١) الفكرة الأساسية

المحيط هو المسافة الكلية حول الشكل من الخارج.

في المستطيل يوجد ضلعان بطول واحد، وضلعان بعرض واحد، لذلك:

ويمكن كتابته أيضًا:

٢) لماذا نضرب في ٢؟

لأن المستطيل يحتوي على طولين متساويين وعرضين متساويين.

إذن:

نجمع الحدود المتشابهة:

٣) متى أستخدم قانون المحيط؟

استخدم المحيط عندما ترى عبارات مثل:

المسافة حول مستطيل.

طول سياج يحيط بأرض مستطيلة.

إطار حول صورة مستطيلة.

شريط يحيط بلوحة.

محيط ملعب أو حديقة.

إيجاد طول أو عرض مجهول مع معرفة المحيط.

٤) الحل المباشر عندما يكون الطول والعرض معلومين

مثال

مستطيل طوله ١٥ وعرضه ٨.

إذن المحيط = ٤٦.

٥) أسرع طريقة ذهنية

اجمع الطول والعرض أولًا، ثم ضاعف الناتج.

مثال

الطول = ١٧، العرض = ٣.

ثم:

تكتيك

لا تحتاج إلى كتابة الأضلاع الأربعة واحدًا واحدًا إلا إذا كان ذلك أوضح لك.

٦) أهم تكتيك: نصف المحيط

إذا كان محيط المستطيل معلومًا، فاقسمه على ٢ مباشرة.

لأن:

إذن:

وهذه العلاقة تختصر كثيرًا من أسئلة إيجاد الطول أو العرض.

٧) إيجاد العرض من المحيط والطول

الخطوات:

١. اقسم المحيط على ٢.

٢. اطرح الطول.

٣. الناتج هو العرض.

مثال

محيط مستطيل = ٥٤، وطوله = ١٨.

نصف المحيط:

إذن:

٨) إيجاد الطول من المحيط والعرض

نستخدم الفكرة نفسها.

مثال

محيط مستطيل = ٧٠، وعرضه = ١٣.

نصف المحيط:

الطول:

٩) القانون المباشر للبعد المجهول

إذا كان المحيط وأحد البعدين معلومين، يمكن التفكير مباشرة هكذا:

لكن فهم فكرة «نصف المحيط = الطول + العرض» أفضل من حفظ قانون إضافي.

١٠) إذا كانت الأبعاد مكتوبة بمتغيرات

يمكن تكوين معادلة من قانون المحيط.

مثال

طول مستطيل = ، وعرضه = ، ومحيطه = ٣٤.

نقسم الطرفين على ٢:

إذن العرض = ٧، والطول = ١٠.

١١) لا توسع المعادلة إذا لم تحتج

في المثال السابق، كان من الأسرع استخدام نصف المحيط مباشرة:

ثم:

بهذا نتجنب خطوة الضرب في ٢ ثم قسمته لاحقًا.

١٢) عندما تكون العلاقة بين الطول والعرض معلومة

قد يقول السؤال إن الطول أكبر من العرض بمقدار معين.

مثال

محيط مستطيل = ٤٨، وطوله يزيد على عرضه بـ٤.

نصف المحيط:

لنفرض العرض = س، إذن الطول = .

إذن العرض = ١٠ والطول = ١٤.

١٣) عندما يكون الطول ضعف العرض

مثال

محيط مستطيل = ٦٠، وطوله ضعف عرضه.

نصف المحيط:

إذا كان العرض = س، فالطول = .

إذن العرض = ١٠ والطول = ٢٠.

١٤) الأبعاد معطاة بنسبة

إذا كانت نسبة الطول إلى العرض معلومة، استخدم نصف المحيط لأنه يمثل مجموع البعدين.

مثال

نسبة الطول إلى العرض:

والمحيط = ٥٠.

نصف المحيط:

مجموع أجزاء النسبة:

قيمة الجزء الواحد:

إذن:

الطول = ١٥.

العرض = ١٠.

١٥) تكتيك تجربة الخيارات

إذا أعطاك السؤال المحيط وأحد البعدين، وكانت الخيارات هي قيم البعد الآخر، فيمكن تجربة الخيارات بسرعة.

مثال

محيط مستطيل = ٤٤، وطوله = ١٤. أي القيم التالية يمكن أن تكون عرضه؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ١٠

١٦) إذا زاد أحد البعدين فقط

إذا زاد طول المستطيل بمقدار د بينما بقي العرض ثابتًا، فإن هناك ضلعين في المحيط زاد كل منهما بمقدار د.

