١) ما المقصود بالمسائل الحسابية العامة؟

هي مسائل لا تنتمي بوضوح إلى قانون مستقل مثل السرعة أو الأعمار أو المصافحات، لكنها تحتاج إلى مهارة في فهم العبارة وترتيب العمليات.

قد تجمع المسألة بين أكثر من فكرة صغيرة في السؤال نفسه، مثل:

كسر + باقي.

نسبة + مجموع.

خصم + زيادة.

أعداد متتالية + شرط على المجموع.

عملية حسابية متسلسلة + مجهول.

٢) قبل أن تحسب: حدّد المطلوب والمعطيات

اسأل نفسك سريعًا:

ما المجهول؟

ما الأعداد المعطاة؟

ما العلاقة بينها؟

هل المطلوب قيمة دقيقة أم يكفي تقدير؟

هل توجد وحدة يجب توحيدها؟

هذه الثواني القليلة تمنع كثيرًا من الأخطاء.

٣) ترجمة الكلمات إلى عمليات

بعض الكلمات لها ترجمة رياضية مباشرة:

مجموع ← جمع.

فرق ← طرح.

حاصل ضرب ← ضرب.

خارج قسمة ← قسمة.

ضعف ← ×٢.

نصف ← ÷٢.

زاد بمقدار ← أضف مقدارًا ثابتًا.

زاد بنسبة ← استخدم نسبة مئوية، لا مقدارًا ثابتًا.

٤) ترجمة الجمل إلى تعبيرات

إذا كان العدد س:

ضعف العدد:

ثلاثة أمثاله:

نصفه:

عدد زيد عليه ٥:

عدد نقص منه ٤:

٥) ترتيب ظهور العمليات في العبارة مهم

«أضف ٧ إلى عدد ثم اضرب الناتج في ٣» تعني:

وليست:

لأن الضرب هنا يقع على الناتج كله.

٦) مثال على الترجمة إلى معادلة

عدد إذا زيد عليه ٩ أصبح ٢٤.

٧) مثال متعدد الخطوات

عدد ضُرب في ٤، ثم طُرح من الناتج ٧، فكان ٣٣.

نضيف ٧:

ثم:

٨) الحل العكسي قد يكون أسرع من المعادلة

إذا أعطاك السؤال سلسلة عمليات ثم الناتج النهائي، يمكن أن تبدأ من النهاية وتعكس العمليات.

مثال

عدد ضُرب في ٥ ثم أضيف ٣، فصار ٤٨.

نعكس:

إذن العدد ٩.

٩) اعكس العمليات بالترتيب العكسي

إذا كانت العمليات الأصلية:

+٥، ثم ×٣، ثم −٢.

فعند الحل العكسي من الناتج نستخدم:

+٢، ثم ÷٣، ثم −٥.

لا تعكس كل عملية فقط، بل تعكس ترتيبها أيضًا.

١٠) ترتيب العمليات داخل التعبير

عند وجود تعبير جاهز نستخدم الترتيب المعتاد:

الأقواس.

الأسس.

الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين.

الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.

مثال

١١) لا تخلط ترتيب العمليات الرياضية بترتيب أحداث المسألة

في المسألة اللفظية نبني التعبير وفق ترتيب الأحداث أولًا، ثم نطبق ترتيب العمليات على التعبير الناتج.

مثال

«ضاعف العدد ثم أضف ٥»:

«أضف ٥ ثم ضاعف الناتج»:

والعبارتان مختلفتان.

١٢) الجزء من الكل

إذا كان المطلوب كسرًا من كمية:

مثال

ثلاثة أرباع ٨٠:

١٣) إيجاد الكل من الجزء

إذا كان جزء معلوم يمثل كسرًا من الكل:

مثال

٣٠ تمثل ثلاثة أخماس عدد.

١٤) المتبقي من كسر

إذا أُخذ من الكل كسر مقداره ك، فالمتبقي:

مثال

أُنفق ثلاثة أثمان مبلغ.

المتبقي:

١٥) إذا حدث أخذ على مرحلتين فاقرأ مرجع الكسر

هناك فرق بين:

«أخذ نصف الكل ثم ربع الكل».

و:

«أخذ نصف الكل ثم ربع المتبقي».

مثال

بدأ بـ٨٠، أخذ نصفه فبقي ٤٠، ثم أخذ ربع المتبقي:

إذن المتبقي النهائي = ٣٠.

١٦) النسبة أ:ب

إذا كانت النسبة بين مقدارين أ:ب، يمكن تمثيلهما:

حيث ك عامل مشترك.

