١) مفهوم الأسس والقوى

الأس يعبّر عن عدد مرات تكرار ضرب الأساس في نفسه.

مثال:

في :

٤ هو الأساس، و٣ هو الأس.

حالتان مهمتان

لأي أس مناسب.

وإذا كان الأس موجبًا:

أما حالة فلا نستخدمها ضمن قواعد القدرات المعتادة.

٢) متى أستخدم قوانين الأسس؟

تظهر قوانين الأسس في أسئلة:

التبسيط، الضرب والقسمة، المقارنة، إيجاد قيمة تعبير، اكتشاف قيمة قوة مشهورة، جمع أو طرح قوى، والأسس المتراكبة.

قبل الحل اسأل نفسك:

هل الأساس نفسه؟ هل الأس نفسه؟ هل لدينا قوة مرفوعة لقوة؟ هل بين القوى ضرب أم قسمة أم جمع؟

٣) ضرب القوى ذات الأساس نفسه

إذا كان الأساس نفسه والعملية ضربًا، نجمع الأسس:

مثال

مثال بمتغير

٤) قسمة القوى ذات الأساس نفسه

إذا كان الأساس نفسه والعملية قسمة، نطرح أس المقام من أس البسط:

بشرط أن يكون الأساس غير صفر.

مثال

إذا كان أس المقام أكبر

٥) إذا تساوت الأسس واختلفت الأساسات

إذا كان الأس نفسه، يمكن جمع الأساسات داخل حاصل ضرب واحد:

مثال

وفي القسمة:

مثال

تكتيك مهم

إذا وجدت أساسات مختلفة لكن الأس متساوٍ، لا تحاول تحويل الأساسات إلى أساس واحد دائمًا؛ قد يكون جمعها داخل حاصل ضرب أو قسمة أسرع.

٦) قوة مرفوعة لقوة

إذا كانت قوة كاملة مرفوعة لقوة أخرى، نضرب الأسس:

مثال

٧) أس حاصل الضرب وأس الكسر

أس حاصل الضرب

مثال:

أس الكسر

مثال:

٨) الأس صفر

أي عدد غير الصفر مرفوع للأس صفر يساوي ١:

مثال:

كيف يظهر في القدرات؟

قد يظهر داخل تعبير:

٩) الأس السالب

الأس السالب لا يعني أن الناتج سالب، بل يعني أخذ المقلوب:

مثال

الأس السالب في الكسر

إذا كان الكسر كله مرفوعًا لأس سالب، نقلب الكسر ونجعل الأس موجبًا:

١٠) الأس الزوجي والفردي للعدد السالب

إذا كان الأساس سالبًا:

الأس الزوجي يعطي ناتجًا موجبًا.

الأس الفردي يعطي ناتجًا سالبًا.

انتبه إلى الأقواس

هناك فرق بين:

و:

في الثانية الأس يقع على ٢ فقط، ثم نضع الإشارة السالبة خارج القوة.

١١) الأسس المتراكبة

هذه من أكثر النقاط التي تسبب أخطاء.

الحالة الأولى: قوة كاملة مرفوعة لقوة

هنا نضرب الأسين.

الحالة الثانية: الأس نفسه مرفوع لأس

نبدأ من الأعلى:

ثم:

الخلاصة

١٢) جمع وطرح القوى ذات الأساس نفسه

إذا كانت العملية جمعًا أو طرحًا، فلا نجمع الأسس ولا نطرحها مباشرة.

مثلًا:

الطريقة الأولى: حساب القوى

الطريقة الثانية: إخراج أصغر قوة عاملًا مشتركًا

مثال على الطرح

مثال بمتغير

١٣) المقارنة بين القوى

نفس الأساس وأساس أكبر من ١

إذا كان الأساس أكبر من ١، فالأس الأكبر يعطي قيمة أكبر.

مثال:

نفس الأساس وبين صفر و١

إذا كان:

فإن زيادة الأس الموجب تصغّر القيمة:

نفس الأس وأساسات موجبة

إذا كان الأس الموجب نفسه والأساسات موجبة، فالأساس الأكبر يعطي القوة الأكبر.

مثال:

تحويل الأساسات

أحيانًا يكون الأسرع تحويل العدد إلى أساس مشهور:

و:

إذن:

١٤) قوى الأعداد المحصورة بين صفر و١

هذه فكرة مهمة وتتكرر في المقارنات.

إذا كان:

فإن:

مثال عددي

المقلوب

إذا كان:

فإن:

١٥) القوى المشهورة للحفظ

حفظ القوى المشهورة يختصر وقتًا كبيرًا في القدرات.

قوى العدد ٢

، ، ، ، ، ، ، ، .

قوى العدد ٣

، ، ، .

قوى العدد ٥

، ، ، .

قوى ومربعات مهمة أخرى

، ، ، ، ، ، ، ، ، .

، ، ، ، ، .

١٦) نمط تربيع الأعداد المكوّنة من ٩

هذه حركة تفيد في بعض أسئلة الأنماط والحساب السريع.

