١) مفهوم الجذر

الجذر التربيعي يبحث عن العدد الموجب أو الصفر الذي إذا ضربناه في نفسه أعطانا العدد داخل الجذر.

مثال:

لأن:

والجذر التكعيبي يبحث عن عدد إذا ضربناه في نفسه ثلاث مرات أعطانا العدد داخل الجذر.

مثال:

٢) الجذر النوني وعلاقته بالأسس

الجذر النوني هو العملية العكسية للرفع للقوة ن.

ويمكن كتابة الجذر على صورة أس كسري:

أمثلة

إذا كان هناك قوة داخل الجذر

مع مراعاة شروط الإشارة عندما يكون الجذر زوجيًا.

٣) الجذور التربيعية المشهورة

حفظ الجذور المشهورة يختصر وقتًا كبيرًا في القدرات:

، ، ، ، .

، ، ، ، .

، ، ، ، .

٤) تبسيط الجذور

لتبسيط جذر غير كامل، نبحث عن أكبر مربع كامل داخل العدد.

مثال:

مثال آخر

مثال أكبر

تكتيك قدرات

لا تبدأ بالتحليل إلى عوامل أولية إذا كان بإمكانك رؤية مربع كامل كبير مباشرة؛ مثل ٣٦ داخل ٧٢ أو ٢٥ داخل ٧٥.

٥) تبسيط الجذر الكسري

يمكن في كثير من الأسئلة اختصار الكسر أولًا قبل أخذ الجذر، وهذا أسرع.

مثال

مثال آخر

٦) قانون ضرب الجذور

للأعداد غير السالبة:

مثال

إذا وُجد معامل خارج الجذر

٧) قانون قسمة الجذور

إذا كان المقام موجبًا:

مثال

مع معاملات خارج الجذر

٨) جمع وطرح الجذور المتشابهة

يمكن جمع أو طرح الجذور إذا كان الجزء الجذري نفسه.

مثال

إذا كانت الجذور مختلفة

نبسّطها أولًا؛ فقد تصبح متشابهة.

نبسّط:

إذن:

إذا بقيت مختلفة

لا يمكن دمجها.

مثل:

٩) الفرق بين الجمع والضرب في الجذور

هذه نقطة مهمة:

لكن:

قانون دمج ما داخل الجذر يعمل في الضرب والقسمة، وليس في الجمع والطرح.

١٠) جذر العدد العشري

في الجذر التربيعي للعدد العشري، عدد المنازل العشرية في العدد الكامل المربع يكون زوجيًا، ويكون في الناتج نصف هذا العدد.

مثال

لأن:

مثال آخر

مثال ثالث

١١) الجذر التكعيبي للعدد العشري

في الجذر التكعيبي، ننظر إلى المنازل العشرية في مجموعات من ثلاثة.

مثال

لأن:

مثال آخر

١٢) الجذور الزوجية والفردية مع الأعداد السالبة

في الأعداد الحقيقية:

الجذر ذو الرتبة الزوجية لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًا.

مثل:

لا يمثل عددًا حقيقيًا.

أما الجذر ذو الرتبة الفردية فيمكن أن يكون لعدد سالب:

ملاحظة مهمة

فإذا كان س موجبًا أو صفرًا تصبح:

١٣) تقدير الجذر بين مربعين كاملين

إذا لم يكن العدد مربعًا كاملًا، احصره بين مربعين كاملين.

مثال

قدّر:

نعلم أن:

إذن:

وبما أن ٥٠ قريب جدًا من ٤٩، فالجذر قريب من ٧.

١٤) القيم التقريبية المهمة للجذور

في بعض أسئلة القدرات، خصوصًا عند الجمع أو الطرح والمقارنة، تفيد القيم التقريبية التالية:

مثال

متى أستخدم التقريب؟

استخدمه عندما تكون الخيارات متباعدة أو عندما لا تحتاج قيمة دقيقة. لا تستخدمه إذا أمكن الوصول إلى جواب دقيق بسهولة.

١٥) المقارنة بين الجذور المنفردة

إذا كان لدينا جذران تربيعيان موجبان فقط، فالعدد الأكبر داخل الجذر يعطي جذرًا أكبر.

مثال:

المقارنة بالتربيع

إذا كانت القيمتان غير سالبتين، يمكن تربيع الطرفين للتخلص من الجذر.

مثال: قارن بين:

و .

نربّع القيمتين:

إذن:

انتبه

التربيع يحافظ على ترتيب المقارنة بهذه الطريقة عندما تكون القيم التي نقارنها غير سالبة.

١٦) المقارنة بين مجموع الجذور وجذر المجموع

إذا كان أ وب موجبين، فإن:

لماذا؟

بتربيع الطرف الأيسر:

وهذا أكبر من:

مثال

بينما:

إذن الطرف الأول أكبر.

١٧) المقارنة بين فرق الجذور وجذر الفرق

إذا كان:

فإن:

مثال

خذ:

و .

الطرف الأول:

والطرف الثاني:

إذن:

١٨) التخلص من الجذر في المقام — جذر واحد

إذا كان المقام جذرًا واحدًا، نضرب البسط والمقام في الجذر نفسه.

مثال

نضرب في:

فنحصل على:

مثال أبسط

إذا أمكن تبسيط الكسر الجذري مباشرة، فهذا أسرع من الترشيد.

