١) الفكرة الأساسية

مساحة المثلث هي مقدار المنطقة الموجودة داخله.

القانون الأساسي:

أو باختصار:

٢) أهم شرط: الارتفاع عمودي على القاعدة

ليس كل ضلع في المثلث يصلح أن يكون ارتفاعًا.

الارتفاع هو المسافة العمودية من رأس المثلث إلى القاعدة أو إلى امتداد القاعدة.

إذا لم تكن هناك زاوية قائمة بين القاعدة والارتفاع، فلا تستخدم الطولين مباشرة في قانون المساحة.

٣) كيف أحدد القاعدة والارتفاع؟

يمكن اختيار أي ضلع من أضلاع المثلث ليكون قاعدة، لكن يجب عندها استخدام الارتفاع العمودي على هذا الضلع تحديدًا.

تكتيك

إذا ظهر في الرسم رمز زاوية قائمة، فهو غالبًا أفضل دليل على زوج «القاعدة والارتفاع» المطلوب.

٤) الارتفاع قد يكون داخل المثلث أو خارجه

في بعض المثلثات يسقط الارتفاع داخل الشكل.

وفي المثلث المنفرج قد نحتاج إلى مد القاعدة خارج المثلث حتى نرسم ارتفاعًا عموديًا عليها.

المهم هو التعامد، وليس أن يكون الارتفاع داخل المثلث دائمًا.

٥) الحل المباشر

مثال

قاعدة مثلث = ١٤، وارتفاعه العمودي = ٦.

٦) اختصر قبل الضرب

بدل ضرب القاعدة والارتفاع ثم القسمة على ٢، خذ نصف أحد العددين أولًا إذا كان زوجيًا.

مثال

مثال آخر

٧) إيجاد الارتفاع من المساحة

من:

نحصل على:

مثال

مساحة مثلث = ٤٠، وقاعدته = ١٠.

٨) إيجاد القاعدة من المساحة

وبالمثل:

مثال

المساحة = ٦٠، والارتفاع = ١٠.

٩) المثلث القائم

في المثلث القائم، ضلعا القائمة متعامدان؛ لذلك يمكن اعتبار أحدهما قاعدة والآخر ارتفاعًا مباشرة.

مثال

ضلعا القائمة ٩ و١٢.

١٠) إذا عُرفت مساحة المثلث القائم

في المثلث القائم:

مثال

مساحة مثلث قائم = ٣٠، وأحد ضلعي القائمة = ٥.

إذن:

١١) المثلث متساوي الساقين

في المثلث متساوي الساقين، إذا رسمنا ارتفاعًا من الرأس إلى القاعدة فإنه يقسم القاعدة إلى نصفين متساويين.

بعد ذلك يمكن استخدام فيثاغورس لإيجاد الارتفاع إذا كان طول الساق والقاعدة معلومين.

مثال

ساقا مثلث متساوي الساقين = ٥، والقاعدة = ٦.

نصف القاعدة:

الارتفاع:

المساحة:

١٢) المثلث متساوي الأضلاع

إذا كان طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع = س، فإن ارتفاعه:

ومن ثم مساحته:

مثال

طول الضلع = ٦.

١٣) قطر المستطيل يقسم مساحته إلى نصفين

قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين متطابقين، لذلك مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل.

مثال

مستطيل أبعاده ١٢ و٨.

مساحته:

مساحة كل مثلث:

١٤) مثلث له نفس قاعدة وارتفاع متوازي أضلاع

إذا كان مثلث ومتوازي أضلاع لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه، فإن:

والفكرة نفسها تنطبق على المستطيل والمربع والمعين عندما تكون القاعدة والارتفاع نفسيهما.

١٥) مثلثات لها الارتفاع نفسه

إذا كان لمثلثين الارتفاع نفسه، فإن نسبة مساحتيهما تساوي نسبة قاعدتيهما.

مثال

مثلثان لهما الارتفاع نفسه، وقاعدتاهما ٦ و٩.

إذن نسبة المساحتين:

١٦) لماذا تكفي نسبة القواعد عند تساوي الارتفاع؟

مساحة كل مثلث:

إذا كان الارتفاع ع نفسه في المثلثين، فإن العاملين و متساويان، ويبقى الاختلاف فقط في القاعدة.

