١) الفكرة الأساسية

محيط المعين هو المسافة الكلية حول الشكل من الخارج.

ولأن أضلاع المعين الأربعة متساوية:

أو:

٢) لماذا نضرب في ٤؟

إذا كان طول كل ضلع = س، فإن:

٣) متى أستخدم محيط المعين؟

فكر في المحيط عندما ترى عبارات مثل:

محيط معين.

مجموع أطوال الأضلاع.

طول سياج حول أرض على شكل معين.

طول إطار على شكل معين.

إيجاد ضلع معين من محيطه.

٤) الحل المباشر من طول الضلع

مثال

معين طول ضلعه ١٢.

إذن المحيط = ٤٨.

٥) إيجاد طول الضلع من المحيط

إذا كان المحيط معلومًا، نقسمه على ٤:

مثال

محيط معين = ٦٠.

٦) أهم تكتيك سريع

في المعين يكفي أن تعرف طول ضلع واحد لحساب المحيط.

لا تحتاج إلى معرفة الزوايا أو القطرين أو الارتفاع.

إذا عرفت المحيط وتريد الضلع:

٧) الفرق بين محيط المعين ومساحته

المحيط: يعتمد على طول الضلع فقط.

المساحة: قد تعتمد على القاعدة والارتفاع، أو على القطرين.

مثال

إذا كان ضلع معين = ١٠:

ولا نحتاج إلى معرفة القطرين لحساب المحيط.

٨) إيجاد المحيط من القطرين

إذا أعطاك السؤال قطري المعين بدل الضلع، نستخدم أولًا حقيقة أن القطرين متعامدان وينصف كل منهما الآخر.

إذا كان القطران ق١ وق٢، فإن نصفيهما:

وطول الضلع:

ثم:

٩) مثال من القطرين إلى المحيط

قطرا معين ٦ و٨.

نصفاهما:

الضلع:

المحيط:

١٠) مثال آخر من القطرين

قطرا معين ١٠ و٢٤.

نصفاهما ٥ و١٢.

إذن:

١١) إيجاد المحيط من المساحة والارتفاع

إذا كانت مساحة المعين وارتفاعه معلومين، يمكن إيجاد طول الضلع لأن:

إذن:

ثم:

مثال

مساحة معين = ٨٤، وارتفاعه = ٧.

١٢) لا تستخدم القطرين مباشرة في قانون المحيط

القطران ليسا أضلاعًا للمعين.

إذا أُعطيا في السؤال، نستخدمهما أولًا لإيجاد طول الضلع بواسطة فيثاغورس، ثم نحسب المحيط.

١٣) إذا زاد طول الضلع

إذا زاد كل ضلع بمقدار د، فإن المحيط يزيد:

مثال

زاد ضلع معين ٣ وحدات.

إذن المحيط يزيد ١٢.

١٤) إذا نقص طول الضلع

إذا نقص كل ضلع بمقدار د، فإن المحيط ينقص:

مثال

نقص طول الضلع وحدتين.

١٥) إذا تضاعف طول الضلع

إذا تضاعف طول ضلع المعين، فإن المحيط يتضاعف أيضًا.

بصورة عامة، إذا ضُرب الضلع في العدد ك، فإن المحيط يُضرب في ك.

مثال

محيط معين = ٣٢، ثم أصبح طول الضلع ثلاثة أمثاله.

١٦) نسبة محيطي معينين

نسبة محيطي معينين تساوي نسبة طولي ضلعيهما.

مثال

إذا كانت نسبة الضلعين:

فإن نسبة المحيطين أيضًا:

١٧) معين ومربع لهما طول الضلع نفسه

إذا كان للمعين والمربع طول الضلع نفسه، فإن محيطيهما متساويان.

لأن كليهما له أربعة أضلاع متساوية.

مثال

ضلع كل منهما = ٩.

محيط كل شكل:

١٨) معين ومربع لهما المحيط نفسه

إذا كان محيط المعين يساوي محيط المربع، فإن طول ضلع المعين يساوي طول ضلع المربع.

لأن كليهما:

١٩) مسائل السياج والإطار

إذا كان المطلوب إحاطة معين مرة واحدة، فإن طول السياج أو الإطار يساوي المحيط.

مثال

أرض على شكل معين طول ضلعها ١٨ م.

إذن نحتاج ٧٢ مترًا من السياج.

٢٠) أكثر من دورة حول المعين

إذا لف حبل أو سلك حول المعين أكثر من مرة:

مثال

ضلع معين = ٥، ونريد لف شريط حوله ٣ مرات.

المحيط:

الطول الكلي:

٢١) الأجزاء المفتوحة

إذا كان هناك جزء لا يحتاج إلى سياج، نحسب المحيط الكامل ثم نطرح طول الجزء المفتوح.

مثال

محيط أرض على شكل معين = ٦٤ م، وفيها مدخل عرضه ٤ م.

إذن السياج المطلوب = ٦٠ م.

٢٢) وحدات المحيط

المحيط يقاس بوحدات الطول:

سم، م، كم.

ولا نستخدم وحدات مربعة؛ فالوحدات المربعة تخص المساحة.

