١) الفكرة الأساسية

في أي مثلث، مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث.

إذا كانت أطوال الأضلاع أ، ب، ج، فيجب أن تتحقق:

٢) لماذا لا تكفي المساواة؟

إذا كان مجموع ضلعين يساوي الضلع الثالث، فإن الأضلاع تصبح على خط واحد ولا يتكوّن مثلث حقيقي.

مثال

إذن الأطوال ٣، ٤، ٧ لا تكوّن مثلثًا.

قاعدة

يجب أن يكون المجموع أكبر، وليس أكبر أو يساوي.

٣) أسرع طريقة للتحقق من ثلاثة أطوال

بدل اختبار المتباينات الثلاث واحدة واحدة:

١. رتّب الأضلاع من الأصغر إلى الأكبر.

٢. اجمع أصغر ضلعين.

٣. قارن المجموع بأكبر ضلع.

إذا كان مجموع الأصغرَين أكبر من الأكبر، فالأطوال تكوّن مثلثًا.

لماذا يكفي ذلك؟

لأن مجموع أي ضلع مع الضلع الأكبر سيكون بالتأكيد أكبر من الضلع الثالث الأصغر، لذلك الشرط الأصعب هو مقارنة مجموع أصغر ضلعين بأكبر ضلع.

٤) مثال مباشر: أطوال تصلح

هل الأطوال تكوّن مثلثًا؟

أصغر ضلعين هما ٥ و٧:

ونقارن:

إذن نعم، تكوّن مثلثًا.

٥) مثال مباشر: أطوال لا تصلح

هل الأطوال تكوّن مثلثًا؟

إذن لا يمكن تكوين مثلث.

٦) إذا كان الضلع الثالث مجهولًا

إذا كان ضلعان طولهما أ وب، وكان الضلع الثالث س، فإن س يجب أن يكون:

أي:

أكبر من الفرق بين الضلعين.

وأصغر من مجموعهما.

٧) لماذا يوجد حد أدنى أيضًا؟

قد يظن الطالب أن الشرط الوحيد هو أن يكون الضلع الثالث أصغر من مجموع الضلعين، لكن هذا غير كافٍ.

مثال

ضلعان طولهما ٦ و١٠.

الفرق:

المجموع:

إذن:

فالعدد ٣ لا يصلح، والعدد ٨ يصلح، والعدد ١٦ لا يصلح.

٨) الحدّان غير داخلين في الحل

في:

لا يمكن أن تكون س = ٤ ولا س = ١٦.

لذلك إذا كان المطلوب عددًا صحيحًا:

أصغر قيمة صحيحة = ٥.

أكبر قيمة صحيحة = ١٥.

٩) أكبر عدد صحيح ممكن للضلع الثالث

إذا كان مجموع الضلعين عددًا صحيحًا، فأكبر طول صحيح ممكن يساوي العدد الصحيح الذي يسبق المجموع مباشرة.

مثال

ضلعان ٨ و١٣.

إذن أكبر عدد صحيح ممكن هو:

١٠) أصغر عدد صحيح ممكن للضلع الثالث

أصغر طول صحيح ممكن هو أول عدد صحيح أكبر من الفرق.

مثال

ضلعان ١١ و١٧.

إذن أصغر عدد صحيح ممكن هو:

١١) كم عدد القيم الصحيحة الممكنة؟

بعد إيجاد المجال، اكتب الأعداد الصحيحة الواقعة بين الحدين فقط.

مثال

ضلعان ٥ و٩.

القيم الصحيحة الممكنة:

عددها = ٩.

١٢) تكتيك سريع لعدد القيم الصحيحة

إذا كان الحد الأدنى والحد الأعلى عددين صحيحين وغير داخلين في المجال:

مثال

١٣) اختيار قيمة من الخيارات

إذا أعطاك السؤال ضلعين ومجموعة خيارات للضلع الثالث، لا تختبر تكوين مثلث من البداية لكل خيار.

مثال

ضلعان ٧ و١٢. أي القيم التالية تصلح للضلع الثالث؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ١٠
د) ١٩

المجال:

الخيار الوحيد داخل المجال هو ١٠.

