١) الفكرة الأساسية

مساحة الدائرة هي مقدار المنطقة الموجودة داخل حدود الدائرة.

القانون الأساسي:

حيث ر هو نصف القطر.

٢) لماذا نستخدم نصف القطر؟

قانون المساحة يعتمد على نصف القطر، وليس القطر.

إذا كان نصف القطر = ر:

٣) العلاقة بين القطر ونصف القطر

القطر يساوي ضعفي نصف القطر:

وبالعكس:

٤) الحل المباشر من نصف القطر

مثال

نصف قطر دائرة = ٦.

٥) إذا كان القطر معلومًا

لا تستخدم القطر مباشرة مكان نصف القطر.

أولًا:

ثم:

مثال

قطر دائرة = ١٠.

٦) قانون مباشر للمساحة من القطر

بما أن:

فإن:

أي:

مثال

القطر = ١٢.

٧) إيجاد نصف القطر من المساحة

إذا كانت المساحة معلومة:

إذن:

مثال

مساحة دائرة = .

٨) الحيلة السريعة إذا كانت المساحة على صورة عدد مضروب في π

إذا كانت المساحة:

فإن:

مثال

المساحة = .

نصف القطر = ١١.

٩) إيجاد القطر من المساحة

بعد إيجاد نصف القطر، نضاعفه:

مثال

المساحة = .

نصف القطر = ٧، إذن القطر = ١٤.

١٠) إيجاد المساحة من المحيط

إذا كان المحيط معلومًا، نوجد نصف القطر أولًا:

ثم نحسب المساحة.

مثال

محيط دائرة = .

١١) قانون مباشر للمساحة من المحيط

إذا رمزنا للمحيط بـ ح:

فإن:

وبالتالي:

ملاحظة

في الاختبار، غالبًا تكون طريقة إيجاد نصف القطر أولًا أسهل وأقل عرضة للخطأ من حفظ هذا القانون.

١٢) متى أترك الإجابة بدلالة π؟

إذا طلب السؤال الإجابة بدلالة π، اترك π كما هي.

مثال

نصف القطر = ٩.

١٣) متى أستخدم ٣٫١٤؟

إذا طلب السؤال قيمة تقريبية ولم يعط قيمة مختلفة لـ π، يمكن استخدام:

مثال

نصف القطر = ١٠.

١٤) متى يكون ٢٢ على ٧ أسرع؟

إذا كان نصف القطر من مضاعفات ٧، قد يكون استخدام:

أسرع.

مثال

نصف القطر = ٧.

١٥) إذا تضاعف نصف القطر

المساحة تعتمد على مربع نصف القطر.

إذا تضاعف نصف القطر:

فتصبح المساحة أربعة أمثال.

١٦) قاعدة التكبير والتصغير

إذا ضُرب نصف القطر في العدد ك، فإن المساحة تُضرب في:

مثال

إذا أصبح نصف القطر ثلاثة أمثاله:

فتصبح المساحة ٩ أمثال.

١٧) إذا تضاعف القطر

تضاعف القطر يعني أيضًا تضاعف نصف القطر.

لذلك إذا تضاعف القطر، تصبح مساحة الدائرة أربعة أمثال.

١٨) نسبة مساحتي دائرتين

إذا كانت نسبة نصفي القطر:

فإن نسبة المساحتين:

مثال

نسبة نصفي القطر = .

نسبة المساحتين:

١٩) من نسبة المساحتين إلى نسبة أنصاف الأقطار

إذا كانت نسبة المساحتين:

فنسبة نصفي القطر:

٢٠) مساحة نصف الدائرة

مساحة نصف الدائرة تساوي نصف مساحة الدائرة الكاملة.

مثال

نصف القطر = ٦.

٢١) مساحة ربع الدائرة

مساحة ربع الدائرة تساوي ربع مساحة الدائرة الكاملة.

مثال

نصف القطر = ٨.

٢٢) القطاع الدائري كجزء من الدائرة

إذا كان القطاع يمثل كسرًا معلومًا من الدائرة، فإن مساحته تساوي الكسر نفسه من مساحة الدائرة.

٢٣) زاوية ٩٠° تحصر ربع الدائرة

الزاوية المركزية ٩٠° تمثل ربع دورة كاملة؛ لذلك مساحة القطاع:

مثال

نصف القطر = ٦.

٢٤) زاوية ٦٠° تحصر سدس الدائرة

لأن:

فمساحة القطاع ذي الزاوية ٦٠°:

٢٥) المساحة المظللة

في كثير من أسئلة القدرات:

المساحة المظللة = مساحة الشكل الكبير − مساحة الجزء غير المظلل.

وقد يكون الجزء المظلل داخل مربع أو مستطيل أو قطاع دائري.

تكتيك

ابحث أولًا عن شكل كبير معروف المساحة، ثم اطرح منه الأجزاء غير المظللة.

٢٦) فرق مساحتي دائرتين

إذا كان لدينا دائرتان متحدتا المركز، فإن مساحة الحلقة بينهما:

أي:

مثال

نصفا القطر ٥ و٣.