مثال

عددان نسبتهما ٣:٥ ومجموعهما ٦٤.

الأكبر:

١٧) استخدام مجموع أجزاء النسبة

إذا كان المجموع معلومًا، يمكن دون معادلة حساب قيمة الجزء الواحد:

مثال

نسبة ٢:٧ والمجموع ٨١.

مجموع الأجزاء = ٩.

الأكبر:

١٨) النسبة المئوية من كمية

النسبة المئوية تعني من كل ١٠٠.

مثال

٢٠٪ من ١٥٠:

١٩) نسب مئوية مشهورة تختصر الوقت

احفظ:

٢٠) الزيادة والنقصان بالنسبة المئوية

إذا زادت كمية بنسبة س٪:

وإذا نقصت بنسبة س٪:

مثال

سعر ٢٠٠ ريال زاد ١٥٪.

٢١) النسب المتتابعة لا تُجمع مباشرة

خصم ثم زيادة أو زيادتان متتاليتان تطبقان على قيم مختلفة غالبًا.

مثال

سعر ١٠٠ ريال، خُصم ٢٠٪ ثم زاد السعر الجديد ١٠٪.

بعد الخصم:

بعد الزيادة:

إذن النتيجة ليست ٩٠.

٢٢) التناسب المباشر

إذا تضاعفت كمية فتضاعفت الأخرى بالنسبة نفسها، فالعلاقة مباشرة.

مثال

ثمن ٣ دفاتر = ١٥ ريالًا.

ثمن الدفتر:

ثمن ٧ دفاتر:

٢٣) التناسب العكسي

إذا زادت إحدى الكميتين فنقصت الأخرى بحيث يبقى حاصل الضرب ثابتًا، فالعلاقة عكسية.

مثال

٦ عمال ينجزون عملًا في ٨ أيام، بافتراض تساوي كفاءتهم وثبات كمية العمل.

إذا أصبحوا ١٢ عاملًا، تضاعف العدد فينخفض الزمن إلى النصف:

أيام.

٢٤) الأعداد المتتالية

ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يمكن كتابتها:

مثال

مجموع ثلاثة أعداد متتالية = ٤٥.

إذن الأعداد ١٤، ١٥، ١٦.

٢٥) اختصار مهم عند عدد فردي من الأعداد المتتالية

إذا كان لدينا عدد فردي من الأعداد المتتالية المتناظرة، فإن متوسطها يساوي العدد الأوسط.

مثال

خمسة أعداد متتالية مجموعها ١٠٠.

العدد الأوسط:

إذن الأعداد:

١٨، ١٩، ٢٠، ٢١، ٢٢.

٢٦) الأعداد الفردية أو الزوجية المتتالية

الفرق بينها = ٢.

ثلاثة أعداد فردية أو زوجية متتالية:

مثال

مجموع ثلاثة أعداد فردية متتالية = ٥١.

العدد الأوسط مباشرة:

٢٧) الزوجي والفردي كأداة استبعاد

قواعد سريعة:

زوجي + زوجي = زوجي.

فردي + فردي = زوجي.

زوجي + فردي = فردي.

زوجي × أي عدد صحيح = زوجي.

فردي × فردي = فردي.

استخدم هذه الخواص لاستبعاد خيارات قبل الحساب الكامل.

٢٨) الباقي عند القسمة

إذا قسمنا أ على ب:

والباقي دائمًا أصغر من المقسوم عليه وغير سالب.

مثال

باقي قسمة ١٢٣ على ٧:

٢٩) طريقة قيمة الوحدة

في كثير من مسائل الأسعار والكمية، ابحث أولًا عن قيمة الوحدة الواحدة.

مثال

٥ علب تكلف ٣٥ ريالًا.

سعر الواحدة:

سعر ٨ علب:

٣٠) الوحدات جزء من الحل

لا تجمع أو تقارن كميات بوحدات مختلفة قبل التحويل.

مثال

١٫٥ متر + ٨٠ سم.

أي ٢٫٣ متر.

٣١) تجربة الخيارات

في بعض أسئلة القدرات، خصوصًا إذا كانت الخيارات قليلة والمعادلة مزعجة، جرّب القيم المعطاة حتى تجد ما يحقق الشرط.

مثال

عدد إذا ضُرب في ٣ ثم زيد عليه ٥ أصبح ٤٤.

إذا كان ١٣ من الخيارات:

إذن ١٣ يحقق الشرط مباشرة.

٣٢) ابدأ بتجربة خيار ذكي

إذا كانت الخيارات مرتبة، يمكن أحيانًا تجربة خيار في الوسط أولًا.