١٧) مثلثان بين مستقيمين متوازيين

إذا كانت رؤوس مثلثين على مستقيم واحد، وقاعدتاهما على مستقيم آخر موازٍ له، فإن ارتفاعيهما متساويان.

لذلك:

حالة خاصة

إذا تساوت القاعدتان أيضًا، فإن المساحتين متساويتان.

١٨) مثلثان لهما رأس مشترك وقاعدتان على مستقيم واحد

إذا اشترك مثلثان في الرأس نفسه وكانت قاعدتاهما على المستقيم نفسه، فإن لهما الارتفاع نفسه.

لذلك نسبة المساحتين = نسبة القاعدتين.

مثال

قاعدتا مثلثين لهما الرأس نفسه تساويان ٤ و١٠.

إذن نسبة المساحتين:

١٩) مثلثان لهما القاعدة نفسها

إذا كانت القاعدة نفسها في مثلثين، فإن نسبة مساحتيهما تساوي نسبة ارتفاعيهما.

نتيجة

إذا تساوت القاعدة والارتفاع، تساوت المساحتان حتى لو بدا شكلا المثلثين مختلفين.

٢٠) لا تستخدم الضلع المائل بدل الارتفاع

مثال

قاعدة مثلث = ٢٠، وضلع مائل = ١٣، والارتفاع العمودي = ١٢.

المساحة:

العدد ١٣ لا نحتاجه لحساب المساحة هنا.

٢١) مساحة مثلث داخل شكل رباعي

إذا كان لدينا مستطيل أو متوازي أضلاع أو مربع أو معين، ورُسم مثلث قاعدته أحد أضلاع الشكل ورأسه على الضلع المقابل، فإن المثلث والشكل لهما القاعدة والارتفاع نفسيهما.

إذن:

مثال

مساحة مستطيل = ٨٠، ورسم داخله مثلث قاعدته ضلع كامل من المستطيل ورأسه على الضلع المقابل.

مساحة المثلث = ٤٠.

٢٢) المساحة لا تعتمد على ميل أضلاع المثلث

إذا بقيت القاعدة والارتفاع العمودي ثابتين، تبقى المساحة ثابتة حتى لو تحرك الرأس يمينًا أو يسارًا على خط موازٍ للقاعدة.

هذه الفكرة تفسر كثيرًا من أسئلة المقارنة التي تبدو فيها المثلثات مختلفة الشكل لكنها متساوية المساحة.

٢٣) وحدات المساحة

المساحة تقاس بوحدات مربعة:

سم^٢، م^٢، كم^٢.

إذا كانت القاعدة والارتفاع بالسنتيمتر، فالإجابة تكون بالسنتيمتر المربع.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

مثلث قاعدته ١٤ وارتفاعه ٦. ما مساحته؟

أ) ٢٨
ب) ٣٦
ج) ٤٢
د) ٨٤

مثال ٢ — إيجاد قاعدة

مساحة مثلث ٦٠ وارتفاعه ١٠. ما القاعدة؟

أ) ٦
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٥

مثال ٣ — متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٤. ما مساحته؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — نسبة مساحات

مثلثان لهما الارتفاع نفسه، وقاعدتاهما ٣ و٧. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٣:٧
ب) ٧:٣
ج) ٩:٤٩
د) ١:١

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مثلثان لهما رأس مشترك وقاعدتاهما على مستقيم واحد. إذا كانت مساحة الأول ٢٤ وقاعدته ٦، وكانت قاعدة الثاني ١٠، فما مساحة الثاني؟

أ) ٣٠
ب) ٣٦
ج) ٤٠
د) ٤٨

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان النصف في قانون المساحة.

الخطأ الثاني: استخدام ضلع مائل على أنه ارتفاع دون وجود تعامد.

الخطأ الثالث: الاعتقاد أن الارتفاع يجب أن يكون دائمًا داخل المثلث.

الخطأ الرابع: الخلط بين المساحة والمحيط.

الخطأ الخامس: عند مقارنة مثلثين لهما الارتفاع نفسه، تربيع نسبة القواعد؛ الصحيح أن نسبة المساحات تساوي نسبة القواعد مباشرة.

الخطأ السادس: افتراض أن مثلثين مختلفي الشكل لهما مساحتان مختلفتان رغم تساوي القاعدة والارتفاع.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة للمساحة.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حدد القاعدة والارتفاع العمودي قبل إدخال أي أرقام.