لذلك زيادة المحيط:

مثال

زاد طول مستطيل ٣ وحدات، وبقي العرض ثابتًا.

زيادة المحيط:

١٧) إذا زاد الطول والعرض

إذا زاد الطول بمقدار أ، وزاد العرض بمقدار ب، فإن المحيط يزيد بمقدار:

مثال

زاد الطول ٤ وحدات، وزاد العرض وحدتين.

إذن المحيط يزيد ١٢.

١٨) إذا تضاعف الطول والعرض معًا

إذا ضُرب كل بعد في العدد ك، فإن المحيط يُضرب أيضًا في ك.

مثال

مستطيل محيطه ٣٠، وضُرب الطول والعرض في ٣.

المحيط الجديد:

الفكرة

المحيط كمية طولية، لذلك يتغير بالنسبة نفسها التي تتغير بها جميع الأطوال.

١٩) إذا نقص أحد البعدين

إذا نقص الطول بمقدار د والعرض ثابت، فإن المحيط ينقص:

مثال

نقص الطول ٥ وحدات.

ينقص المحيط:

٢٠) مسائل السياج والإطار

إذا كان المطلوب إحاطة المستطيل مرة واحدة، فطول السياج أو الإطار يساوي المحيط.

مثال

حديقة مستطيلة طولها ٢٠ م وعرضها ١٢ م.

طول السياج حولها:

إذن نحتاج إلى ٦٤ مترًا.

٢١) أكثر من دورة حول المستطيل

إذا كان الحبل أو السلك يحيط بالمستطيل أكثر من مرة:

مثال

محيط مستطيل = ٣٦، ونريد لف شريط حوله ٤ مرات.

٢٢) انتبه إلى الأجزاء المفتوحة

ليس كل سؤال سياج يعني محيطًا كاملًا.

إذا ذكر السؤال أن أحد الجوانب لا يحتاج سياجًا، أو توجد بوابة لا يدخل طولها في السياج، فيجب طرح الجزء المفتوح.

مثال

محيط حديقة = ٥٠ م، ويوجد مدخل عرضه ٤ م دون سياج.

طول السياج المطلوب:

٢٣) وحدات المحيط

المحيط يقاس بوحدات الطول:

سم، م، كم.

لا نكتب سم^٢ أو م^٢؛ فهذه وحدات مساحة.

٢٤) لا تخلط بين المحيط والمساحة

المحيط: ما حول المستطيل.

المساحة: ما داخل المستطيل.

قد يكون لمستطيلين المحيط نفسه ومساحتان مختلفتان، لذلك لا يمكن استنتاج المساحة من المحيط وحده دون معلومات إضافية عن الأبعاد.

مثال

المستطيل ٦ × ٤ محيطه:

والمستطيل ٨ × ٢ محيطه أيضًا:

لكن مساحتيهما مختلفتان.

٢٥) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

مستطيل طوله ١٤ وعرضه ٦. ما محيطه؟

أ) ٢٠
ب) ٢٨
ج) ٤٠
د) ٨٤

مثال ٢ — إيجاد العرض

محيط مستطيل ٥٠، وطوله ١٥. ما عرضه؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ٢٠
د) ٢٥

مثال ٣ — نسبة الأبعاد

نسبة طول مستطيل إلى عرضه ٤:٣، ومحيطه ٥٦. ما طوله؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٤
د) ٣٢

مثال ٤ — تغير المحيط

زاد طول مستطيل بمقدار ٥ وحدات، وبقي عرضه ثابتًا. بمقدار كم يزيد المحيط؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠

٢٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مستطيل محيطه ٧٢، وطوله يزيد على عرضه بـ٨. فما طول المستطيل؟

أ) ١٤
ب) ١٨
ج) ٢٢
د) ٢٨

٢٧) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام بدل قانون المحيط؛ هذا قانون المساحة.

الخطأ الثاني: حساب والتوقف، مع نسيان أن هذا نصف المحيط فقط.

الخطأ الثالث: إذا كان المحيط معلومًا، طرح الطول مباشرة من المحيط بدل نصف المحيط.

الخطأ الرابع: عند وجود نسبة بين الطول والعرض، استخدام المحيط كاملًا بدل نصف المحيط لتوزيع أجزاء النسبة.

الخطأ الخامس: إذا زاد أحد الأبعاد بمقدار د، زيادة المحيط بمقدار د فقط؛ الصحيح أن المحيط يتغير بمقدار .

