١) ما هو متوازي المستطيلات؟

متوازي المستطيلات مجسم ثلاثي الأبعاد يشبه الصندوق.

له ثلاثة أبعاد:

الطول.

العرض.

الارتفاع.

وقد تكون هذه الأبعاد مختلفة.

٢) مكونات متوازي المستطيلات

له:

٦ أوجه.

١٢ حرفًا.

٨ رؤوس.

كل وجهين متقابلين متطابقان ومتوازيان.

٣) الفرق بينه وبين المكعب

المكعب حالة خاصة من متوازي المستطيلات.

في المكعب:

أما متوازي المستطيلات فقد تختلف أبعاده الثلاثة.

مثال

الأبعاد ٥، ٥، ٥ تمثل مكعبًا.

الأبعاد ٨، ٥، ٣ تمثل متوازي مستطيلات غير مكعب.

٤) حجم متوازي المستطيلات

الحجم يقيس مقدار الفراغ داخل المجسم.

القانون:

حيث ط هو الطول، وع هو العرض، و هـ هو الارتفاع.

٥) مثال مباشر على الحجم

متوازي مستطيلات طوله ١٠، وعرضه ٤، وارتفاعه ٣.

٦) الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع

يمكن أيضًا التفكير في الحجم بهذه الصورة:

والقاعدة المستطيلة مساحتها:

إذن نعود إلى:

٧) إيجاد بعد مجهول من الحجم

إذا كان الحجم وبُعدان معلومان، نقسم الحجم على حاصل ضرب البعدين المعلومين.

مثلًا لإيجاد الارتفاع:

مثال

الحجم ١٨٠، والطول ١٠، والعرض ٦.

٨) مساحة السطح الكلية

مساحة السطح الكلية هي مجموع مساحات الأوجه الستة.

يوجد ثلاثة أنواع من الأوجه، وكل نوع يتكرر مرتين:

لذلك:

٩) طريقة سهلة لحساب مساحة السطح

احسب حاصل ضرب كل بُعدين مختلفين:

الطول × العرض.

الطول × الارتفاع.

العرض × الارتفاع.

اجمع النتائج ثم اضرب في ٢.

مثال

الأبعاد ٦، ٤، ٣.

١٠) المساحة الجانبية

المساحة الجانبية لا تشمل القاعدتين العلوية والسفلية.

إذا اعتبرنا القاعدة مستطيلًا طوله ط وعرضه ع، فإن محيط القاعدة:

إذن المساحة الجانبية:

أي:

١١) مثال على المساحة الجانبية

قاعدة أبعادها ٧ و٣، وارتفاع المجسم ٥.

محيط القاعدة:

المساحة الجانبية:

١٢) الفرق بين المساحة الجانبية والكلية

المساحة الجانبية: الأوجه الجانبية الأربعة فقط.

المساحة الكلية: الأوجه الستة، أي الجوانب + القاعدتين.

لذلك:

١٣) من المساحة الجانبية إلى المساحة الكلية

مثال

المساحة الجانبية = ٩٦، ومساحة القاعدة = ٢٠.

١٤) الطلاء والتغليف

إذا قال السؤال: طلاء الصندوق أو تغليفه من الخارج بالكامل، فالمطلوب مساحة السطح الكلية.

مثال

علبة أبعادها ٨، ٥، ٤.

١٥) إذا كان الصندوق مفتوحًا من الأعلى

إذا كان الصندوق بلا غطاء، فلا نحسب مساحة الوجه العلوي.

يمكن حساب المساحة الكلية المغلقة ثم طرح مساحة الوجه المفقود.

مثال

صندوق أبعاده ٦، ٤، ٣ ومفتوح من الأعلى.

المساحة المغلقة:

مساحة الوجه العلوي:

المساحة المطلوبة:

١٦) السعة والحجم

كلمة «يتسع» أو «سعة صندوق أو خزان» تشير غالبًا إلى الحجم.

إذا كانت الأبعاد بالمتر، فالحجم يكون بالمتر المكعب.

ومن التحويلات المهمة:

١٧) مثال على السعة باللتر

خزان على شكل متوازي مستطيلات أبعاده ١٢ م، ٥ م، ٤ م.

