١) الفكرة الأساسية

محيط الدائرة هو طول الخط الخارجي الذي يحيط بالدائرة.

له صورتان أساسيتان:

و:

حيث ر هو نصف القطر، وق هو القطر.

٢) العلاقة بين القطر ونصف القطر

القطر يمر بمركز الدائرة ويصل بين نقطتين على محيطها.

وهو يساوي ضعفي نصف القطر:

وبالعكس:

٣) كيف أميز القطر عن نصف القطر؟

نصف القطر: من مركز الدائرة إلى المحيط.

القطر: من طرف في المحيط إلى الطرف المقابل مرورًا بالمركز.

٤) إذا كان نصف القطر معلومًا

استخدم مباشرة:

مثال

نصف قطر دائرة = ٥.

٥) إذا كان القطر معلومًا

القانون الأسرع:

مثال

قطر دائرة = ١٢.

٦) تكتيك الاختصار عند إعطاء القطر

إذا أعطاك السؤال القطر، لا تحوله إلى نصف قطر ثم تعود لتضرب في ٢.

استخدم مباشرة:

وهذا يقلل خطوات الحل والأخطاء.

٧) إيجاد القطر من المحيط

من:

نحصل على:

مثال

محيط دائرة = .

٨) إيجاد نصف القطر من المحيط

من:

نحصل على:

مثال

محيط دائرة = .

٩) إذا كان المحيط على صورة عدد مضروب في π

هذه من أسرع أنماط القدرات.

إذا كان:

فالقطر = أ مباشرة.

ونصف القطر:

مثال

المحيط = .

القطر = ٣٢، ونصف القطر = ١٦.

١٠) متى أترك الإجابة بدلالة π؟

إذا طلب السؤال الإجابة بدلالة π، فلا تستبدل π بقيمة تقريبية.

مثال

دائرة قطرها ٩.

المحيط بدلالة π:

١١) متى أستخدم ٣٫١٤؟

إذا طلب السؤال قيمة تقريبية ولم يعط قيمة محددة لـ π، يمكن استخدام:

مثال

قطر دائرة = ١٠.

١٢) متى يكون ٢٢ على ٧ أسرع؟

إذا كان نصف القطر أو القطر من مضاعفات ٧، يكون استخدام:

غالبًا أسرع بسبب الاختصار.

مثال

نصف القطر = ٧.

١٣) النسبة بين المحيط والقطر

من القانون:

فإن:

وهذه النسبة ثابتة في جميع الدوائر مهما تغير حجمها.

١٤) إذا تضاعف نصف القطر

المحيط يتناسب طرديًا مع نصف القطر.

إذا تضاعف نصف القطر، يتضاعف المحيط.

إذا أصبح نصف القطر ثلاثة أمثاله، يصبح المحيط ثلاثة أمثاله.

١٥) إذا تغير القطر

المحيط يتناسب طرديًا مع القطر أيضًا.

إذا ضُرب القطر في العدد ك، فإن المحيط يُضرب في ك.

مثال

محيط دائرة = ٢٤، ثم أصبح قطرها ضعف قطرها الأصلي.

المحيط الجديد = ٤٨.

١٦) نسبة محيطي دائرتين

نسبة محيطي دائرتين تساوي نسبة أنصاف أقطارهما، وتساوي أيضًا نسبة قطريهما.

إذا كانت نسبة نصفي القطر:

فنسبة المحيطين:

مثال

نسبة نصفي قطر دائرتين = .

إذن نسبة المحيطين = .

١٧) العجلة: دورة كاملة

عندما تدور عجلة دورة كاملة دون انزلاق، فإن المسافة التي تقطعها تساوي محيط العجلة.

مثال

قطر عجلة = ٧٠ سم، واستخدم .

إذن تقطع في دورة واحدة ٢٢٠ سم.

١٨) عدة دورات للعجلة

إذا دارت العجلة ن دورة:

مثال

محيط عجلة = ١٫٥ م، ودارت ٨ دورات.

١٩) إيجاد عدد الدورات

إذا كانت المسافة الكلية ومحيط العجلة معلومين:

مثال

قطعت عجلة مسافة ٨٨٠ سم، ومحيطها ٢٢٠ سم.

٢٠) قوس نصف الدائرة

طول قوس نصف الدائرة يساوي نصف محيط الدائرة الكاملة.

إذا كان القطر = ق:

وإذا كان نصف القطر = ر:

مثال

قطر نصف دائرة = ١٤.

٢١) محيط نصف الدائرة كاملًا

انتبه إلى الفرق بين طول القوس ومحيط نصف الدائرة كاملًا.

المحيط الكامل لنصف الدائرة = نصف محيط الدائرة + القطر.

باستخدام نصف القطر:

مثال

نصف القطر = ٧.

٢٢) قوس ربع الدائرة

طول قوس ربع الدائرة = ربع محيط الدائرة الكاملة.

مثال

نصف القطر = ٨.

٢٣) محيط ربع الدائرة كاملًا

إذا طلب محيط قطاع يمثل ربع دائرة، فلا يكفي طول القوس.

نضيف نصفي القطر اللذين يحدان القطاع:

مثال

نصف القطر = ٨.

٢٤) جزء من محيط الدائرة

إذا كان القوس يمثل كسرًا معلومًا من الدائرة، فطوله يساوي الكسر نفسه من المحيط.

