١) الفكرة الأساسية

المحيط هو المسافة حول الشكل.

في متوازي الأضلاع، كل ضلعين متقابلين متساويان، لذلك إذا كان طول ضلعين متجاورين أ وب:

٢) لماذا نضرب في ٢؟

إذا كانت أطوال الأضلاع بالترتيب:

فإن المحيط:

إذن القانون المختصر ليس قانونًا جديدًا؛ بل هو مجرد جمع الأضلاع الأربعة بطريقة أسرع.

٣) يكفي ضلعان متجاوران

لا تحتاج إلى معرفة الأطوال الأربعة كلّها.

إذا عرفت ضلعين متجاورين، فقد عرفت الضلعين المقابلين لهما أيضًا لأن الأضلاع المتقابلة متساوية.

مثال

ضلعان متجاوران طولهما ١٢ و٧.

٤) نصف المحيط اختصار مهم

من القانون:

نحصل على:

وهذا اختصار ممتاز عندما يكون المحيط معلومًا ونريد ضلعًا مجهولًا.

٥) إيجاد ضلع مجهول من المحيط

إذا كان المحيط معلومًا وأحد الضلعين معلومًا:

١. اقسم المحيط على ٢.

٢. اطرح الضلع المعلوم.

مثال

محيط متوازي أضلاع = ٤٠، وأحد الضلعين = ١٢.

نصف المحيط:

الضلع الآخر:

٦) صيغة مباشرة للضلع المجهول

إذا كان المحيط م، وأحد الضلعين أ:

مثال

المحيط = ٥٤، وأحد الضلعين = ١٧.

٧) إذا كانت الأضلاع على صورة متغيرات

نضع التعبيرين المتجاورين داخل قانون المحيط ثم نحل المعادلة.

مثال

ضلعان متجاوران:

و:

والمحيط = ٤٢.

٨) إذا كان الفرق بين الضلعين معلومًا

هذه صيغة شائعة في أسئلة القدرات.

مثال

محيط متوازي أضلاع = ٦٤، والضلع الأكبر يزيد على الأصغر بمقدار ٦.

لنفرض الأصغر = س، إذن الأكبر = .

نصف المحيط:

إذن:

الضلع الأكبر:

٩) إذا كانت نسبة الضلعين معلومة

يمكن دمج النسبة مع نصف المحيط.

مثال

نسبة ضلعين متجاورين:

والمحيط = ٥٠.

نصف المحيط:

مجموع أجزاء النسبة:

قيمة الجزء:

إذن الضلعان:

١٠) إذا كان أحد الضلعين ضعف الآخر

يمكن اعتباره حالة خاصة من النسب.

مثال

أحد ضلعَي متوازي الأضلاع ضعف الآخر، والمحيط = ٧٢.

لنفرض الأصغر = س، والأكبر = .

نصف المحيط:

فالضلع الأكبر = ٢٤.

١١) لا تستخدم الارتفاع في المحيط

الارتفاع يستخدم في حساب المساحة، وليس المحيط.

مثال

قاعدة متوازي أضلاع = ١٨، وضلع مائل = ١٠، وارتفاع = ٧.

المحيط يحتاج إلى الضلعين المتجاورين ١٨ و١٠:

لا نستخدم الارتفاع ٧.

١٢) الضلع المائل قد يكون جزءًا من المحيط

في متوازي الأضلاع، الضلع المائل هو ضلع حقيقي من حدود الشكل، ولذلك يدخل في المحيط.

أما الارتفاع الداخلي أو الخارجي فلا يدخل في المحيط لأنه ليس جزءًا من حدود الشكل.

١٣) لا تخلط بين المحيط والمساحة

المحيط: يعتمد على أطوال الأضلاع.

المساحة: تعتمد على القاعدة والارتفاع العمودي.

قد يكون لشكلين المحيط نفسه ومساحتان مختلفتان، أو المساحة نفسها ومحيطان مختلفان.

١٤) المحيط مع ضلع مقابل معطى

إذا أعطاك السؤال طول ضلع مقابل بدل ضلع مجاور، فتذكر أن الضلع المقابل يساوي نظيره.

مثال

أحد الأضلاع = ٩، والضلع المجاور له = ١٤.

إذن الأضلاع الأربعة:

والمحيط:

١٥) إذا تضاعفت جميع الأطوال

إذا ضُرب كل طول في العدد نفسه ك، فإن المحيط يُضرب في ك أيضًا.

مثال

محيط متوازي أضلاع = ٣٠.

إذا تضاعفت جميع الأضلاع، يصبح المحيط:

١٦) إذا زاد كل من الضلعين المتجاورين بالمقدار نفسه

إذا زاد كل من أ وب بمقدار د، فإن المحيط الجديد:

أي أن المحيط يزيد بمقدار:

مثال

إذا زاد كل من الضلعين المتجاورين بمقدار ٣، فإن المحيط يزيد:

١٧) مسائل السياج والإطار

إذا طُلب طول سياج أو إطار يحيط بمتوازي أضلاع مرة واحدة، فالمطلوب هو المحيط.

مثال

قطعة أرض على شكل متوازي أضلاع، ضلعان متجاوران فيها ٢٠ م و١٣ م.

طول السياج:

١٨) إذا تكرر الإحاطة أكثر من مرة

إذا دار الحبل أو السلك حول الشكل أكثر من دورة:

مثال

محيط الشكل ٣٠ م، ونريد إحاطته بسلك مرتين.

١٩) وحدات المحيط

المحيط يقاس بوحدات الطول:

سم، م، كم.

