن المساحة الجديدة = ٦ أمثال المساحة الأصلية.

٢٠) تقسيم المستطيل إلى أجزاء متساوية

إذا قُسم المستطيل إلى ن أجزاء متساوية في المساحة:

مثال

مستطيل مساحته ١٢٠ قُسم إلى ٦ أجزاء متساوية.

٢١) القطر يقسم المستطيل إلى نصفين متساويين

كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين متطابقين، ولذلك مساحة كل مثلث:

مثال

مساحة مستطيل = ٩٦.

مساحة كل مثلث ناتج عن رسم قطر واحد:

٢٢) القطران يقسمان المساحة إلى أربعة أجزاء متساوية

إذا رُسم القطران معًا، فإن المثلثات الأربعة الناتجة متساوية في المساحة.

مثال

مساحة مستطيل = ١٠٨.

مساحة كل جزء:

٢٣) مسائل البلاط والتغطية

إذا كانت مساحة القطعة الواحدة معلومة:

مثال

غرفة مستطيلة طولها ٨ م وعرضها ٦ م.

مساحتها:

إذا كانت كل بلاطة تغطي ٢ م^٢:

إذن نحتاج ٢٤ بلاطة.

٢٤) تكلفة التغطية

إذا كانت التكلفة لكل وحدة مربعة معلومة:

مثال

مساحة أرضية = ٣٥ م^٢، وتكلفة تغطية المتر المربع = ٢٠ ريالًا.

إذن التكلفة = ٧٠٠ ريال.

٢٥) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

إذا كان الطول والعرض بالمتر، فإن المساحة بالمتر المربع.

٢٦) لا تستخدم القطر مباشرة في قانون المساحة

قانون مساحة المستطيل يحتاج الطول والعرض، وليس القطر.

إذا كان القطر معلومًا، فقد نحتاج أولًا إلى استخدام فيثاغورس لإيجاد بعد مفقود، ثم نحسب المساحة.

مثال

قطر مستطيل = ١٣، وأحد بعديه = ٥.

البعد الآخر:

المساحة:

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

مستطيل طوله ١٦ وعرضه ٧. ما مساحته؟

أ) ٢٣
ب) ٤٦
ج) ١١٢
د) ٢٢٤

مثال ٢ — بعد مجهول

مساحة مستطيل = ١٠٨، وطوله = ١٢. ما عرضه؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٢

مثال ٣ — فرق بين البعدين

مساحة مستطيل = ٩٦، وطوله يزيد على عرضه بـ٤. ما العرض؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٢

مثال ٤ — تغير المساحة

إذا تضاعف طول مستطيل وتضاعف عرضه، فكم تصبح مساحته بالنسبة لمساحته الأصلية؟

أ) الضعف
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مستطيل مساحته ١٢٠، وطوله أكبر من عرضه بـ٧. فما محيطه؟

أ) ٣٤
ب) ٤٦
ج) ٥٤
د) ٦٠

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: جمع الطول والعرض بدل ضربهما.

الخطأ الثاني: استخدام قانون المحيط عندما يكون المطلوب المساحة.

الخطأ الثالث: عند معرفة المساحة وأحد البعدين، ضربهما بدل قسمة المساحة على البعد المعلوم.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن المساحة وحدها تحدد الطول والعرض بصورة وحيدة.

الخطأ الخامس: إذا تضاعف الطول والعرض معًا، القول إن المساحة تتضاعف فقط؛ الصحيح أنها تصبح أربعة أمثال.

الخطأ السادس: استخدام القطر مباشرة كأحد عاملي قانون المساحة.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة.

الخطأ الثامن: افتراض أن مستطيلين لهما المحيط نفسه لهما المساحة نفسها.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مساحة المستطيل = .

التكتيك الثاني: مساحة + بعد معلوم ← اقسم لإيجاد البعد الآخر.

التكتيك الثالث: مساحة معلومة وبعدان صحيحان ← ابحث عن أزواج العوامل.

التكتيك الرابع: إذا أعطاك الفرق بين البعدين، ابحث عن زوج عوامل له الفرق نفسه.