إذا أعطى نتيجة أكبر من المطلوب وكانت العلاقة متزايدة، انتقل إلى الخيارات الأصغر فقط.

وإذا أعطى أقل من المطلوب، انتقل إلى الأكبر.

بهذا قد تحتاج إلى تجربة خيارين بدل أربعة.

٣٣) التقدير الذهني

إذا كانت الخيارات متباعدة، قد يكفي التقريب.

مثال

٤٩٪ من ٢٠٢ قريبة جدًا من:

٥٠٪ من ٢٠٠.

إذن نبحث عن خيار قريب من ١٠٠.

٣٤) متى لا يكفي التقدير؟

إذا كانت الخيارات متقاربة جدًا، يجب الانتقال إلى حساب أدق.

التقدير وسيلة للاستبعاد، وليس بديلًا دائمًا عن الحساب.

٣٥) فحص منطق الإجابة

قبل اعتماد الجواب، اسأل:

هل الإشارة منطقية؟

هل الناتج ضمن المجال المتوقع؟

هل يجب أن يكون العدد صحيحًا؟

هل يجب أن يكون موجبًا؟

هل الوحدة صحيحة؟

مثال

إذا كان المطلوب عدد أشخاص، فإجابة مثل ٧٫٥ شخص غير مقبولة عادة، حتى لو ظهر كسر أثناء الحساب.

٣٦) القيود الصحيحة قد تختصر الحل

أحيانًا يخبرك السؤال أن المجهول عدد صحيح أو زوجي أو موجب.

هذه ليست معلومات زائدة؛ استخدمها لاستبعاد خيارات.

مثال

إذا كان س عددًا فرديًا، فإن:

زوجي دائمًا.

٣٧) الفرق بين «زاد بمقدار» و«زاد بنسبة»

إذا كان السعر ٢٠٠:

زاد بمقدار ٢٠ ← يصبح ٢٢٠.

زاد بنسبة ٢٠٪ ← الزيادة ٤٠ ويصبح ٢٤٠.

الكلمتان ليستا مترادفتين.

٣٨) الفرق بين «من» و«أكثر من»

«٢٠٪ من ١٥٠» تعني إيجاد جزء من ١٥٠.

«عدد أكبر من ١٥٠ بنسبة ٢٠٪» يعني:

اقرأ مرجع النسبة بدقة.

٣٩) المسألة المركبة: قسّمها إلى مراحل

إذا اجتمعت عدة أفكار، لا تحاول حلها في سطر واحد.

مثال

سعر سلعة ٢٤٠ ريالًا، خُصم ٢٥٪، ثم أضيفت رسوم مقدارها ١٨ ريالًا.

بعد الخصم:

ثم الرسوم:

ريالًا.

٤٠) لا تعِد حل فكرة لها قانون متخصص بطريقة أطول

إذا تعرفت على قانون جاهز سبق تعلمه، استخدمه.

هذا القسم ليس دعوة لتحويل كل سؤال إلى معادلة طويلة، بل لتحديد الأداة الأسرع عندما لا يوجد قالب مباشر واضح.

٤١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — حل عكسي

عدد أضيف إليه ٨ ثم ضُرب الناتج في ٢، فكان ٣٦. ما العدد؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

مثال ٢ — نسبة مئوية

ما ٢٥٪ من ٣٦٠؟

أ) ٦٠
ب) ٧٥
ج) ٩٠
د) ١٢٠

مثال ٣ — نسبة ومجموع

عددان نسبتهما ٢:٧ ومجموعهما ٨١. ما العدد الأكبر؟

أ) ١٨
ب) ٤٢
ج) ٥٦
د) ٦٣

مثال ٤ — أعداد متتالية

مجموع ثلاثة أعداد متتالية ٤٥. ما أصغرها؟

أ) ١٣
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ١٦

٤٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

اشترى شخص سلعة بـ٢٠٠ ريال، فباعها بربح ١٥٪، ثم باعها المشتري الجديد بخسارة ١٠٪ من السعر الذي اشتراها به. ما السعر الأخير؟

أ) ٢٠٧ ريالات
ب) ٢١٠ ريالات
ج) ٢٢٠ ريالًا
د) ٢٣٠ ريالًا

٤٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: ترجمة العبارة ترجمة غير دقيقة.

الخطأ الثاني: عكس ترتيب الأحداث عند بناء التعبير.

الخطأ الثالث: عند الحل العكسي، عكس العمليات دون عكس ترتيبها.

الخطأ الرابع: جمع نسب مئوية متتابعة مباشرة رغم تغير الأساس.