ولا يكتب بوحدات مربعة مثل سم^٢؛ لأن هذه وحدات مساحة.

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

متوازي أضلاع ضلعاه المتجاوران ٩ و٦. ما محيطه؟

أ) ١٥
ب) ٢٤
ج) ٣٠
د) ٥٤

مثال ٢ — ضلع مجهول

محيط متوازي أضلاع = ٥٠، وأحد الضلعين = ١٥. ما الضلع الآخر؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٥

مثال ٣ — متغيرات

ضلعان متجاوران هما و، والمحيط = ٤٨. فما س؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

مثال ٤ — لا تستخدم الارتفاع

قاعدة متوازي أضلاع ٢٠، وضلع مائل ٩، وارتفاع ٦. ما المحيط؟

أ) ٢٩
ب) ٤٠
ج) ٥٢
د) ٥٨

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

نسبة ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع هي ٣:٥، ومحيطه ٦٤. فما طول الضلع الأكبر؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٠
د) ٤٠

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: جمع ضلعين متجاورين فقط ونسيان الضرب في ٢.

الخطأ الثاني: استخدام الارتفاع بدل الضلع المائل.

الخطأ الثالث: استخدام القاعدة × الارتفاع؛ هذا قانون المساحة وليس المحيط.

الخطأ الرابع: إذا كان المحيط معلومًا، نسيان قسمته على ٢ قبل البحث عن الضلع الآخر.

الخطأ الخامس: الخلط بين ضلع مقابل وضلع مجاور.

الخطأ السادس: استخدام وحدة مربعة للمحيط.

الخطأ السابع: في أسئلة النسب، قسمة المحيط كله على مجموع النسبة بدل استخدام نصف المحيط.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ضلعان متجاوران معلومان؟ اجمعهما واضرب في ٢.

التكتيك الثاني: المحيط معلوم؟ ابدأ فورًا بنصف المحيط.

التكتيك الثالث: نصف المحيط = مجموع ضلعين متجاورين.

التكتيك الرابع: الارتفاع لا يدخل في المحيط.

التكتيك الخامس: إذا كانت هناك نسبة بين الضلعين، طبقها على نصف المحيط لا المحيط كله.

التكتيك السادس: إذا زاد كل ضلع متجاور بمقدار د، يزيد المحيط بمقدار .

التكتيك السابع: سياج أو إطار حول الشكل = محيط.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١

ضلعان متجاوران ١١ و٧. ما المحيط؟

أ) ١٨
ب) ٢٩
ج) ٣٦
د) ٧٧

سؤال ٢

محيط متوازي أضلاع ٦٠، وأحد الضلعين ١٨. ما الضلع الآخر؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٦

سؤال ٣

ضلعان متجاوران ٢س و، والمحيط ٤٢. فما س؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٤

قاعدة متوازي أضلاع ٢٠، وضلع مائل ٩، وارتفاع ٦. ما المحيط؟

أ) ٢٩
ب) ٤٠
ج) ٥٢
د) ٥٨

سؤال ٥

محيط متوازي أضلاع ٤٨، وأحد الضلعين ١٧. ما الآخر؟

أ) ٥
ب) ٧
ج) ٩
د) ١٤

سؤال ٦

أحد الضلعين ضعف الآخر، والمحيط ٥٤. ما الضلع الأصغر؟

أ) ٦
ب) ٩
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٧

نسبة ضلعين متجاورين ٢:٥، والمحيط ٧٠. ما الضلع الأكبر؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٥
د) ٥٠

سؤال ٨

الضلع الأكبر يزيد على الأصغر بمقدار ٤، والمحيط ٤٨. ما الضلع الأكبر؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٦

سؤال ٩

متوازي أضلاع محيطه ٣٢. إذا ضُربت جميع أطوال أضلاعه في ٣، فما المحيط الجديد؟

أ) ٣٢
ب) ٦٤
ج) ٩٦
د) ٢٨٨

سؤال ١٠

إذا زاد كل من ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع بمقدار ٢، فكم يزيد المحيط؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

سؤال ١١

قطعة أرض على شكل متوازي أضلاع ضلعاه المتجاوران ١٥ م و٢٢ م. كم مترًا من السياج تحتاج لإحاطتها مرة واحدة؟

أ) ٣٧
ب) ٥٩
ج) ٧٤
د) ٣٣٠

سؤال ١٢

محيط متوازي أضلاع ٨٠، ونسبة الضلعين المتجاورين ٣:٧. ما الضلع الأصغر؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ٢٠
د) ٢٨

سؤال ١٣

محيط متوازي أضلاع ٥٦، وطول أحد الأضلاع ١١. ما مجموع طولي الضلعين المقابلين لبعضهما من النوع الآخر؟

أ) ١٧
ب) ٢٢
ج) ٣٤
د) ٤٥

سؤال ١٤

أي معلومة لا نحتاجها لحساب محيط متوازي أضلاع إذا عرفنا القاعدة والضلع المائل؟

أ) الارتفاع
ب) القاعدة
ج) الضلع المائل
د) حقيقة أن الأضلاع المتقابلة متساوية

٢٥) ملخص الدرس

محيط متوازي الأضلاع هو مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، وبما أن الأضلاع المتقابلة متساوية:

إذا كان المحيط معلومًا، فابدأ بنصفه لأن:

المحيط يعتمد على أطوال الأضلاع فقط، لذلك لا تستخدم الارتفاع. وفي مسائل النسب أو الفرق بين الضلعين، استخدم نصف المحيط أولًا ثم كوّن العلاقة المناسبة.