١) الفكرة الأساسية

قسمة الكسور لا تتم بقسمة البسط على البسط والمقام على المقام.

القاعدة الصحيحة هي:

نثبت الكسر الأول.
نحوّل علامة القسمة إلى ضرب.
نقلب الكسر الثاني فقط.
ثم نضرب الكسور كالمعتاد.

مثال:

نثبت الكسر الأول:

نحوّل القسمة إلى ضرب:

نقلب الكسر الثاني:

إذن:

٢) متى أستخدم قسمة الكسور الاعتيادية؟

استخدمها عندما يظهر في السؤال:

قسمة كسر على كسر.
قسمة عدد صحيح على كسر.
قسمة كسر على عدد صحيح.
أسئلة التوزيع على أجزاء متساوية.
أسئلة: كم جزءًا من نوع معين يوجد في كمية معينة؟

كلمات مهمة: قسمة، نصيب، كم مرة، كم قطعة، كم جزءًا، وزّع، لكل، من كل

٣) لماذا نقلب الكسر الثاني؟

عندما نقسم على كسر، فنحن نسأل: كم مرة يوجد هذا الكسر في العدد؟

مثال:

السؤال يعني: كم نصفًا يوجد في الواحد؟

الجواب: يوجد نصفان.

إذن:

وبالقاعدة:

٤) قسمة كسر على كسر

مثال:

نثبت الأول:

نحوّل القسمة إلى ضرب ونقلب الثاني:

نضرب:

ويمكن كتابتها:

٥) قسمة كسر على عدد صحيح

إذا قسمنا كسرًا على عدد صحيح، نكتب العدد الصحيح على مقام ١، ثم نقلبه.

مثال:

نكتب:

إذن:

نحوّل القسمة إلى ضرب ونقلب الثاني:

٦) قسمة عدد صحيح على كسر

إذا قسمنا عددًا صحيحًا على كسر، نكتب العدد الصحيح على مقام ١، ثم نقلب الكسر الثاني.

مثال:

نكتب:

ثم:

نحوّل القسمة إلى ضرب ونقلب الثاني:

نختصر ٦ مع ٣:

إذن:

الناتج:

٨

٧) التبسيط قبل الضرب

بعد قلب الكسر الثاني، يمكن التبسيط قبل الضرب لتسهيل الحساب.

مثال:

نحوّل القسمة إلى ضرب ونقلب الثاني:

نختصر ٥ مع ١٠:

ونختصر ٩ مع ٦:

تصبح:

٨) قسمة الكسور المختلطة

إذا كان في المسألة كسر مختلط، نحوله أولًا إلى كسر غير فعلي، ثم نطبق قاعدة القسمة.

مثال:

نحوّل:

إذن:

نحول القسمة إلى ضرب ونقلب الثاني:

نختصر ٣ مع ٣:

إذن الناتج:

٢

٩) قسمة الكسور المركبة

قد تأتي القسمة في صورة كسر كبير يحتوي في بسطه أو مقامه على كسر آخر.

مثل:

٥٢​٤٣​​

هذا الشكل يعني ببساطة:

٤٣​÷٥٢​

ثم نستخدم قاعدة قسمة الكسور المعتادة:

نثبت الكسر الأول، ونحوّل القسمة إلى ضرب، ونقلب الكسر الثاني.

إذن:

٤٣​÷٥٢​=٤٣​×٢٥​=٨١٥​

قاعدة سريعة

إذا كان لدينا:

دج​بأ​​

فإن:

دج​بأ​​=بأ​×جد​

أي:

الكسر العلوي ÷ الكسر السفلي

ثم:

اقلب الكسر السفلي واضرب.

مثال

أوجد:

٨١​٢١​​

نحوّل الشكل إلى:

٢١​÷٨١​

ثم نقلب الكسر الثاني:

٢١​×١٨​

نختصر:

=٤

إذن:

الإجابة = ٤

مثال آخر

أوجد:

٥٢​٣​

نكتب ٣ على صورة كسر:

١٣​

ثم:

١٣​÷٥٢​=١٣​×٢٥​=٢١٥​

تكتيك سريع

عندما ترى خط كسر فوق خط كسر آخر، لا تجعل شكل السؤال يربكك.

اقرأ الخط الكبير على أنه:

÷

أي:

ما فوق الخط الكبير ÷ ما تحته

ثم طبّق قاعدة قسمة الكسور المعتادة.

