١) الفكرة الأساسية

مساحة المربع هي مقدار المنطقة الموجودة داخل المربع.

بما أن طول المربع وعرضه متساويان، فإن:

أو:

٢) لماذا نربع طول الضلع؟

إذا كان طول ضلع المربع = س، فإن الطول = س والعرض = س.

إذن:

٣) متى أستخدم مساحة المربع؟

فكر في المساحة عندما ترى عبارات مثل:

مساحة مربع.

مساحة أرض أو غرفة مربعة.

منطقة داخل مربع.

تغطية سطح مربع بالبلاط.

جزء مظلل داخل مربع.

إيجاد ضلع مربع من مساحته.

٤) الحل المباشر من طول الضلع

مثال

مربع طول ضلعه ١٣.

إذن المساحة = ١٦٩.

٥) إيجاد طول الضلع من المساحة

إذا كانت مساحة المربع معلومة، نأخذ الجذر التربيعي للمساحة:

مثال

مساحة مربع = ٨١.

٦) الفرق بين المساحة والمحيط

المساحة: مقدار المنطقة داخل المربع.

المحيط: المسافة حول المربع.

مثال

إذا كان طول الضلع ٧:

المساحة:

المحيط:

٧) مساحة المربع من القطر

في المربع:

بتربيع الطرفين:

وبما أن هي مساحة المربع:

٨) مثال مباشر من القطر

قطر مربع = ١٢.

٩) الحالة السريعة: القطر على صورة معامل مضروب في الجذر

إذا كان القطر على الصورة:

فإن طول الضلع = أ مباشرة، وبالتالي المساحة:

مثال

قطر مربع = .

إذن الضلع = ٨، والمساحة:

١٠) إيجاد القطر من المساحة

من العلاقة:

نحصل على:

مثال

مساحة مربع = ٥٠.

١١) إيجاد المساحة من المحيط

إذا كان المحيط معلومًا، نوجد الضلع أولًا:

ثم نربعه:

مثال

محيط مربع = ٣٦.

١٢) قانون مباشر للمساحة من المحيط

بما أن:

حيث هو المحيط، فإن:

أي:

مثال

المحيط = ٤٠.

١٣) إذا تضاعف طول الضلع

إذا تضاعف طول الضلع، فإن المساحة لا تتضاعف فقط، بل تصبح أربعة أمثال.

لأن:

مثال

مربع مساحته ٢٥. إذا تضاعف طول ضلعه:

١٤) قاعدة التكبير والتصغير

إذا ضُرب طول الضلع في العدد ك، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

إذا أصبح الضلع ثلاثة أمثاله:

فتصبح المساحة ٩ أمثال المساحة الأصلية.

١٥) إذا أصبح الضلع نصفه

إذا أصبح طول الضلع نصف طوله الأصلي، فإن المساحة تصبح:

أي ربع المساحة الأصلية.

١٦) نسبة مساحتي مربعين

إذا كانت نسبة ضلعي مربعين:

فإن نسبة مساحتيهما:

مثال

نسبة الضلعين = .

نسبة المساحتين:

١٧) من نسبة المساحتين إلى نسبة الأضلاع

إذا كانت نسبة مساحتي مربعين:

فنأخذ الجذر التربيعي لكل طرف:

إذن نسبة الضلعين = .

١٨) مربع داخلي يصل بين منتصفات الأضلاع

إذا وصلنا منتصفات أضلاع مربع، يتكوّن مربع أصغر داخل المربع الكبير.

هذا المربع الداخلي مساحته تساوي نصف مساحة المربع الكبير.

١٩) لماذا مساحة مربع المنتصفات تساوي النصف؟

المناطق الأربع بين المربع الداخلي والمربع الخارجي هي أربعة مثلثات قائمة متطابقة.

إذا كان ضلع المربع الكبير = س، فإن قاعدة كل مثلث وارتفاعه = .

مساحة كل مثلث:

مساحة المثلثات الأربعة:

إذن يبقى للمربع الداخلي نصف المساحة الكلية.

٢٠) مثال على مربع المنتصفات

مربع كبير طول ضلعه ١٠، ووصلنا منتصفات أضلاعه.