الحجم:

السعة باللتر:

١٨) القطر في وجه مستطيل

قبل دراسة القطر الفضائي، تذكر أن قطر أي وجه مستطيل يحسب بفيثاغورس.

إذا كان الوجه أبعاده ط وع:

مثال

وجه أبعاده ٣ و٤.

١٩) القطر الفضائي لمتوازي المستطيلات

القطر الفضائي يصل بين رأسين متقابلين داخل المجسم.

إذا كانت الأبعاد ط، ع، هـ:

مثال

متوازي مستطيلات أبعاده ٣، ٤، ١٢.

٢٠) اشتقاق القطر الفضائي

أولًا نوجد قطر القاعدة:

ثم نستخدم فيثاغورس مرة أخرى مع الارتفاع:

فنحصل على:

٢١) عدد المكعبات الصغيرة داخل متوازي مستطيلات

إذا ملأنا متوازي المستطيلات بمكعبات متطابقة دون فراغات، نقسم كل بُعد على طول حرف المكعب الصغير، ثم نضرب النتائج.

مثال

صندوق أبعاده ١٢، ٨، ٦، ومكعب صغير حرفه ٢.

٢٢) عدد المكعبات باستخدام الحجوم

إذا كانت المكعبات الصغيرة تملأ المجسم دون فراغات:

وهي طريقة بديلة تعطي النتيجة نفسها.

٢٣) أثر تكبير جميع الأبعاد

إذا ضُرب الطول والعرض والارتفاع جميعًا في العدد ك:

الأطوال تتغير بعامل:

مساحة السطح تتغير بعامل:

الحجم يتغير بعامل:

٢٤) مثال على التكبير

إذا تضاعفت جميع أبعاد صندوق:

مساحة سطحه تصبح:

أمثال.

وحجمه يصبح:

أمثال.

٢٥) إذا تغير بُعد واحد فقط

إذا تضاعف بُعد واحد فقط وبقي البعدان الآخران ثابتين، فإن الحجم يتضاعف.

مثال

صندوق أبعاده ٤، ٣، ٢ حجمه ٢٤.

إذا أصبح الطول ٨ وبقي العرض والارتفاع كما هما:

أي أن الحجم تضاعف.

٢٦) مقارنة حجمين

لا تقارن المجسمات من بُعد واحد فقط؛ الحجم يعتمد على حاصل ضرب الأبعاد الثلاثة.

مثال

الصندوق الأول أبعاده ٨، ٣، ٢:

والثاني أبعاده ٦، ٤، ٢:

إذن حجماهما متساويان رغم اختلاف الأبعاد.

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحجم

متوازي مستطيلات أبعاده ٧، ٤، ٣. ما حجمه؟

أ) ١٤
ب) ٢١
ج) ٨٤
د) ٩٨

مثال ٢ — مساحة السطح

متوازي مستطيلات أبعاده ٥، ٤، ٣. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٤٧
ب) ٦٠
ج) ٩٤
د) ١٢٠

مثال ٣ — بُعد مجهول

حجم متوازي مستطيلات ٣٦٠، وطوله ١٢، وارتفاعه ٥. ما عرضه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

مثال ٤ — القطر الفضائي

متوازي مستطيلات أبعاده ٣، ٤، ١٢. ما قطره الفضائي؟

أ) ٥
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٩

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

صندوق أبعاده ١٢، ٨، ٦، ومملوء تمامًا بمكعبات صغيرة طول حرف كل منها ٢. إذا أزلنا صفًا كاملًا من المكعبات على امتداد الطول والعرض من الطبقة العليا، فكم مكعبًا يبقى؟

أ) ٤٨
ب) ٦٠
ج) ٧٢
د) ٩٦

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: حساب الحجم باستخدام الطول × العرض فقط ونسيان الارتفاع.

الخطأ الثاني: الخلط بين الحجم ومساحة السطح.

الخطأ الثالث: عند مساحة السطح، جمع ثلاث مساحات فقط ونسيان أن كل نوع من الأوجه يتكرر مرتين.

الخطأ الرابع: استخدام قانون المكعب رغم أن الأبعاد الثلاثة مختلفة.

الخطأ الخامس: اعتبار المساحة الجانبية مساوية للمساحة الكلية ونسيان القاعدتين.

الخطأ السادس: في الصندوق المفتوح، حساب وجه غير موجود.