مثال

قوس يمثل ثلث دائرة قطرها ١٢.

محيط الدائرة:

طول القوس:

٢٥) لا تخلط بين المحيط والمساحة

محيط الدائرة:

أما مساحة الدائرة:

إذا طلب السؤال المسافة حول الدائرة، فأنت تبحث عن المحيط.

٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — نصف القطر

دائرة نصف قطرها ٤. ما محيطها بدلالة π؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — القطر

دائرة قطرها ١٠. ما محيطها بدلالة π؟

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — من المحيط إلى القطر

محيط دائرة = . ما قطرها؟

أ) ٦٫٥
ب) ١٣
ج) ٢٦
د) ٥٢

مثال ٤ — نصف دائرة

نصف دائرة قطرها ١٨. ما طول القوس فقط؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

عجلة قطرها ٢٨ سم تدور دون انزلاق. إذا دارت ٥ دورات كاملة، فما المسافة التي تقطعها باستخدام ؟

أ) ٨٨ سم
ب) ١٧٦ سم
ج) ٤٤٠ سم
د) ٨٨٠ سم

٢٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين القطر ونصف القطر.

الخطأ الثاني: إذا كان القطر معلومًا، مضاعفته مرة أخرى قبل حساب المحيط.

الخطأ الثالث: استخدام قانون المساحة بدل قانون المحيط.

الخطأ الرابع: حذف π عندما يطلب السؤال الإجابة بدلالة π.

الخطأ الخامس: استخدام ٣٫١٤ أو رغم أن السؤال يطلب الإجابة بدلالة π.

الخطأ السادس: في نصف الدائرة، اعتبار طول القوس هو المحيط الكامل لنصف الدائرة.

الخطأ السابع: في مسائل العجلات، حساب محيط دورة واحدة ونسيان ضربه في عدد الدورات.

٢٩) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: نصف قطر معلوم ← .

التكتيك الثاني: قطر معلوم ← مباشرة.

التكتيك الثالث: محيط على صورة ← القطر = أ.

التكتيك الرابع: إذا طلب قيمة تقريبية وكان العدد من مضاعفات ٧، افحص هل أسرع.

التكتيك الخامس: دورة كاملة لعجلة = محيطها.

التكتيك السادس: عدة دورات = المحيط × عدد الدورات.

التكتيك السابع: قوس نصف دائرة = نصف المحيط، لكن محيط نصف الدائرة الكامل يحتاج إضافة القطر.

التكتيك الثامن: قوس ربع دائرة = ربع المحيط، ومحيط القطاع الكامل يحتاج إضافة نصفي القطر.

٣٠) تدريب متدرج

سؤال ١

دائرة نصف قطرها ٦. ما محيطها بدلالة π؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢

دائرة قطرها ١٨. ما محيطها بدلالة π؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣

محيط دائرة = . ما قطرها؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٣٠
د) ٦٠

سؤال ٤

محيط دائرة = . ما نصف قطرها؟

أ) ٧٫٥
ب) ١٥
ج) ٣٠
د) ٦٠

سؤال ٥

دائرة نصف قطرها ١٤. ما محيطها باستخدام ؟

أ) ٤٤
ب) ٦٦
ج) ٨٨
د) ١٧٦

سؤال ٦

دائرة قطرها ١٠. ما محيطها تقريبًا باستخدام ٣٫١٤؟

أ) ١٥٫٧
ب) ٣١٫٤
ج) ٦٢٫٨
د) ١٠٠

سؤال ٧

إذا تضاعف نصف قطر دائرة، فماذا يحدث لمحيطها؟

أ) يبقى ثابتًا
ب) يتضاعف
ج) يصبح أربعة أمثال
د) يصبح نصفه

سؤال ٨

نسبة نصفي قطر دائرتين ٣:٥. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٣:٥
ب) ٩:٢٥
ج) ٥:٣
د) ١:١

سؤال ٩

عجلة محيطها ٢ م. دارت ١٢ دورة. ما المسافة التي قطعتها؟

أ) ٦ م
ب) ١٢ م
ج) ٢٤ م
د) ٤٨ م

سؤال ١٠

عجلة قطعت ٦٠ م، ومحيطها ٢٫٥ م. كم دورة دارت؟

أ) ١٥
ب) ٢٠
ج) ٢٤
د) ٣٠

سؤال ١١

نصف دائرة قطرها ١٤. ما طول القوس فقط؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٢

نصف دائرة نصف قطرها ٧. ما محيطها الكامل؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٣

ربع دائرة نصف قطرها ٨. ما طول القوس؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤

ما النسبة الثابتة بين محيط أي دائرة وقطرها؟

أ) ٢
ب)
ج)
د)

٣١) ملخص الدرس

محيط الدائرة:

إذا كان المحيط على صورة ، فالقطر = أ مباشرة، ونصف القطر = أ ÷ ٢.

إذا طلب السؤال قيمة تقريبية، استخدم القيمة التي يحددها السؤال لـ π، أو استخدم ٣٫١٤، وقد يكون أسرع عندما توجد مضاعفات ٧.

وفي مسائل العجلات، الدورة الكاملة تساوي محيط الدائرة. أما في أنصاف وأرباع الدوائر، ففرّق دائمًا بين طول القوس وحده والمحيط الكامل للشكل.