مساحة المربع الكبير:

مساحة المربع الداخلي:

٢١) مربع ضلعه ضعف ضلع مربع آخر

إذا كان ضلع المربع الكبير ضعف ضلع المربع الصغير، فإن:

مثال

ضلع مربع كبير = ١٠، وهو ضعف ضلع مربع صغير.

إذن ضلع الصغير = ٥.

مساحة الكبير:

مساحة الصغير:

أي أن مساحة الكبير = ٤ أمثال مساحة الصغير.

٢٢) المساحات المظللة داخل مربع

في أسئلة المناطق المظللة، الفكرة الأساسية غالبًا:

المساحة المظللة = مساحة الشكل الكبير − مساحة الجزء غير المظلل.

أو نجمع مساحات أجزاء معروفة إذا كان الشكل مقسمًا إلى مناطق بسيطة.

تكتيك

لا تبدأ بحسابات معقدة قبل أن تسأل: هل يمكنني طرح مساحة شكل معروف من مساحة المربع؟

٢٣) البلاط والتغطية

إذا أردنا تغطية أرض مربعة بقطع ذات مساحة معلومة:

مثال

أرض مربعة ضلعها ١٢ م، وكل بلاطة تغطي ٤ م^٢.

مساحة الأرض:

عدد البلاط:

٢٤) التكلفة لكل وحدة مربعة

إذا كانت تكلفة المتر المربع معلومة:

مثال

أرض مربعة ضلعها ٨ م، وتكلفة التغطية ٢٥ ريالًا لكل متر مربع.

المساحة:

التكلفة:

٢٥) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

إذا كان طول الضلع بالمتر، فالمساحة بالمتر المربع.

٢٦) مربع ومستطيل لهما القطر نفسه

عند ثبات القطر، تكون مساحة المربع أكبر من أو تساوي مساحة أي مستطيل له القطر نفسه.

وتتحقق المساواة عندما يكون المستطيل مربعًا أيضًا.

هذه نتيجة مفيدة في أسئلة المقارنة.

٢٧) مربع ومستطيل لهما المحيط نفسه

إذا كان للمربع ومستطيل غير مربع المحيط نفسه، فإن المربع يملك المساحة الأكبر.

مثال

محيط كل شكل = ٢٠.

المربع ضلعه ٥ ومساحته:

مستطيل أبعاده ٦ و٤ له المحيط نفسه، ومساحته:

المربع أكبر مساحة.

٢٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

مربع ضلعه ١١. ما مساحته؟

أ) ٢٢
ب) ٤٤
ج) ١٢١
د) ٢٤٢

مثال ٢ — من المساحة إلى الضلع

مساحة مربع = ١٩٦. ما طول ضلعه؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢٨
د) ٩٨

مثال ٣ — من القطر

قطر مربع = ١٤. ما مساحته؟

أ) ٤٩
ب) ٩٨
ج) ١٩٦
د) ٣٩٢

مثال ٤ — من المحيط

محيط مربع = ٥٢. ما مساحته؟

أ) ٥٢
ب) ١٠٤
ج) ١٦٩
د) ٢٧٠٤

٢٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مربع مساحته ١٤٤، ورُسم مربع داخلي يصل بين منتصفات أضلاعه. فما مساحة المربع الداخلي؟

أ) ٣٦
ب) ٧٢
ج) ٩٦
د) ١٤٤

٣٠) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: ضرب الضلع في ٤ بدل تربيعه؛ هذا يحسب المحيط.

الخطأ الثاني: إذا كانت المساحة معلومة، نسيان أخذ الجذر التربيعي لإيجاد الضلع.

الخطأ الثالث: عند استخدام القطر، استخدام وحده؛ الصحيح .

الخطأ الرابع: إذا تضاعف الضلع، القول إن المساحة تتضاعف فقط؛ الصحيح أنها تصبح أربعة أمثال.

الخطأ الخامس: الخلط بين نسبة الأضلاع ونسبة المساحات؛ نسبة المساحات هي مربع نسبة الأضلاع.

الخطأ السادس: اعتبار مساحة مربع المنتصفات ربع مساحة الكبير؛ الصحيح أنها نصفها.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة.