مجموع أرقام المربع

إذا كان العدد مكوّنًا من ن أرقام كلها ٩، فإن مجموع أرقام مربعه يساوي:

مثال

مجموع الأرقام:

وهو:

١٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — نفس الأساس

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — نفس الأس

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — أس سالب

ما قيمة:

أ) -٩
ب)
ج)
د) ٩

مثال ٤ — أس متراكب

ما قيمة:

أ) ٦٤
ب) ١٢٨
ج) ٢٥٦
د) ٥١٢

١٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

إذا كان:

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

١٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: ضرب الأسس عند ضرب نفس الأساس.
الصحيح أن نجمع الأسس.

الخطأ الثاني: جمع الأسس عند رفع قوة لقوة.
الصحيح أن نضرب الأسس.

الخطأ الثالث: جمع الأسس لمجرد أن الأساسات متساوية مع وجود علامة جمع.
قاعدة جمع الأسس تعمل في الضرب لا في الجمع.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن الأس السالب يجعل الناتج سالبًا.
الأس السالب يعني المقلوب.

الخطأ الخامس: الخلط بين الأس السالب والأساس السالب.

الخطأ السادس: إهمال الأقواس في الأساس السالب.

الخطأ السابع: في الأسس المتراكبة، ضرب الأسس رغم عدم وجود قوس حول القوة كاملة.

الخطأ الثامن: عند تساوي الأسس واختلاف الأساسات، تجاهل إمكانية جمع الأساسات في حاصل ضرب أو كسر واحد.

الخطأ التاسع: افتراض أن زيادة الأس تزيد القيمة دائمًا.
هذا غير صحيح عندما يكون الأساس بين صفر و١.

٢٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حدّد أولًا ما الذي تساوى: الأساس أم الأس؟ هذا يحدد القانون المناسب.

التكتيك الثاني: نفس الأساس + ضرب ← اجمع الأسس.

التكتيك الثالث: نفس الأساس + قسمة ← اطرح الأسس.

التكتيك الرابع: نفس الأس + ضرب أو قسمة ← اجمع الأساسات داخل قوة واحدة إذا كان ذلك أسهل.

التكتيك الخامس: قوة مرفوعة لقوة داخل قوس ← اضرب الأسس.

التكتيك السادس: أس متراكب من دون قوس حول القوة كاملة ← ابدأ من أعلى أس.

التكتيك السابع: في جمع أو طرح قوى من الأساس نفسه، جرّب إخراج أصغر قوة عاملًا مشتركًا.

التكتيك الثامن: إذا كان الأساس بين صفر و١، اعكس حدسك المعتاد: الأس الأكبر يعطي قيمة أصغر.

التكتيك التاسع: في المقارنة، حاول توحيد الأساس أو توحيد الأس قبل حساب القيم الكبيرة.

التكتيك العاشر: احفظ القوى المشهورة كسلاسل، لا كقيم منفصلة.

التكتيك الحادي عشر: في نمط الأعداد المكوّنة من ٩، استخدم القاعدة المحفوظة بدل تربيع العدد الطويل إذا كان السؤال عن مجموع أرقام المربع.

٢١) تدريب متدرج

سؤال ١ — مفهوم الأس

ما قيمة:

أ) ١٢
ب) ٢٧
ج) ٦٤
د) ٨١

سؤال ٢ — ضرب نفس الأساس

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — نفس الأس واختلاف الأساس

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤ — القسمة

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د) ١

سؤال ٥ — الأس السالب

ما قيمة:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦ — إشارة القوة

أي القيم التالية سالبة؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧ — الأسس المتراكبة

ما قيمة:

أ) ٣٦
ب) ٨١
ج) ٢٤٣
د) ٧٢٩

سؤال ٨ — جمع القوى

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩ — أساس بين صفر و١

إذا كان:

فأيها أكبر؟

أ)
ب)
ج)
د) جميعها متساوية

سؤال ١٠ — القوى المشهورة

إذا كان:

فإن س =

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١١ — نمط التسعات

إذا كان العدد ٩٩٩٩، فما مجموع أرقام مربعه؟

أ) ٢٧
ب) ٣٦
ج) ٤٥
د) ٨١

سؤال ١٢ — مقارنة بعد توحيد الأساس

قارن بين:

القيمة الأولى:
القيمة الثانية:

أ) القيمة الأولى أكبر
ب) القيمة الثانية أكبر
ج) القيمتان متساويتان
د) المعطيات غير كافية

٢٢) ملخص الدرس

ابدأ دائمًا بتحديد العلاقة بين القوى. إذا تساوى الأساس: في الضرب نجمع الأسس، وفي القسمة نطرحها. وإذا تساوى الأس واختلفت الأساسات، يمكن دمج الأساسات في حاصل ضرب أو قسمة واحد.

قوة مرفوعة لقوة تعني ضرب الأسس، والأس صفر يساوي ١ للأساس غير الصفري، والأس السالب يعني المقلوب. وإذا كان الأساس سالبًا فزوجية الأس أو فرديته تحدد الإشارة.

في جمع أو طرح القوى لا تطبق قوانين الضرب والقسمة؛ احسب القوى أو أخرج أصغر قوة عاملًا مشتركًا. وفي المقارنات تذكّر أن زيادة الأس تكبّر القوة إذا كان الأساس أكبر من ١، لكنها تصغّرها إذا كان الأساس بين صفر و١.

احفظ القوى المشهورة، وانتبه للأسس المتراكبة، واستخدم نمط التسعات عندما يظهر في سؤال مناسب.