٢٣) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

معين طول ضلعه ١١. ما محيطه؟

أ) ٢٢
ب) ٣٣
ج) ٤٤
د) ١٢١

مثال ٢ — من المحيط إلى الضلع

معين محيطه ٥٦. ما طول ضلعه؟

أ) ٧
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ٢٨

مثال ٣ — من القطرين

قطرا معين ١٦ و٣٠. ما محيطه؟

أ) ٣٤
ب) ٥٢
ج) ٦٨
د) ٩٢

مثال ٤ — من المساحة والارتفاع

مساحة معين = ٩٦، وارتفاعه = ٨. ما محيطه؟

أ) ٢٤
ب) ٤٠
ج) ٤٨
د) ٩٦

٢٤) سؤال قدرات بصيغة أذكى

معين قطراه ١٤ و٤٨. ما محيطه؟

أ) ٥٠
ب) ٧٥
ج) ١٠٠
د) ١٩٦

٢٥) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام القطرين مباشرة كأنهما ضلعان.

الخطأ الثاني: ضرب الضلع في ٢ بدل ٤.

الخطأ الثالث: استخدام قانون المساحة عند طلب المحيط.

الخطأ الرابع: عند معرفة القطرين، استخدامهما كاملين في فيثاغورس بدل نصفيهما.

الخطأ الخامس: الاعتقاد أن الزوايا تؤثر في قانون المحيط؛ المحيط يعتمد على طول الضلع فقط.

الخطأ السادس: كتابة وحدة مربعة للمحيط.

٢٦) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: محيط معين ← .

التكتيك الثاني: محيط معلوم ← اقسم على ٤ لإيجاد الضلع.

التكتيك الثالث: قطران معلومان ← نصف كل قطر، استخدم فيثاغورس، ثم اضرب الضلع في ٤.

التكتيك الرابع: مساحة + ارتفاع ← الضلع = المساحة ÷ الارتفاع، ثم اضرب في ٤.

التكتيك الخامس: زيادة الضلع بمقدار د ← زيادة المحيط .

التكتيك السادس: تكبير الضلع بعامل ك ← المحيط يتغير بالعامل نفسه.

التكتيك السابع: معين ومربع لهما الضلع نفسه ← المحيط نفسه.

٢٧) تدريب متدرج

سؤال ١

معين ضلعه ٦. ما محيطه؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٦

سؤال ٢

معين ضلعه ١٥. ما محيطه؟

أ) ٣٠
ب) ٤٥
ج) ٦٠
د) ٢٢٥

سؤال ٣

معين محيطه ٤٤. ما طول ضلعه؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ٤

معين محيطه ٨٠. ما طول ضلعه؟

أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٣٠
د) ٤٠

سؤال ٥

قطرا معين ٦ و٨. ما محيطه؟

أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٢٨
د) ٤٠

سؤال ٦

قطرا معين ١٠ و٢٤. ما محيطه؟

أ) ٢٦
ب) ٤٨
ج) ٥٢
د) ٦٨

سؤال ٧

مساحة معين ٧٢ وارتفاعه ٦. ما محيطه؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٤٨
د) ٧٢

سؤال ٨

زاد ضلع معين ٤ وحدات. بمقدار كم يزيد المحيط؟

أ) ٤
ب) ٨
ج) ١٢
د) ١٦

سؤال ٩

إذا تضاعف طول ضلع معين، فماذا يحدث للمحيط؟

أ) يبقى ثابتًا
ب) يتضاعف
ج) يصبح أربعة أمثال
د) يصبح نصفه

سؤال ١٠

نسبة ضلعي معينين ٢:٧. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٢:٧
ب) ٤:٤٩
ج) ٧:٢
د) ١:١

سؤال ١١

معين ومربع طول ضلع كل منهما ١٣. ما العلاقة بين محيطيهما؟

أ) محيط المعين أكبر
ب) محيط المربع أكبر
ج) متساويان
د) لا يمكن المقارنة

سؤال ١٢

أرض على شكل معين طول ضلعها ٢٠ م. ما طول السياج اللازم لإحاطتها مرة واحدة؟

أ) ٤٠ م
ب) ٦٠ م
ج) ٨٠ م
د) ٤٠٠ م

سؤال ١٣

محيط معين ٧٢ م، وفيه مدخل ٦ م لا يحتاج إلى سياج. كم مترًا من السياج نحتاج؟

أ) ٦٠
ب) ٦٦
ج) ٧٢
د) ٧٨

سؤال ١٤

قطرا معين ١٨ و٨٠. ما محيطه؟

أ) ٨٢
ب) ١٢٣
ج) ١٦٤
د) ٣٢٨

٢٨) ملخص الدرس

محيط المعين يعتمد على طول الضلع فقط:

إذا كان المحيط معلومًا:

إذا كانت القطران معلومين، نستخدم نصفيهما مع فيثاغورس لإيجاد الضلع، ثم نضرب في ٤. وإذا كانت المساحة والارتفاع معلومين، فإن الضلع = المساحة ÷ الارتفاع.

المحيط كمية طولية؛ إذا ضُرب الضلع في ك، يُضرب المحيط في ك أيضًا.