١٤) عندما يكون الضلع الثالث تعبيرًا جبريًا

قد يكون المطلوب إيجاد قيم س التي تجعل ثلاثة أطوال تكوّن مثلثًا.

مثال

أضلاع مثلث:

يجب أن يحقق الضلع الثالث:

نطرح ٢ من جميع الأطراف:

١٥) لا يكفي أن تكون الأطوال موجبة

كون الأطوال موجبة شرط طبيعي للأطوال، لكنه لا يضمن تكوين مثلث.

مثال

الأطوال ٢، ٣، ٨ كلها موجبة، لكن:

إذن لا تكوّن مثلثًا.

١٦) الفرق بين «يمكن» و«يجب»

إذا أعطاك السؤال ضلعين فقط، فهناك عادة عدة قيم ممكنة للضلع الثالث.

لذلك لا تحاول إيجاد قيمة واحدة ما لم يعطك السؤال شرطًا إضافيًا، مثل:

أن يكون الضلع عددًا صحيحًا وأكبر أو أصغر قيمة.

أن يكون المثلث متساوي الساقين.

أن يكون المحيط معلومًا.

١٧) متباينة المثلث مع المحيط

إذا كان ضلعان معلومين والمحيط معلومًا، فإن الضلع الثالث يحدد مباشرة من المحيط، ثم نتحقق هل يصلح لتكوين مثلث.

مثال

محيط مثلث ٢٤، وضلعان ٥ و٨.

الضلع الثالث:

نختبر:

إذن هذه الأطوال يمكن أن تكوّن مثلثًا.

١٨) حالة متساوي الساقين

إذا اشترط السؤال أن يكون المثلث متساوي الساقين، فقد تتكرر إحدى القيم المعطاة كضلع ثالث، لكن يجب أيضًا تحقق متباينة المثلث.

مثال

ضلعان طولهما ٤ و٩، والمثلث متساوي الساقين. ما الطول الممكن للضلع الثالث؟

الاحتمالان هما ٤ أو ٩.

إذا كان الثالث ٤:

إذن لا يصلح.

إذا كان الثالث ٩:

إذن الطول الممكن هو ٩.

١٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — التحقق

هل الأطوال ٦، ٨، ١٢ تكوّن مثلثًا؟

أ) نعم
ب) لا
ج) فقط إذا كان قائمًا
د) لا يمكن التحديد

مثال ٢ — لا تكوّن مثلثًا

أي الأطوال التالية لا تكوّن مثلثًا؟

أ) ٤، ٥، ٦
ب) ٦، ٨، ١٠
ج) ٢، ٣، ٦
د) ٧، ٩، ١٢

مثال ٣ — قيمة ممكنة

ضلعان ٦ و١٠. أي القيم التالية يمكن أن تكون الضلع الثالث؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٨
د) ١٦

مثال ٤ — أكبر قيمة صحيحة

ضلعان ٩ و١٤. ما أكبر عدد صحيح يمكن أن يكون الضلع الثالث؟

أ) ٢١
ب) ٢٢
ج) ٢٣
د) ٢٤

٢٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مثلث متساوي الساقين، طول أحد ضلعيه ٥ وطول ضلع آخر ١١. ما محيط المثلث الممكن؟

أ) ١٦
ب) ٢١
ج) ٢٧
د) ٣٣

٢١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: قبول حالة المساواة. إذا كان مجموع الأصغرَين يساوي الأكبر، فلا يتكوّن مثلث.

الخطأ الثاني: اختبار الشروط الثلاثة بطريقة طويلة رغم أن جمع أصغر ضلعين يكفي للتحقق السريع.

الخطأ الثالث: عند إيجاد الضلع الثالث، استخدام الحد الأعلى فقط ونسيان الحد الأدنى.

الخطأ الرابع: إدخال الحدين ضمن القيم الممكنة؛ المجال مفتوح من الطرفين.

الخطأ الخامس: اعتبار مجموع الضلعين أكبر قيمة ممكنة للضلع الثالث؛ يجب أن يكون الضلع الثالث أصغر من المجموع.

الخطأ السادس: اعتبار الفرق أصغر قيمة ممكنة؛ يجب أن يكون الضلع الثالث أكبر من الفرق.