التكتيك الخامس: إذا كانت الأبعاد تحتوي على متغير والخيارات بسيطة، جرّب الخيارات إذا كان ذلك أسرع.

التكتيك السادس: إذا ضُرب البعدان معًا في ك، تُضرب المساحة في .

التكتيك السابع: قطر واحد ← نصف المساحة لكل مثلث.

التكتيك الثامن: بلاط أو تغطية ← احسب المساحة أولًا ثم اقسم على مساحة القطعة الواحدة.

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

مستطيل طوله ١٣ وعرضه ٥. ما مساحته؟

أ) ١٨
ب) ٣٦
ج) ٦٥
د) ١٣٠

سؤال ٢

مساحة مستطيل ٨٤، وطوله ١٤. ما عرضه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٧
د) ١٢

سؤال ٣

مساحة مستطيل ١٤٤، وعرضه ٩. ما طوله؟

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ٤

مساحة مستطيل ٤٨، وطوله أكبر من عرضه بـ٢. ما عرضه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٢

سؤال ٥

مساحة مستطيل ٩٨، وطوله ضعف عرضه. ما العرض؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ١٤

سؤال ٦

نسبة طول مستطيل إلى عرضه ٤:٣، ومساحته ١٠٨. ما عرضه؟

أ) ٦
ب) ٩
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٧

مستطيلان لهما المساحة نفسها. هل يجب أن يكون محيطاهما متساويين؟

أ) نعم دائمًا
ب) لا، ليس بالضرورة
ج) نعم إذا كانت المساحة عددًا صحيحًا
د) لا يمكن أن تتساوى مساحتا مستطيلين

سؤال ٨

إذا تضاعف طول مستطيل وبقي عرضه ثابتًا، فالمساحة الجديدة تساوي:

أ) نصف الأصلية
ب) الأصلية نفسها
ج) ضعف الأصلية
د) أربعة أمثال الأصلية

سؤال ٩

إذا أصبح الطول ثلاثة أمثاله والعرض ثلاثة أمثاله، فالمساحة الجديدة تساوي:

أ) ٣ أمثال
ب) ٦ أمثال
ج) ٩ أمثال
د) ٢٧ مثلًا

سؤال ١٠

مستطيل مساحته ٨٠ قُسم إلى ٥ أجزاء متساوية في المساحة. ما مساحة كل جزء؟

أ) ٨
ب) ١٦
ج) ٢٠
د) ٤٠

سؤال ١١

مستطيل مساحته ٧٢ ورُسم قطر واحد. ما مساحة كل مثلث ناتج؟

أ) ١٨
ب) ٢٤
ج) ٣٦
د) ٧٢

سؤال ١٢

غرفة طولها ٩ م وعرضها ٦ م، وكل بلاطة تغطي ٣ م^٢. كم بلاطة نحتاج؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٧
د) ٥٤

سؤال ١٣

قطر مستطيل ١٧، وأحد بعديه ٨. ما مساحته؟

أ) ٦٠
ب) ١٢٠
ج) ١٣٦
د) ٢٨٩

سؤال ١٤

مستطيل مساحته ٦٠، وأبعاده أعداد صحيحة، وطوله أكبر من عرضه. أي زوج يمكن أن يمثل بعديه إذا كان الفرق بينهما ٧؟

أ) ١٠ و٦
ب) ١٢ و٥
ج) ١٥ و٤
د) ٢٠ و٣

٣٢) ملخص الدرس

مساحة المستطيل تساوي:

إذا كانت المساحة وأحد البعدين معلومين، اقسم المساحة على البعد المعلوم. وإذا كانت الأبعاد غير معلومة مباشرة، فابحث عن أزواج عوامل المساحة واستخدم أي شرط إضافي مثل الفرق أو النسبة أو كون أحد البعدين ضعف الآخر.

المساحة والمحيط مستقلان؛ تساوي أحدهما لا يعني تساوي الآخر. وإذا ضُرب الطول والعرض معًا في ك، فإن المساحة تُضرب في . وفي مسائل البلاط والتغطية، احسب مساحة المستطيل أولًا ثم اربطها بمساحة القطعة الواحدة أو تكلفتها.