٣١) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مساحة مربع ← .

التكتيك الثاني: مساحة معلومة ← الضلع = .

التكتيك الثالث: قطر معلوم ← المساحة = .

التكتيك الرابع: قطر على صورة ← الضلع = أ والمساحة = .

التكتيك الخامس: محيط معلوم ← اقسم على ٤ ثم ربّع.

التكتيك السادس: إذا ضُرب الضلع في ك، تُضرب المساحة في .

التكتيك السابع: مربع يصل بين منتصفات أضلاع مربع ← مساحته نصف مساحة الكبير.

التكتيك الثامن: في المساحات المظللة، جرّب الطرح من مساحة المربع قبل أي طريقة أطول.

٣٢) تدريب متدرج

سؤال ١

مربع ضلعه ٩. ما مساحته؟

أ) ١٨
ب) ٣٦
ج) ٨١
د) ٩٠

سؤال ٢

مربع مساحته ٤٩. ما طول ضلعه؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ١٤
د) ٢١

سؤال ٣

مربع محيطه ٢٨. ما مساحته؟

أ) ٢٨
ب) ٣٦
ج) ٤٩
د) ٥٦

سؤال ٤

مربع قطره . ما مساحته؟

أ) ٥٠
ب) ١٠٠
ج) ١٥٠
د) ٢٠٠

سؤال ٥

مربع قطره ١٦. ما مساحته؟

أ) ٦٤
ب) ١٢٨
ج) ٢٥٦
د) ٥١٢

سؤال ٦

مساحة مربع = ٩٨. ما طول قطره؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج)
د)

سؤال ٧

إذا تضاعف ضلع مربع، فكم تصبح مساحته؟

أ) الضعف
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

سؤال ٨

إذا أصبح ضلع مربع ثلاثة أمثاله، فالمساحة الجديدة تساوي:

أ) ٣ أمثال
ب) ٦ أمثال
ج) ٩ أمثال
د) ٢٧ مثلًا

سؤال ٩

نسبة ضلعي مربعين ٣:٤. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٣:٤
ب) ٦:٨
ج) ٩:١٦
د) ٢٧:٦٤

سؤال ١٠

نسبة مساحتي مربعين ١٦:٢٥. ما نسبة ضلعيهما؟

أ) ٦:٥
ب) ٨:١٠
ج) ١٦:٢٥
د) ٢:٥

سؤال ١١

مربع مساحته ٢٠٠، ووصلنا منتصفات أضلاعه لتكوين مربع داخلي. ما مساحة المربع الداخلي؟

أ) ٥٠
ب) ١٠٠
ج) ١٥٠
د) ٢٠٠

سؤال ١٢

مربع كبير ضلعه ضعف ضلع مربع صغير. إذا كانت مساحة الصغير ٣٦، فما مساحة الكبير؟

أ) ٧٢
ب) ١٠٨
ج) ١٤٤
د) ٢٨٨

سؤال ١٣

أرض مربعة ضلعها ١٠ م، وتكلفة تغطية المتر المربع ١٥ ريالًا. ما التكلفة الكلية؟

أ) ١٥٠
ب) ٥٠٠
ج) ١٠٠٠
د) ١٥٠٠

سؤال ١٤

مربع ومستطيل غير مربع لهما المحيط نفسه. أيهما أكبر مساحة؟

أ) المستطيل دائمًا
ب) المربع
ج) متساويان دائمًا
د) لا يمكن المقارنة

٣٣) ملخص الدرس

مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه:

إذا كانت المساحة معلومة، فإن الضلع = . وإذا كان القطر معلومًا، فيمكن استخدام:

وإذا كان المحيط معلومًا، اقسمه على ٤ لإيجاد الضلع ثم ربّعه. وإذا تغير الضلع بعامل ك، فإن المساحة تتغير بعامل .

ومن الأنماط المهمة: المربع الواصل بين منتصفات أضلاع مربع مساحته نصف مساحة المربع الكبير، ومربع ضلعه ضعف ضلع مربع آخر مساحته أربعة أمثال مساحة الأصغر.