التكتيك الثاني: خذ نصف العدد الزوجي أولًا لتسريع الحساب.

التكتيك الثالث: في المثلث القائم، ضلعا القائمة هما قاعدة وارتفاع جاهزان.

التكتيك الرابع: في متساوي الساقين، الارتفاع من الرأس ينصف القاعدة.

التكتيك الخامس: متساوي الأضلاع: احفظ .

التكتيك السادس: ارتفاع متساوٍ ← نسبة المساحات = نسبة القواعد.

التكتيك السابع: قاعدة متساوية ← نسبة المساحات = نسبة الارتفاعات.

التكتيك الثامن: قطر مستطيل ← كل مثلث نصف مساحة المستطيل.

التكتيك التاسع: مثلث قاعدته ضلع كامل من متوازي أضلاع ورأسه على الضلع المقابل ← نصف مساحة الشكل.

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

مثلث قاعدته ١٠ وارتفاعه ٧. ما مساحته؟

أ) ٣٥
ب) ٤٠
ج) ٧٠
د) ٨٠

سؤال ٢

مثلث قاعدته ١٦ وارتفاعه ٥. ما مساحته؟

أ) ٤٠
ب) ٤٥
ج) ٨٠
د) ١٦٠

سؤال ٣

مساحة مثلث ٧٢ وقاعدته ١٨. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٤

مساحة مثلث ٤٥ وارتفاعه ٩. ما قاعدته؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ٥

مثلث قائم ضلعا قائمته ٨ و١٥. ما مساحته؟

أ) ٤٠
ب) ٦٠
ج) ١٢٠
د) ١٧٠

سؤال ٦

مثلث متساوي الساقين ساقاه ٥ وقاعدته ٦. ما مساحته؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٤

سؤال ٧

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ٨. ما مساحته؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٨

مستطيل مساحته ١٢٠ وقُسم بقطره. ما مساحة كل مثلث؟

أ) ٣٠
ب) ٤٠
ج) ٦٠
د) ١٢٠

سؤال ٩

مثلثان لهما الارتفاع نفسه، وقاعدتاهما ٤ و١٠. إذا كانت مساحة الأول ١٢، فما مساحة الثاني؟

أ) ٢٠
ب) ٢٤
ج) ٣٠
د) ٤٠

سؤال ١٠

مثلثان لهما القاعدة نفسها، وارتفاعاهما ٦ و٩. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٢:٣
ب) ٣:٢
ج) ٤:٩
د) ١:١

سؤال ١١

متوازي أضلاع مساحته ٩٠. رُسم داخله مثلث قاعدته ضلع كامل من الشكل ورأسه على الضلع المقابل. ما مساحة المثلث؟

أ) ٣٠
ب) ٤٥
ج) ٦٠
د) ٩٠

سؤال ١٢

قاعدة مثلث = ٢٠، وارتفاعه العمودي = ١٢، وطول ضلع مائل = ١٣. ما مساحته؟

أ) ١٢٠
ب) ١٣٠
ج) ١٥٦
د) ٢٤٠

سؤال ١٣

مثلثان لهما الرأس نفسه وقاعدتاهما على المستقيم نفسه. إذا كانت القاعدة الأولى ضعف الثانية، فالعلاقة بين المساحتين هي:

أ) مساحة الأول نصف الثاني
ب) مساحة الأول ضعف الثاني
ج) المساحتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١٤

إذا ثبتت قاعدة مثلث وطول ارتفاعه، ثم تحرك الرأس على مستقيم موازٍ للقاعدة، فماذا يحدث للمساحة؟

أ) تزيد دائمًا
ب) تنقص دائمًا
ج) تبقى ثابتة
د) تتضاعف

٢٩) ملخص الدرس

مساحة المثلث:

في المثلث القائم، ضلعا القائمة متعامدان ويمكن استخدامهما مباشرة. وفي متساوي الساقين، يساعد الارتفاع من الرأس على تنصيف القاعدة. أما متساوي الأضلاع فمساحته .

إذا تساوى ارتفاع مثلثين، فنسبة مساحتيهما = نسبة قاعدتيهما. وإذا تساوت القاعدة، فنسبة المساحتين = نسبة الارتفاعين. وإذا تساوت القاعدة والارتفاع، تساوت المساحتان مهما اختلف ميل الأضلاع.