دليل منهج اختبار القدرات
قانون عدد المصافحات
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
إذا صافح كل شخص كل شخص آخر مرة واحدة، فإننا نعد كل زوج من الأشخاص مرة واحدة فقط؛ لذلك عدد المصافحات بين ن أشخاص = ن(ن−١)÷٢. وينطبق المبدأ نفسه على كل علاقة ثنائية غير مرتبة مثل مباراة واحدة بين كل فريقين.
مثال
بين ٥ أشخاص يكون عدد المصافحات = ٥×٤÷٢ = ١٠ مصافحات.
الشرح المفصّل
١) الفكرة الأساسية
المصافحة تحدث بين شخصين.
مصافحة أحمد لخالد هي نفسها مصافحة خالد لأحمد، لذلك لا نعدها مرتين.
إذا كان لدينا ٣ أشخاص، فالمصافحات هي:
الأول مع الثاني.
الأول مع الثالث.
الثاني مع الثالث.
إذن العدد = ٣ مصافحات.
٢) القانون الأساسي
إذا كان عدد الأشخاص ن، وصافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة:
وهذا هو نفسه:
لأننا نختار شخصين من ن دون اعتبار للترتيب.
٣) لماذا نستخدم ن−١؟
كل شخص يمكنه مصافحة جميع الأشخاص الآخرين، لكنه لا يصافح نفسه.
إذن لكل شخص:
شخصًا آخر ممكنًا.
٤) لماذا نقسم على ٢؟
لو حسبنا:
فسنحسب كل مصافحة مرتين:
أحمد مع خالد.
وخالد مع أحمد.
وهما المصافحة نفسها، لذلك نقسم على ٢.
٥) طريقة الجمع بدل القانون
يمكن عد المصافحات تدريجيًا:
الشخص الأول يصافح ن−١ شخصًا.
الثاني يصافح ن−٢ شخصين جديدين.
ثم ن−٣، وهكذا حتى ١.
إذن:
مثال
٧ أشخاص:
٦) العلاقة مع مجموع الأعداد
قانون مجموع الأعداد من ١ إلى ك هو:
بوضع:
نحصل على:
ولهذا يظهر قانون المصافحات في صورة عدد مثلثي.
٧) مثال مباشر
في اجتماع حضره ٨ أشخاص، صافح كل شخص الجميع مرة واحدة.
إذن عدد المصافحات = ٢٨.
٨) إيجاد عدد الأشخاص من عدد المصافحات
قد يعطيك السؤال عدد المصافحات ويطلب عدد الأشخاص.
نستخدم:
ثم نبحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما ضعف عدد المصافحات.
مثال
عدد المصافحات = ٣٦.
نضرب في ٢:
نبحث عن عددين متتاليين:
إذن عدد الأشخاص = ٩.
٩) قيم سريعة مفيدة
٤ أشخاص ← ٦ مصافحات.
٥ أشخاص ← ١٠ مصافحات.
٦ أشخاص ← ١٥ مصافحة.
٧ أشخاص ← ٢١ مصافحة.
٨ أشخاص ← ٢٨ مصافحة.
٩ أشخاص ← ٣٦ مصافحة.
١٠ أشخاص ← ٤٥ مصافحة.
هذه القيم تساعد كثيرًا في الأسئلة العكسية.
١٠) شخص جديد ينضم إلى المجموعة
إذا كان لدينا ن أشخاص ثم انضم شخص جديد وصافح الجميع، فإنه يضيف ن مصافحات جديدة فقط.
إذن:
مثال
مجموعة من ٧ أشخاص فيها ٢١ مصافحة. انضم شخص ثامن وصافح الجميع.
يضيف ٧ مصافحات:
١١) زيادة عدد الأشخاص بأكثر من شخص
إذا زاد العدد من ن إلى ن+ك، يمكن حساب الفرق بين القانونين.
مثال
زاد عدد الحاضرين من ٦ إلى ٨.
عند ٦:
عند ٨:
الزيادة:
١٢) إذا لم يصافح شخص أحدًا
إذا كان في المكان ن أشخاص، لكن شخصًا واحدًا لم يصافح أي شخص، فإن المصافحات تحدث فقط بين ن−١ شخصًا.
مثال
٨ أشخاص، لكن واحدًا منهم لم يصافح أحدًا:
١٣) إذا استُثنيت مصافحة واحدة
إذا صافح الجميع الجميع مرة واحدة ما عدا شخصين لم يتصافحا معًا، نحسب العدد الكامل ثم نطرح ١.
مثال
٧ أشخاص، وكل شخص صافح الجميع إلا زوجًا واحدًا لم تحدث بينهما مصافحة:
١٤) إذا استُثني عدد معلوم من الأزواج
إذا كان هناك ك أزواج محددة لم تتصافح، وكل زوج مختلف عن الآخر كعلاقة، فإن:
المهم أن يكون ك هو عدد العلاقات المستبعدة، لا عدد الأشخاص المستبعدين.
