١) ما هو محيط المثلث؟

المحيط هو المسافة الكلية حول الشكل.

في المثلث نجمع أطوال الأضلاع الثلاثة:

مثال

أضلاع مثلث هي ٦، ٨، ١٠.

إذن المحيط = ٢٤.

٢) متى أفكر في المحيط؟

فكر في المحيط عندما ترى عبارات مثل:

محيط المثلث.

مجموع أطوال الأضلاع.

المسافة حول شكل مثلث.

سياج أو إطار حول منطقة مثلثة.

ضلع مجهول مع معرفة المحيط.

٣) إذا كانت الأضلاع الثلاثة معلومة

الحل مباشر: اجمعها فقط.

مثال

أضلاع مثلث:

المحيط:

٤) إيجاد ضلع مجهول من المحيط

إذا كان المحيط معلومًا وضلعان معلومان:

مثال

محيط مثلث = ٣٠، وضلعاه ٩ و١١.

٥) بعد إيجاد الضلع: تحقق من إمكانية تكوين المثلث

إذا أعطاك السؤال محيطًا وضلعين، فإن ناتج الطرح ليس بالضرورة ضلعًا صالحًا دائمًا.

إذا كان السؤال يسأل أيضًا عن إمكانية تكوين مثلث، فتحقق من متباينة المثلث.

مثال

محيط مثلث = ٢٠، وضلعان ٤ و٩.

الضلع الثالث:

الأضلاع: ٤، ٧، ٩.

وبما أن:

فيمكن تكوين مثلث.

٦) المثلث متساوي الأضلاع

في المثلث متساوي الأضلاع، الأضلاع الثلاثة متساوية.

إذا كان طول الضلع = س:

مثال

طول الضلع = ٧.

٧) إيجاد ضلع متساوي الأضلاع من المحيط

نعكس القانون:

مثال

محيط مثلث متساوي الأضلاع = ٣٦.

إذن طول كل ضلع = ١٢.

٨) المثلث متساوي الساقين

في المثلث متساوي الساقين يوجد ضلعان متساويان.

إذا كان طول كل ساق = س، والقاعدة = ق:

مثال

الساقان ٨ و٨، والقاعدة ٦.

٩) إيجاد كل ساق من المحيط والقاعدة

إذا كان المحيط والقاعدة معلومين:

نطرح القاعدة من المحيط أولًا، فيبقى مجموع الساقين.

ثم نقسم على ٢.

مثال

محيط مثلث متساوي الساقين = ٣٤، والقاعدة = ١٠.

١٠) إيجاد القاعدة من المحيط والساق

إذا عرفت المحيط وطول كل ساق:

مثال

المحيط = ٣٢، وطول كل ساق = ١١.

إذن القاعدة = ١٠.

١١) إذا كانت الأضلاع على صورة متغيرات

نجمع التعبيرات الجبرية كما نجمع الأعداد.

مثال

أضلاع مثلث هي:

ومحيطه ٣٠.

إذن:

الأضلاع

١٢) إذا كانت الأضلاع بنسبة معلومة

قد يعطيك السؤال نسبة الأضلاع بدل أطوالها مباشرة.

مثال

نسبة أضلاع مثلث:

ومحيطه = ٤٥.

مجموع أجزاء النسبة:

قيمة الجزء الواحد:

إذن الأضلاع:

١٣) تكتيك النسبة والمحيط

إذا كانت نسبة الأضلاع:

فاجمع أجزاء النسبة أولًا.

ثم اضرب قيمة الجزء في كل رقم من أرقام النسبة.

١٤) محيط مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°

إذا كان الضلع المقابل لـ٣٠° = س، فإن الأضلاع:

إذن المحيط:

مثال

إذا كان المقابل لـ٣٠° = ٤:

١٥) محيط مثلث ٤٥°–٤٥°–٩٠°

إذا كان كل ضلع من ضلعي القائمة = س، فالوتر = .

إذن المحيط:

مثال

إذا كان كل ضلع قائم = ٥:

١٦) إذا تضاعفت جميع الأضلاع

إذا ضُربت جميع أطوال أضلاع المثلث في عدد ك، فإن المحيط يُضرب في العدد نفسه.

مثال

مثلث محيطه ١٨، ثم ضُرب كل ضلع في ٣.

المحيط الجديد:

الفكرة

المحيط كمية طولية، لذلك يتغير بالنسبة نفسها التي تتغير بها الأطوال.

١٧) المحيط ووحدات القياس

المحيط يقاس بوحدة طول، مثل:

سم، م، كم.

لا نكتب سم^٢ أو م^٢؛ فهذه وحدات مساحة وليست محيطًا.

١٨) مسائل السياج والإطار

إذا كان المطلوب طول سياج يحيط بمنطقة مثلثة مرة واحدة، فالمطلوب هو المحيط.

مثال

حديقة مثلثة أضلاعها ١٢ م، ١٥ م، ١٧ م.

طول السياج اللازم:

أي ٤٤ مترًا.

١٩) إذا دار السياج أكثر من مرة

إذا كان السياج أو الحبل يلف المثلث أكثر من دورة:

مثال

محيط منطقة مثلثة = ٢٥ م، ونريد إحاطتها بسلك ثلاث مرات.

٢٠) لا تخلط بين المحيط والمساحة

المحيط: المسافة حول المثلث.

المساحة: مقدار المنطقة داخل المثلث.