الخطأ السادس: كتابة وحدة مربعة للمحيط.

الخطأ السابع: في مسائل السياج، حساب المحيط كاملًا رغم وجود جزء مفتوح لا يحتاج إلى سياج.

٢٨) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: محيط المستطيل = .

التكتيك الثاني: محيط معلوم؟ اقسم على ٢ فورًا لتحصل على الطول + العرض.

التكتيك الثالث: بعد معلوم؟ اطرحه من نصف المحيط لإيجاد البعد الآخر.

التكتيك الرابع: نسبة طول إلى عرض؟ وزّع نصف المحيط على أجزاء النسبة.

التكتيك الخامس: إذا زاد بعد واحد د، يزيد المحيط .

التكتيك السادس: إذا زاد الطول أ والعرض ب، يزيد المحيط .

التكتيك السابع: سياج أو إطار حول الشكل = محيط، إلا إذا ذكر جزء مفتوح.

التكتيك الثامن: إذا كانت الخيارات أبعادًا محتملة، فقد تكون تجربة الخيارات أسرع من بناء معادلة طويلة.

٢٩) تدريب متدرج

سؤال ١

مستطيل طوله ١٢ وعرضه ٥. ما محيطه؟

أ) ١٧
ب) ٢٤
ج) ٣٤
د) ٦٠

سؤال ٢

مستطيل طوله ٢٠ وعرضه ٧. ما محيطه؟

أ) ٢٧
ب) ٤٠
ج) ٥٤
د) ١٤٠

سؤال ٣

محيط مستطيل ٤٨، وطوله ١٦. ما عرضه؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٢
د) ١٦

سؤال ٤

محيط مستطيل ٦٢، وعرضه ١٢. ما طوله؟

أ) ١٧
ب) ١٩
ج) ٢١
د) ٢٥

سؤال ٥

طول مستطيل = س+٢، وعرضه = س، ومحيطه ٢٨. فما س؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٦

محيط مستطيل ٤٤، وطوله يزيد على عرضه بـ٦. ما العرض؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٤

سؤال ٧

طول مستطيل ضعف عرضه، ومحيطه ٧٢. ما العرض؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٨

نسبة طول مستطيل إلى عرضه ٥:٣، ومحيطه ٦٤. ما العرض؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ٢٠
د) ٢٤

سؤال ٩

زاد طول مستطيل ٤ وحدات وبقي العرض ثابتًا. كم يزيد محيطه؟

أ) ٤
ب) ٨
ج) ١٢
د) ١٦

سؤال ١٠

زاد طول مستطيل ٣ وحدات وعرضه وحدتين. كم يزيد المحيط؟

أ) ٥
ب) ٧
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ١١

مستطيل محيطه ٢٦، ثم تضاعف الطول والعرض معًا. ما المحيط الجديد؟

أ) ٢٦
ب) ٣٩
ج) ٥٢
د) ١٠٤

سؤال ١٢

حديقة مستطيلة طولها ١٨ م وعرضها ١٢ م. ما طول السياج اللازم لإحاطتها مرة واحدة؟

أ) ٣٠ م
ب) ٤٨ م
ج) ٦٠ م
د) ٢١٦ م

سؤال ١٣

محيط حديقة مستطيلة ٨٠ م، ويوجد مدخل بعرض ٦ م لا يحتاج إلى سياج. كم مترًا من السياج نحتاج؟

أ) ٦٨
ب) ٧٤
ج) ٨٠
د) ٨٦

سؤال ١٤

أي معلومة تكفي وحدها لإيجاد بعدَي مستطيل بصورة محددة؟

أ) المحيط فقط
ب) الطول + العرض فقط
ج) المحيط ونسبة الطول إلى العرض
د) معرفة أنه مستطيل فقط

٣٠) ملخص الدرس

محيط المستطيل:

وأهم اختصار عند معرفة المحيط هو:

لذلك إذا كان أحد البعدين معلومًا، اطرحه من نصف المحيط لإيجاد الآخر. وإذا كانت نسبة الطول إلى العرض معلومة، وزّع نصف المحيط على أجزاء النسبة.

إذا تغير بعد واحد بمقدار د، يتغير المحيط بمقدار . وإذا تغير الطول والعرض معًا، اجمع مقدار التغير فيهما ثم اضرب في ٢. وفي مسائل السياج والإطار، انتبه إلى أي جزء مفتوح لا يدخل في الطول المطلوب.