١٥) مجموعتان تتصافحان فيما بينهما فقط
إذا كان لدينا مجموعة فيها أ أشخاص ومجموعة أخرى فيها ب أشخاص، وصافح كل شخص من المجموعة الأولى كل شخص من الثانية مرة واحدة، دون مصافحات داخل المجموعة نفسها:
مثال
٤ طلاب صافح كل واحد منهم ٦ معلمين مرة واحدة:
١٦) لا تستخدم قانون المصافحات في الحالة السابقة
قانون:
يستخدم عندما يتفاعل كل عنصر مع جميع العناصر الأخرى داخل مجموعة واحدة.
أما إذا كانت العلاقات فقط بين مجموعتين مختلفتين، فنستخدم الضرب.
١٧) المصافحات والمباريات
القانون نفسه يستخدم في بطولة يلعب فيها كل فريق مع كل فريق آخر مباراة واحدة:
مثال
٨ فرق، كل فريق يلعب مع كل فريق آخر مرة واحدة:
١٨) مباريات الذهاب والإياب
إذا لعب كل فريق مع كل فريق آخر مرتين، نضرب عدد الأزواج في ٢:
مثال
٧ فرق تلعب ذهابًا وإيابًا:
١٩) إذا التقى كل زوج أكثر من مرتين
إذا حدثت العلاقة نفسها ر مرات بين كل زوج:
مثال
٥ فرق، كل فريق يلعب مع كل فريق آخر ٣ مباريات:
٢٠) المصافحة مقابل الرسائل ذات الاتجاه
في المصافحة لا يهم الاتجاه:
أ مع ب = ب مع أ.
لكن في رسالة مرسلة، رسالة أ إلى ب تختلف عن رسالة ب إلى أ.
إذا أرسل كل شخص رسالة واحدة لكل شخص آخر:
٢١) مثال يوضح الفرق
٦ أشخاص:
المصافحات:
الرسائل إذا أرسل كل واحد إلى كل شخص آخر:
الفرق سببه أن الرسائل هنا لها اتجاه، أما المصافحة فلا.
٢٢) متى أقسم على ٢؟
اسأل نفسك:
هل علاقة أ مع ب هي نفسها علاقة ب مع أ؟
إذا كانت نعم، نعد الأزواج مرة واحدة وغالبًا يظهر القسمة على ٢.
إذا كانت لا، فلا نقسم على ٢.
٢٣) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١ — مصافحات مباشرة
في مجلس ٩ أشخاص، صافح كل شخص الآخرين مرة واحدة. كم مصافحة حدثت؟
أ) ٢٨
ب) ٣٦
ج) ٤٥
د) ٧٢
الإجابة الصحيحة: ب.
مثال ٢ — عكس القانون
حدثت ٤٥ مصافحة، وصافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة. كم عدد الأشخاص؟
أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١
إذن عدد الأشخاص = ١٠.
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٣ — مجموعتان
٥ موظفين صافح كل واحد منهم ٤ ضيوف مرة واحدة، ولم تحدث مصافحات أخرى. كم مصافحة حدثت؟
أ) ٩
ب) ١٠
ج) ٢٠
د) ٣٦
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٤ — ذهاب وإياب
بطولة فيها ٦ فرق، وكل فريق يلعب مع كل فريق آخر ذهابًا وإيابًا. كم مباراة؟
أ) ١٥
ب) ٢٤
ج) ٣٠
د) ٣٦
الإجابة الصحيحة: ج.
٢٤) سؤال قدرات بصيغة أذكى
كان في اجتماع ٧ أشخاص، وصافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة. ثم حضر شخص جديد وصافح الجميع. كم أصبح عدد المصافحات الكلي؟
أ) ٢١
ب) ٢٧
ج) ٢٨
د) ٣٥
بين الأشخاص السبعة:
الشخص الجديد يصافح السبعة:
الإجابة الصحيحة: ج.
٢٥) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: استخدام في المصافحات دون القسمة على ٢.
الخطأ الثاني: جعل الشخص يصافح نفسه، فيستخدم ن بدل ن−١.
الخطأ الثالث: الخلط بين علاقة غير موجهة مثل المصافحة، وعلاقة موجهة مثل إرسال الرسائل.
الخطأ الرابع: استخدام قانون المصافحات بين مجموعتين منفصلتين بدل ضرب عددي المجموعتين.
الخطأ الخامس: في البطولات، نسيان هل كل فريق يلعب مرة واحدة أم ذهابًا وإيابًا.
الخطأ السادس: عند إعطاء عدد المصافحات، قسمة العدد على شيء عشوائي بدل البحث عن عددين متتاليين حاصل ضربهما ضعف العدد.
الخطأ السابع: إذا لم يصافح شخص أحدًا، طرح عدد واحد فقط؛ الصحيح إزالة جميع العلاقات المرتبطة بذلك الشخص.