٢٧) دائرة داخل مربع

إذا كانت دائرة مماسة لأضلاع مربع من الداخل، فإن قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.

إذن إذا كان ضلع المربع = س:

ومن هنا يمكن حساب مساحة الدائرة أو المساحة المتبقية داخل المربع.

٢٨) مثال على دائرة داخل مربع

مربع ضلعه ١٠، بداخله دائرة مماسة لأضلاعه.

نصف قطر الدائرة:

مساحة الدائرة:

المساحة داخل المربع وخارج الدائرة:

٢٩) لا تخلط بين المساحة والمحيط

المساحة:

المحيط:

المساحة بوحدات مربعة، والمحيط بوحدات طول.

٣٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — نصف القطر

دائرة نصف قطرها ٤. ما مساحتها بدلالة π؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — القطر

دائرة قطرها ١٢. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — من المساحة إلى نصف القطر

مساحة دائرة = . ما نصف قطرها؟

أ) ٤٫٥
ب) ٩
ج) ١٨
د) ٨١

مثال ٤ — نصف دائرة

نصف دائرة نصف قطرها ١٠. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

دائرة محيطها . ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام القطر مباشرة في .

الخطأ الثاني: نسيان تربيع نصف القطر.

الخطأ الثالث: استخدام قانون المحيط بدل قانون المساحة.

الخطأ الرابع: إذا كانت المساحة معلومة، نسيان أخذ الجذر التربيعي لإيجاد نصف القطر.

الخطأ الخامس: عند نصف الدائرة أو ربعها، نسيان أخذ الجزء المناسب من مساحة الدائرة الكاملة.

الخطأ السادس: الاعتقاد أن مضاعفة نصف القطر تضاعف المساحة فقط؛ الصحيح أنها تجعلها أربعة أمثال.

الخطأ السابع: كتابة وحدة طول بدل وحدة مربعة.

٣٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مساحة دائرة ← .

التكتيك الثاني: قطر معلوم ← اقسمه على ٢ أولًا.

التكتيك الثالث: مساحة على صورة ← نصف القطر = .

التكتيك الرابع: محيط على صورة ← القطر = أ، ثم نصف القطر = أ ÷ ٢.

التكتيك الخامس: نصف دائرة ← نصف المساحة الكاملة.

التكتيك السادس: ربع دائرة ← ربع المساحة الكاملة.

التكتيك السابع: زاوية مركزية ٩٠° ← ربع الدائرة، و٦٠° ← سدس الدائرة.

التكتيك الثامن: إذا تغير نصف القطر بعامل ك، تتغير المساحة بعامل .

٣٤) تدريب متدرج

سؤال ١

دائرة نصف قطرها ٣. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

دائرة قطرها ١٦. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

مساحة دائرة = . ما نصف قطرها؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ٢٢

سؤال ٤

مساحة دائرة = . ما قطرها؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٢٨٨

سؤال ٥

دائرة محيطها . ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦

دائرة نصف قطرها ٧. ما مساحتها باستخدام ؟

أ) ٤٤
ب) ٧٧
ج) ١٥٤
د) ٣٠٨

سؤال ٧

إذا تضاعف نصف قطر دائرة، فكم تصبح مساحتها؟

أ) الضعف
ب) ثلاثة أمثال
ج) أربعة أمثال
د) ثمانية أمثال

سؤال ٨

إذا أصبح نصف قطر دائرة ثلاثة أمثاله، فالمساحة الجديدة:

أ) ٣ أمثال
ب) ٦ أمثال
ج) ٩ أمثال
د) ٢٧ مثلًا

سؤال ٩

نسبة نصفي قطر دائرتين ٢:٣. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٢:٣
ب) ٤:٩
ج) ٦:٩
د) ٨:٢٧

سؤال ١٠

نسبة مساحتي دائرتين ٢٥:٤٩. ما نسبة نصفي قطريهما؟

أ) ٥:٧
ب) ٢٥:٤٩
ج) ٢٠:١٤
د) ٧:٥

سؤال ١١

نصف دائرة نصف قطرها ٦. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٢

ربع دائرة نصف قطرها ٨. ما مساحتها؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٣

قطاع دائري زاويته المركزية ٦٠° ونصف قطر دائرته ٦. ما مساحة القطاع؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤

مربع ضلعه ١٠ بداخله دائرة مماسة لأضلاعه. ما المساحة داخل المربع وخارج الدائرة؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣٥) ملخص الدرس

قانون مساحة الدائرة:

إذا كان القطر معلومًا، اقسمه على ٢ أولًا. وإذا كانت المساحة على صورة ، فإن نصف القطر = .

المساحة تتغير بمربع عامل التغيير في نصف القطر؛ فإذا تضاعف نصف القطر أو القطر أصبحت المساحة أربعة أمثال.

نصف الدائرة = نصف المساحة، وربع الدائرة = ربع المساحة، والقطاع يأخذ من مساحة الدائرة النسبة نفسها التي تأخذها زاويته المركزية من ٣٦٠°.