انتبه

في القسمة:

نقلب الكسر الذي نقسم عليه فقط.

ولا نقلب الكسرين معًا.

١٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

أوجد ناتج:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢

أوجد ناتج:

أ)
ب)
ج) ٢
د)

مثال ٣

أوجد ناتج:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤

أوجد ناتج:

أ)
ب) ٦
ج)
د)

١١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

لدى طالب لتر من العصير، ويريد توزيعه في أكواب، سعة كل كوب لتر. كم كوبًا يستطيع ملؤه؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

١٢) مثال مهم: القسمة على نصف

أوجد ناتج:

أ)
ب) ٥
ج) ١٠
د)

١٣) مثال مهم: قسمة كسرين ينتج عنها عدد صحيح

أوجد ناتج:

أ) ٢
ب)
ج)
د)

١٤) مثال مهم: قسمة كسر مختلط

أوجد ناتج:

أ) ٢
ب)
ج)
د)

١٥) إيجاد المقدار الأصلي من الجزء المتبقي

أحيانًا يخبرك السؤال أن شخصًا أنفق أو استهلك جزءًا من ماله، ثم جزءًا آخر، ويعطيك المبلغ المتبقي ويطلب معرفة المبلغ الأصلي.

الفكرة الأساسية:

أولًا نعرف ما الكسر الذي بقي من الأصل، ثم نستخدمه لإيجاد المقدار الأصلي.

الحالة البسيطة

إذا بقي:

٤١​

من مبلغ، وكان هذا الربع يساوي ٥٠ ريالًا، فإن:

المبلغ الأصلي=٥٠÷٤١​

أي:

٥٠×٤=٢٠٠

إذن:

المبلغ الأصلي = ٢٠٠ ريال

عندما تكون العمليات متتابعة

انتبه إلى عبارات مثل:

«أنفق نصف ماله، ثم أنفق ثلث الباقي»

هنا الكسر الثاني مأخوذ من الباقي وليس من المبلغ الأصلي.

مثال:

أنفق شخص نصف ماله، ثم أنفق ثلث الباقي، فبقي معه ٦٠ ريالًا. كم كان معه في البداية؟

بعد إنفاق النصف يبقى:

٢١​

ثم أنفق ثلث الباقي، أي بقي من الباقي:

١−٣١​=٣٢​

إذن الجزء المتبقي من المبلغ الأصلي:

٢١​×٣٢​=٣١​

أي أن:

٦٠ ريالًا = ثلث المبلغ الأصلي

إذن:

٦٠÷٣١​=١٨٠

المبلغ الأصلي = ١٨٠ ريالًا

قاعدة عامة

إذا عرفت أن:

الكسر المتبقي من الأصل = ك

وأن:

القيمة المتبقية = م

فإن:

القيمة الأصلية=م÷ك

إذا كانت هناك عدة مراحل

إذا كان في كل مرحلة يُؤخذ جزء من المتبقي:

١. أوجد الكسر الذي يبقى بعد كل مرحلة.
٢. اضرب الكسور المتبقية في بعضها.
٣. الناتج هو الكسر النهائي المتبقي من الأصل.
٤. اقسم القيمة المتبقية على هذا الكسر لإيجاد الأصل.

انتبه: «من الأصل» أم «من الباقي»؟

هذه أهم نقطة في السؤال.

إذا قال:

أنفق ٢١​ ماله ثم ٣١​ من الباقي

فنحن لا نجمع:

٢١​+٣١​

لأن الثلث ليس ثلث المبلغ الأصلي، بل ثلث ما بقي بعد المرحلة الأولى.

تكتيك سريع

إذا أعطاك السؤال الباقي النهائي وطلب الأصل، ففكر بالعكس:

ما الكسر الذي يمثله هذا الباقي من الأصل؟

ثم:

الأصل = الباقي ÷ كسر الباقي

١٦) إيجاد الكسر المتبقي من الأصل

إذا كانت عدة أجزاء مأخوذة كلها من المقدار الأصلي نفسه، فإننا نجمع هذه الكسور أولًا، ثم نطرح مجموعها من الواحد الصحيح.

القاعدة:

الكسر المتبقي = ١ − مجموع الكسور المأخوذة

مثال

صُرف:

٤١​

من المال، وصُرف أيضًا:

٣١​

من المال نفسه.