الخطأ الخامس: الخلط بين «زاد بمقدار» و«زاد بنسبة».

الخطأ السادس: تجاهل الوحدات.

الخطأ السابع: إهمال شرط أن يكون الجواب عددًا صحيحًا أو موجبًا.

الخطأ الثامن: حل معادلة طويلة رغم أن تجربة الخيارات أو التقدير أسرع.

٤٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حدد المطلوب قبل الحساب.

التكتيك الثاني: ترجم كل جملة إلى عملية أو علاقة.

التكتيك الثالث: سلسلة عمليات ونتيجة نهائية؟ جرّب الحل العكسي.

التكتيك الرابع: نسبة ومجموع؟ اجمع أجزاء النسبة أولًا.

التكتيك الخامس: كسر من كمية؟ اضرب. كمية أصلية من جزء؟ اقسم على الكسر.

التكتيك السادس: خيارات رقمية مناسبة؟ جرّبها بدل الحل الرمزي الطويل.

التكتيك السابع: خيارات متباعدة؟ قد يكفي التقدير.

التكتيك الثامن: افحص الوحدة والمنطق بعد الوصول للنتيجة.

٤٥) تدريب متدرج

سؤال ١

عدد إذا طُرح منه ٩ ثم ضُرب الناتج في ٤ أصبح ٢٨. ما العدد؟

أ) ١٤
ب) ١٥
ج) ١٦
د) ١٧

سؤال ٢

ما ١٠٪ من ٤٨٠؟

أ) ٤٨
ب) ٥٨
ج) ٦٨
د) ٧٨

سؤال ٣

عددان نسبتهما ٤:٥ ومجموعهما ٧٢. ما العدد الأصغر؟

أ) ٢٨
ب) ٣٢
ج) ٣٦
د) ٤٠

سؤال ٤

ما باقي قسمة ٨٩ على ٦؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٥

سؤال ٥

ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعها ٦٩. ما العدد الأوسط؟

أ) ٢١
ب) ٢٣
ج) ٢٥
د) ٢٧

سؤال ٦

إذا كان ثلاثة أرباع عدد يساوي ٤٥، فما العدد؟

أ) ٥٠
ب) ٥٥
ج) ٦٠
د) ٧٥

سؤال ٧

مبلغ ١٦٠ ريالًا أُنفق منه ثلاثة أثمانه. كم بقي؟

أ) ٦٠
ب) ٨٠
ج) ١٠٠
د) ١٢٠

سؤال ٨

سعر سلعة ٢٥٠ ريالًا، خُصم ٢٠٪. ما السعر بعد الخصم؟

أ) ١٨٠
ب) ٢٠٠
ج) ٢١٠
د) ٢٣٠

سؤال ٩

سعر ١٠٠ ريال زاد ٢٠٪ ثم زاد السعر الجديد ١٠٪. ما السعر النهائي؟

أ) ١٢٨
ب) ١٣٠
ج) ١٣٢
د) ١٤٠

سؤال ١٠

ثمن ٤ أقلام ٢٨ ريالًا. ما ثمن ٩ أقلام بالسعر نفسه؟

أ) ٥٦
ب) ٦٣
ج) ٦٨
د) ٧٢

سؤال ١١

٨ عمال ينجزون عملًا في ٦ أيام. كم يومًا يحتاج ١٢ عاملًا للكفاءة نفسها والعمل نفسه؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٦
د) ٩

سؤال ١٢

١٫٨ متر + ٧٠ سم يساوي:

أ) ١٫٨٧ متر
ب) ٢٫١ متر
ج) ٢٫٥ متر
د) ٨٫٨ متر

سؤال ١٣

عدد إذا ضُرب في ٥ ثم طُرح ٦ أصبح ٤٤. فما العدد؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ١٤

سعر سلعة ٢٤٠ ريالًا، خُصم ٢٥٪ ثم أضيفت رسوم ثابتة ١٨ ريالًا. ما السعر النهائي؟

أ) ١٨٠
ب) ١٩٢
ج) ١٩٨
د) ٢١٠

٤٦) ملخص الدرس

المسائل الحسابية العامة لا تحتاج قانونًا واحدًا جامعًا.

ابدأ بفهم العبارة، ثم اختر الأداة الأسرع:

عملية مباشرة.

معادلة.

حل عكسي.

كسر أو نسبة.

نسبة مئوية.

قيمة الوحدة.

تجربة الخيارات.

تقدير.

ثم افحص وحدة الجواب ومنطقه.

أهم مهارة: لا تبدأ بالحساب قبل أن تعرف ما الذي تقوله المسألة فعلًا.