الخطأ السابع: الخلط بين الوحدات المربعة للحساب السطحي والوحدات المكعبة للحجم.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حجم أو سعة أو يتسع ← .

التكتيك الثاني: مساحة سطح أو تغليف أو طلاء كامل ← .

التكتيك الثالث: مساحة جانبية ← محيط القاعدة × الارتفاع.

التكتيك الرابع: بُعد مجهول ← الحجم ÷ حاصل ضرب البعدين الآخرين.

التكتيك الخامس: صندوق مفتوح أو ناقص وجهًا ← احسب الأوجه الموجودة فقط.

التكتيك السادس: مكعبات صغيرة ← اقسم كل بُعد على حرف المكعب الصغير ثم اضرب النتائج.

التكتيك السابع: قطر فضائي ← .

التكتيك الثامن: تكبير جميع الأبعاد بعامل ك ← المساحة بعامل والحجم بعامل .

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

متوازي مستطيلات أبعاده ٩، ٤، ٢. ما حجمه؟

أ) ١٥
ب) ٣٦
ج) ٧٢
د) ١٤٤

سؤال ٢

متوازي مستطيلات أبعاده ٦، ٥، ٤. ما حجمه؟

أ) ٦٠
ب) ٩٠
ج) ١٢٠
د) ١٥٠

سؤال ٣

حجم متوازي مستطيلات ٢٤٠، وطوله ١٢، وعرضه ٥. ما ارتفاعه؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٦

سؤال ٤

متوازي مستطيلات أبعاده ٧، ٣، ٢. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٤١
ب) ٦٢
ج) ٨٢
د) ١٢٦

سؤال ٥

قاعدة متوازي مستطيلات أبعادها ٦ و٤، وارتفاعه ٥. ما مساحته الجانبية؟

أ) ٤٨
ب) ٦٠
ج) ١٠٠
د) ١٢٠

سؤال ٦

متوازي مستطيلات مساحته الجانبية ٨٠، ومساحة قاعدته ١٥. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٩٥
ب) ١١٠
ج) ١٢٠
د) ١٦٠

سؤال ٧

صندوق مغلق أبعاده ٦، ٤، ٣ مساحته الكلية ١٠٨. إذا فتح من الأعلى بإزالة وجه ٦ × ٤، فما مساحة المادة المتبقية؟

أ) ٦٠
ب) ٨٤
ج) ٩٦
د) ١٠٨

سؤال ٨

خزان حجمه ٣ أمتار مكعبة. كم لترًا يتسع؟

أ) ٣٠٠
ب) ١٠٠٠
ج) ٣٠٠٠
د) ٣٠٠٠٠

سؤال ٩

قطر وجه مستطيل أبعاده ٦ و٨ يساوي:

أ) ٧
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ١٠

متوازي مستطيلات أبعاده ٢، ٣، ٦. ما قطره الفضائي؟

أ) ٧
ب)
ج) ١١
د) ٣٦

سؤال ١١

صندوق أبعاده ١٢، ٨، ٦ يُملأ بمكعبات صغيرة طول حرفها ٢. كم مكعبًا يلزم؟

أ) ٢٤
ب) ٤٨
ج) ٧٢
د) ١٤٤

سؤال ١٢

إذا تضاعفت جميع أبعاد متوازي مستطيلات، فكم مرة يصبح حجمه؟

أ) مرتين
ب) ٤ مرات
ج) ٦ مرات
د) ٨ مرات

سؤال ١٣

إذا تضاعفت جميع أبعاد متوازي مستطيلات، فكم مرة تصبح مساحة سطحه؟

أ) مرتين
ب) ٤ مرات
ج) ٦ مرات
د) ٨ مرات

سؤال ١٤

صندوق أبعاده ٤، ٣، ٢. إذا تضاعف طوله فقط وبقي العرض والارتفاع كما هما، فكم يصبح حجمه؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٤٨
د) ٩٦

٣٢) ملخص الدرس

متوازي المستطيلات له ٦ أوجه و١٢ حرفًا و٨ رؤوس.

أهم القوانين:

وإذا احتجنا القطر الفضائي:

الحجم يقاس بوحدات مكعبة، ومساحة السطح بوحدات مربعة. وفي مسائل السعة والملء، حدّد الوحدات قبل البدء بالحساب.