١٩) التخلص من الجذر في المقام باستخدام المرافق

إذا كان المقام على صورة مجموع أو فرق يحتوي جذورًا، نستخدم المرافق.

مرافق:

هو:

والعكس صحيح.

لماذا نستخدم المرافق؟

لأن:

وهذا فرق بين مربعين، فيختفي الجذر من المقام.

مثال

بسّط:

نضرب البسط والمقام في المرافق:

فنحصل على:

المقام:

إذن:

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — تبسيط

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — جمع جذور

أوجد:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — ضرب

ما قيمة:

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٨
د) ١٦

مثال ٤ — جذر عشري

ما قيمة:

أ) ٠٫٠٩
ب) ٠٫٩
ج) ٠٫٠٠٩
د) ٩

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان:

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: إخراج عدد من الجذر دون أن يكون مربعًا كاملًا.

الخطأ الثاني: كتابة:

وهذا غير صحيح عمومًا.

الخطأ الثالث: جمع جذور مختلفة قبل تبسيطها.

الخطأ الرابع: ترك الجذر في المقام عندما يطلب السؤال أبسط صورة.

الخطأ الخامس: استخدام المرافق نفسه بدل تغيير الإشارة بين الحدين.

الخطأ السادس: استخدام التقريب مع وجود طريقة دقيقة وسريعة.

الخطأ السابع: تربيع طرفي مقارنة دون التأكد أن القيمتين غير سالبتين.

الخطأ الثامن: نسيان أن الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب.

الخطأ التاسع: الخلط بين الجذر الزوجي والجذر الفردي للعدد السالب.

الخطأ العاشر: افتراض أن:

وهذا غير صحيح.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: في التبسيط ابحث عن أكبر مربع كامل داخل العدد بدل التحليل الطويل.

التكتيك الثاني: في الجذور الكسرية اختصر الكسر أولًا إذا أمكن.

التكتيك الثالث: في الجمع والطرح بسّط كل جذر أولًا؛ فقد تتحول الجذور المختلفة إلى جذور متشابهة.

التكتيك الرابع: في الضرب والقسمة يمكن غالبًا دمج ما داخل الجذور قبل الحساب.

التكتيك الخامس: في المقارنة بين قيم جذرية غير سالبة، التربيع قد يحول السؤال إلى مقارنة عددية سهلة.

التكتيك السادس: إذا لم يكن الجذر كاملًا، احصره بين مربعين كاملين قبل استخدام التقريب.

التكتيك السابع: احفظ القيم التقريبية للجذور الصغيرة المشهورة فقط؛ لا تحفظ عشرات القيم.

التكتيك الثامن: إذا كان المقام جذرًا واحدًا، اضرب في الجذر نفسه. وإذا كان مجموعًا أو فرقًا، فكّر في المرافق.

التكتيك التاسع: تذكّر أن المرافق يحول حاصل الضرب إلى فرق بين مربعين، ولذلك يزيل الجذور من المقام.

التكتيك العاشر: عند ظهور مقابل للأعداد الموجبة، فالمجموع المنفصل أكبر.

التكتيك الحادي عشر: عند ظهور مقابل مع ، فجذر الفرق أكبر.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١ — جذر مشهور

ما قيمة:

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٤

سؤال ٢ — تبسيط

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — كسر جذري

بسّط:

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٨
د) ١٦

سؤال ٤ — جمع الجذور

أوجد:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥ — تبسيط ثم جمع

أوجد:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦ — ضرب

ما قيمة:

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٤٨

سؤال ٧ — جذر عشري

ما قيمة:

أ) ٠٫٠٢
ب) ٠٫٢
ج) ٢
د) ٢٠

سؤال ٨ — جذر تكعيبي عشري

ما قيمة:

أ) ٠٫٠٣
ب) ٠٫٣
ج) ٣
د) ٣٠

سؤال ٩ — تقدير

بين أي عددين صحيحين يقع:

أ) ٦ و٧
ب) ٧ و٨
ج) ٨ و٩
د) ٩ و١٠

سؤال ١٠ — مقارنة بالتربيع

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١١ — مجموع الجذور

إذا كان أ، ب موجبين، فقارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١٢ — فرق الجذور

إذا كان:

فقارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

سؤال ١٣ — ترشيد مقام بسيط

أي صورة مكافئة لـ:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٤ — المرافق

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٥ — الجذر النوني

ما قيمة:

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٨
د) ١٦

٢٥) ملخص الدرس

الجذور ليست مجرد حساب جذر عدد؛ بل تشمل التبسيط، الجذور الكسرية، الضرب والقسمة، جمع وطرح الجذور المتشابهة، الجذور العشرية، الجذر النوني، التقريب والمقارنة.

في التبسيط ابحث عن أكبر مربع كامل، وفي الجمع والطرح بسّط أولًا، وفي الضرب والقسمة استخدم قوانين الجذور المناسبة.

للمقارنة يمكنك استخدام التربيع إذا كانت القيم غير سالبة، وتذكّر أن للأعداد الموجبة، وأن عندما .

وإذا ظهر جذر في المقام، فبسّط أولًا، ثم استخدم الجذر نفسه أو المرافق عند الحاجة.