لذلك معرفة القاعدة والارتفاع وحدهما قد تكفي للمساحة، لكنها لا تكفي عادةً للمحيط إذا لم نعرف بقية الأضلاع.

٢١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مباشر

مثلث أضلاعه ٧، ٨، ١٢. ما محيطه؟

أ) ٢٤
ب) ٢٥
ج) ٢٧
د) ٣٠

مثال ٢ — ضلع مجهول

محيط مثلث ٤٥، وطولا ضلعين ١٤ و١٦. ما الضلع الثالث؟

أ) ١٢
ب) ١٣
ج) ١٥
د) ١٧

مثال ٣ — متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع محيطه ٣٦. ما طول ضلعه؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

مثال ٤ — متساوي الساقين

مثلث متساوي الساقين محيطه ٤٠ وقاعدته ١٠. ما طول كل ساق؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٠

٢٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

أطوال أضلاع مثلث بنسبة ، ومحيطه ٤٨. ما طول أكبر ضلع؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٠
د) ٢٤

٢٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين المحيط والمساحة.

الخطأ الثاني: نسيان أحد الأضلاع الثلاثة.

الخطأ الثالث: في متساوي الساقين، ضرب القاعدة في ٢ بدل تكرار الساقين المتساويتين.

الخطأ الرابع: عند إيجاد ضلع مجهول، طرح ضلع واحد فقط من المحيط بدل طرح مجموع الضلعين المعلومين.

الخطأ الخامس: عند استخدام النسبة، قسمة المحيط على أحد أرقام النسبة بدل مجموع أجزاء النسبة.

الخطأ السادس: كتابة وحدة مربعة للمحيط.

الخطأ السابع: قبول ضلع ناتج من المحيط دون التحقق من إمكانية تكوين مثلث عندما يطلب السؤال ذلك.

٢٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: كلمة «محيط» = اجمع الأطوال.

التكتيك الثاني: متساوي الأضلاع: المحيط = ٣ × الضلع.

التكتيك الثالث: متساوي الساقين: اطرح القاعدة من المحيط ثم اقسم الباقي على ٢ إذا كان المطلوب الساق.

التكتيك الرابع: إذا كانت الأضلاع بنسبة، اجمع أجزاء النسبة أولًا.

التكتيك الخامس: إذا ضُربت جميع الأضلاع في ك، يُضرب المحيط في ك مباشرة.

التكتيك السادس: سياج أو إطار حول مثلث = محيط.

التكتيك السابع: لا تدخل الارتفاع في المحيط إلا إذا كان الارتفاع نفسه ضلعًا من أضلاع المثلث.

٢٥) تدريب متدرج

سؤال ١

مثلث أضلاعه ٥، ٨، ١٠. ما محيطه؟

أ) ٢٠
ب) ٢١
ج) ٢٣
د) ٢٥

سؤال ٢

محيط مثلث ٣٢، وطولا ضلعين ٩ و١١. ما الضلع الثالث؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٦

سؤال ٣

مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ١١. ما محيطه؟

أ) ٢٢
ب) ٣٠
ج) ٣٣
د) ٤٤

سؤال ٤

مثلث متساوي الأضلاع محيطه ٥٤. ما طول ضلعه؟

أ) ١٦
ب) ١٨
ج) ٢٠
د) ٢٧

سؤال ٥

مثلث متساوي الساقين، طول كل ساق ١٢ والقاعدة ٧. ما المحيط؟

أ) ٢٤
ب) ٢٩
ج) ٣١
د) ٣٦

سؤال ٦

مثلث متساوي الساقين محيطه ٣٨ وقاعدته ١٢. ما طول كل ساق؟

أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٤

سؤال ٧

مثلث أضلاعه س، س+٢، س+٤ ومحيطه ٣٦. ما قيمة س؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ٨

نسبة أضلاع مثلث ٢:٣:٤ ومحيطه ٣٦. ما طول أكبر ضلع؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ١٨

سؤال ٩

مثلث ٣٠°–٦٠°–٩٠°، والضلع المقابل لـ٣٠° = ٣. ما محيطه؟

أ)
ب)
ج)
د) ١٢

سؤال ١٠

مثلث قائم متساوي الساقين، طول كل ضلع قائم ٤. ما محيطه؟

أ)
ب)
ج)
د) ١٢

سؤال ١١

مثلث محيطه ٢٤. إذا ضُرب طول كل ضلع في ٢، فما المحيط الجديد؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٤٨
د) ٩٦

سؤال ١٢

حديقة مثلثة أضلاعها ١٣ م، ١٤ م، ١٥ م. كم مترًا من السياج تحتاج لإحاطتها مرة واحدة؟

أ) ٣٨
ب) ٤٠
ج) ٤٢
د) ٤٥

سؤال ١٣

محيط مثلث متساوي الساقين ٤٦، وطول كل ساق ١٧. ما طول القاعدة؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٧

سؤال ١٤

أضلاع مثلث بنسبة ٣:٣:٤ ومحيطه ٥٠. ما طول القاعدة إذا كان الضلعان المتساويان يقابلان الجزأين ٣ و٣؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٢٥

٢٦) ملخص الدرس

محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة:

في متساوي الأضلاع: . وفي متساوي الساقين: .

إذا كان ضلع مجهولًا، اطرح مجموع الأضلاع المعلومة من المحيط. وإذا كانت الأضلاع معطاة بنسبة، اقسم المحيط على مجموع أجزاء النسبة أولًا. وتذكر أن المحيط يقاس بوحدات الطول، لا بالوحدات المربعة.