٢٦) تكتيكات القدرات
التكتيك الأول: كل شخص مع كل شخص مرة واحدة ← .
التكتيك الثاني: إذا كان عدد المصافحات معلومًا، اضربه في ٢ ثم ابحث عن عددين متتاليين.
التكتيك الثالث: شخص جديد ينضم ويصافح الجميع ← يضيف عددًا من المصافحات يساوي عدد الموجودين قبله.
التكتيك الرابع: مجموعتان تتفاعلان فقط فيما بينهما ← اضرب عددي المجموعتين.
التكتيك الخامس: ذهاب وإياب ← عدد الأزواج × ٢.
التكتيك السادس: علاقة لها اتجاه مثل الرسائل ← لا تقسم على ٢.
التكتيك السابع: أزواج مستثناة ← احسب الكل ثم اطرح عدد العلاقات المستثناة.
٢٧) تدريب متدرج
سؤال ١
كم عدد المصافحات بين ٥ أشخاص إذا صافح كل شخص الآخرين مرة واحدة؟
أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠
الإجابة: ب) ١٠.
سؤال ٢
كم عدد المصافحات بين ٩ أشخاص؟
أ) ٢٧
ب) ٣٦
ج) ٤٥
د) ٧٢
الإجابة: ب) ٣٦.
سؤال ٣
إذا كان عدد المصافحات ٢١، فكم عدد الأشخاص؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
الإجابة: ب.
سؤال ٤
إذا كان عدد المصافحات ٦٦، فكم عدد الأشخاص؟
أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٤
الإجابة: ب.
سؤال ٥
كان في مجلس ٦ أشخاص ثم انضم شخص جديد وصافح الجميع. كم مصافحة جديدة أضافها؟
أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٢١
الإجابة: ب) ٦.
سؤال ٦
كان في اجتماع ٦ أشخاص ثم أصبح العدد ٨، وصافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة. كم زاد عدد المصافحات؟
أ) ٧
ب) ١١
ج) ١٣
د) ٢٨
الإجابة: ج.
سؤال ٧
٨ أشخاص في مجلس، لكن شخصًا واحدًا لم يصافح أحدًا. أما السبعة الآخرون فتصافحوا جميعًا مرة واحدة. كم مصافحة حدثت؟
أ) ١٥
ب) ٢١
ج) ٢٧
د) ٢٨
الإجابة: ب.
سؤال ٨
٧ أشخاص صافح كل منهم الجميع مرة واحدة، عدا زوج واحد لم يتصافح. كم مصافحة حدثت؟
أ) ١٩
ب) ٢٠
ج) ٢١
د) ٢٢
الإجابة: ب.
سؤال ٩
٤ طلاب صافح كل واحد منهم ٧ معلمين، ولم يتصافح الطلاب فيما بينهم ولا المعلمون فيما بينهم. كم مصافحة حدثت؟
أ) ١١
ب) ٢١
ج) ٢٨
د) ٤٢
الإجابة: ج.
سؤال ١٠
بطولة فيها ٦ فرق، لعب كل فريق مع كل فريق آخر مرة واحدة. كم مباراة؟
أ) ١٢
ب) ١٥
ج) ٢٤
د) ٣٠
الإجابة: ب.
سؤال ١١
بطولة فيها ٨ فرق، كل فريق يلعب مع كل فريق آخر ذهابًا وإيابًا. كم مباراة؟
أ) ٢٨
ب) ٤٨
ج) ٥٦
د) ٦٤
الإجابة: ج.
سؤال ١٢
٥ فرق، كل فريق يلعب مع كل فريق آخر ٣ مرات. كم مباراة؟
أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٣٠
د) ٦٠
الإجابة: ج.
سؤال ١٣
٧ أشخاص، أرسل كل شخص رسالة واحدة إلى كل شخص آخر. كم رسالة أُرسلت؟
أ) ٢١
ب) ٣٥
ج) ٤٢
د) ٤٩
الإجابة: ج.
سؤال ١٤
في اجتماع كان عدد المصافحات ٤٥، ثم انضم شخص واحد جديد وصافح جميع الموجودين. كم أصبح العدد الكلي للمصافحات؟
أ) ٥٠
ب) ٥٤
ج) ٥٥
د) ٦٠
٤٥ مصافحة تعني أن عدد الأشخاص كان ١٠ لأن:
الشخص الجديد يضيف ١٠ مصافحات:
الإجابة: ج.
٢٨) ملخص الدرس
إذا صافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة:
وينطبق المبدأ نفسه على مباراة واحدة بين كل فريقين أو أي علاقة ثنائية غير موجهة.
إذا انضم شخص جديد، فإنه يضيف عددًا من المصافحات يساوي عدد الأشخاص الموجودين قبله.
إذا كانت العلاقات فقط بين مجموعتين مختلفتين، نضرب عددي المجموعتين.
أما إذا كانت العلاقة ذات اتجاه، مثل رسالة من شخص إلى آخر، فلا نقسم على ٢.