الخطأ السابع: في سؤال متساوي الساقين، اختيار الضلع المكرر دون اختبار متباينة المثلث.

٢٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: للتحقق من ثلاثة أطوال: أصغر + الأوسط > الأكبر.

التكتيك الثاني: إذا ظهر تساوٍ، استبعد فورًا.

التكتيك الثالث: للضلع الثالث استخدم مباشرة:

التكتيك الرابع: أكبر عدد صحيح = العدد السابق للحد الأعلى إذا كان الحد الأعلى صحيحًا.

التكتيك الخامس: أصغر عدد صحيح = العدد التالي للحد الأدنى إذا كان الحد الأدنى صحيحًا.

التكتيك السادس: لعد القيم الصحيحة بين حدين صحيحين مفتوحين: الأعلى − الأدنى − ١.

التكتيك السابع: إذا كان السؤال اختيارات، حدد المجال أولًا ثم استبعد كل ما يقع خارجه.

٢٣) تدريب متدرج

سؤال ١

هل الأطوال ٥، ٦، ٧ تكوّن مثلثًا؟

أ) نعم
ب) لا
ج) فقط إذا كان قائمًا
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٢

هل الأطوال ٤، ٥، ٩ تكوّن مثلثًا؟

أ) نعم
ب) لا
ج) فقط إذا كان متساوي الساقين
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٣

أي الأطوال التالية لا تكوّن مثلثًا؟

أ) ٣، ٤، ٦
ب) ٥، ٥، ٨
ج) ٧، ٩، ١٤
د) ٢، ٥، ٨

سؤال ٤

ضلعان ٧ و١٢. أي قيمة تصلح للضلع الثالث؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ١٩
د) ٢٠

سؤال ٥

ضلعان ٨ و١٥. ما أصغر عدد صحيح ممكن للضلع الثالث؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٦

ضلعان ٨ و١٥. ما أكبر عدد صحيح ممكن للضلع الثالث؟

أ) ٢١
ب) ٢٢
ج) ٢٣
د) ٢٤

سؤال ٧

ضلعان ٦ و١٠. كم عدد القيم الصحيحة الممكنة للضلع الثالث؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٨

أضلاع مثلث ٥، ٩، س+٢. أي مجال يحقق تكوين المثلث؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩

محيط مثلث ٣٠، وطولا ضلعين ٨ و١٢. ما الضلع الثالث؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ١٠

مثلث متساوي الساقين فيه ضلعان معلومان ٣ و٧. ما طول الضلع الثالث الممكن؟

أ) ٣ فقط
ب) ٧ فقط
ج) ٣ أو ٧
د) لا يمكن تكوين مثلث

سؤال ١١

أي قيمة لا يمكن أن تكون الضلع الثالث إذا كان الضلعان الآخران ١٠ و١٤؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ٢٠
د) ٢٤

سؤال ١٢

إذا كان الضلع الثالث عددًا صحيحًا، والضلعان الآخران ٤ و٩، فما مجموع أصغر وأكبر قيمة ممكنة له؟

أ) ١٢
ب) ١٣
ج) ١٧
د) ١٨

سؤال ١٣

إذا كان ضلعان ١٢ و٢٠، فما عدد القيم الصحيحة الممكنة للضلع الثالث؟

أ) ٢١
ب) ٢٢
ج) ٢٣
د) ٢٤

سؤال ١٤

ثلاثة أطوال مرتبة تصاعديًا هي ٦، ٩، س. أي شرط يكفي لتكوين مثلث؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٤) ملخص الدرس

تتحقق متباينة المثلث عندما يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الثالث. وللتحقق السريع من ثلاثة أطوال، اجمع أصغر ضلعين وقارن الناتج بأكبر ضلع.

إذا كان الضلع الثالث س والضلعان الآخران أ وب، فإن:

الحدان غير داخلين في المجال. لذلك في أسئلة الأعداد الصحيحة انتبه إلى أصغر وأكبر قيمة ممكنة وعدد القيم الواقعة بين الحدين.

وفي الأسئلة المركبة، مثل متساوي الساقين أو المحيط، استخدم الشرط الإضافي أولًا ثم اختبر متباينة المثلث للتأكد من أن الأطوال الناتجة تكوّن مثلثًا حقيقيًا.