ما الكسر المتبقي؟

نجمع ما صُرف:

٤١​+٣١​

نوحّد المقامات:

١٢٣​+١٢٤​=١٢٧​

إذن المتبقي:

١−١٢٧​=١٢٥​

الكسر المتبقي = ١٢٥​

مثال آخر

صُرف من رأس المال:

٤١​

و:

٣١​

فكم بقي؟

مجموع المصروف:

٤١​+٣١​=١٢٣​+١٢٤​=١٢٧​

إذن:

المتبقي=١−١٢٧​=١٢٥​

الفرق المهم جدًا: من الأصل أم من المتبقي؟

إذا قال السؤال:

صرف ٤١​ من المال و٣١​ من المال

فالكسران من الأصل نفسه.

إذن:

نجمعهما.

أما إذا قال:

صرف ٤١​ من المال، ثم صرف ٣١​ من الباقي

فهنا لا نجمع الكسرين مباشرة.

لأن الكسر الثاني مأخوذ من الباقي وليس من الأصل.

مثال للمقارنة

الحالة الأولى:

صرف:

٢١​

من الأصل، ثم:

٤١​

من الأصل.

المجموع المصروف:

٢١​+٤١​=٤٣​

المتبقي:

٤١​

أما إذا صرف:

٢١​

ثم صرف:

٤١​

من الباقي

فبعد المرحلة الأولى يبقى:

٢١​

ويبقى بعد المرحلة الثانية:

٤٣​

من هذا الباقي.

إذن المتبقي من الأصل:

٢١​×٤٣​=٨٣​

لاحظ:

٤١​ ≠ ٨٣​

والسبب هو اختلاف معنى السؤال.

تكتيك سريع

قبل أن تجمع أي كسور في مسألة لفظية، اسأل:

هل كل الكسور مأخوذة من الأصل نفسه؟

إذا نعم:

اجمع الكسور ثم اطرح من ١.

إذا لا، وكان أحدها مأخوذًا من المتبقي:

استخدم الضرب بين نسب الباقي.

١٧) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: قلب الكسر الأول بدل الثاني.
في القسمة نثبت الكسر الأول ونقلب الكسر الثاني فقط.

الخطأ الثاني: نسيان تحويل القسمة إلى ضرب.
لا يكفي قلب الكسر الثاني، بل يجب أن تتحول العملية إلى ضرب.

الخطأ الثالث: قسمة البسط على البسط والمقام على المقام.
هذه ليست قاعدة صحيحة عامة لقسمة الكسور.

الخطأ الرابع: نسيان تحويل العدد الصحيح إلى كسر.
العدد الصحيح مثل ٤ يكتب .

الخطأ الخامس: نسيان تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي قبل القسمة.

١٨) حيل سريعة

الحيلة الأولى: في قسمة الكسور: ثبّت، غيّر، اقلب.

أي: ثبّت الكسر الأول، غيّر القسمة إلى ضرب، اقلب الكسر الثاني.

الحيلة الثانية: لا تقلب الكسرين معًا.

الحيلة الثالثة: إذا قسمت على ، فأنت تضرب في ٢.

الحيلة الرابعة: بعد قلب الكسر الثاني، بسّط قبل الضرب إن استطعت.

الحيلة الخامسة: في المسائل اللفظية، عبارة "كم مرة يوجد" غالبًا تعني قسمة.

١٩) تدريب سريع

سؤال ١

أوجد ناتج:

أ)
ب) ١
ج) ٢
د) ٤

سؤال ٢

أوجد ناتج:

أ)
ب)
ج) ٢
د)

سؤال ٣

أوجد ناتج:

أ) ١
ب) ٣
ج) ٦
د) ٩

سؤال ٤

أوجد الناتج في أبسط صورة:

أ)
ب)
ج)
د)

٢٠) ملخص الدرس

قسمة الكسور الاعتيادية تعتمد على قاعدة ثابتة: نثبت الكسر الأول، ونحوّل القسمة إلى ضرب، ونقلب الكسر الثاني فقط، ثم نضرب ونبسّط. عند قسمة عدد صحيح على كسر، نكتب العدد الصحيح على مقام ١. وعند وجود كسر مختلط، نحوله أولًا إلى كسر غير فعلي. أهم خطأ يجب تجنبه هو قلب الكسر الأول أو قسمة البسط على البسط والمقام على المقام.