١) الفكرة الأساسية

عندما يسأل السؤال عن عدد المستطيلات في شبكة، فلا نقصد الخانات الصغيرة فقط.

قد يكون المستطيل:

خانة واحدة.

أو مستطيلًا مكوّنًا من خانتين أو أكثر.

أو مستطيلًا كبيرًا يشمل معظم الشبكة أو كلها.

٢) لماذا لا يكفي ضرب الصفوف في الأعمدة؟

ضرب عدد الصفوف في عدد الأعمدة يعطي عدد الخانات الصغيرة فقط.

مثال

في شبكة ٢×٣:

هذه ٦ مستطيلات صغيرة فقط، لكن توجد مستطيلات أكبر أيضًا؛ والعدد الكلي هو ١٨.

٣) الطريقة الأولى: المقاطع الأفقية × المقاطع الرأسية

هذه طريقة سريعة ومناسبة لفهم الفكرة.

في اتجاه الأعمدة، عدد المقاطع الممكنة يساوي:

وفي اتجاه الصفوف:

ثم نضرب الناتجين.

٤) القانون الأساسي

إذا كانت الشبكة مكوّنة من م صفوف ون أعمدة:

مثال

شبكة ٢×٣:

٥) الطريقة الثانية: اختيار الخطوط

أي مستطيل يحتاج إلى:

خطين أفقيين يحددان أعلى المستطيل وأسفله.

وخطين رأسيين يحددان يمينه ويساره.

إذا كانت الشبكة م صفوف، فعدد الخطوط الأفقية = م + ١.

وإذا كانت ن أعمدة، فعدد الخطوط الرأسية = ن + ١.

٦) القانون باستخدام اختيار الخطوط

عدد طرق اختيار خطين أفقيين:

وعدد طرق اختيار خطين رأسيين:

إذن:

وهذا مكافئ تمامًا للقانون السابق.

٧) الفرق بين عدد الخانات وعدد الخطوط

هذه من أكثر نقاط الخطأ شيوعًا.

إذا كان لديك ٣ أعمدة، فعدد الخطوط الرأسية = ٤.

وإذا كان لديك صفان، فعدد الخطوط الأفقية = ٣.

الخطوط دائمًا أكثر من الخانات بواحد في الاتجاه نفسه.

٨) إذا أعطاك السؤال عدد الخطوط مباشرة

لا تحوّله إلى صفوف وأعمدة إلا إذا احتجت.

مثال

شكل فيه ٥ خطوط رأسية و٤ خطوط أفقية.

عدد طرق اختيار خطين رأسيين:

عدد طرق اختيار خطين أفقيين:

إذن:

٩) طريقة الجمع حسب العرض والطول

يمكن أيضًا عد المستطيلات بحسب أبعادها.

مثال: شبكة ٢×٣

مستطيلات ١×١:

مستطيلات ١×٢:

مستطيلات ١×٣:

مستطيلات ٢×١:

مستطيلات ٢×٢:

مستطيلات ٢×٣:

المجموع:

١٠) عدد المستطيلات ذات حجم محدد

في شبكة م×ن، عدد المستطيلات التي أبعادها أ صفوف × ب أعمدة:

بشرط أن يكون أ ≤ م وب ≤ ن.

مثال

في شبكة ٤×٥، كم مستطيلًا أبعاده ٢×٣؟

١١) إذا سمح بتدوير الأبعاد

إذا قال السؤال: مستطيل أبعاده ٢×٣ بغض النظر عن اتجاهه، فقد نحتاج إلى عد ٢×٣ و٣×٢ معًا.

مثال

في شبكة ٤×٥:

عدد ٢×٣:

عدد ٣×٢:

المجموع:

أما إذا حدد السؤال الاتجاه صراحةً، فلا تجمع الحالتين.

١٢) شبكة من صف واحد

إذا كان لدينا صف واحد ون أعمدة، فإن عدد المستطيلات:

مثال

شبكة ١×٥:

١٣) شبكة من عمود واحد

بالطريقة نفسها، إذا كان لدينا م صفوف وعمود واحد:

١٤) الشبكة المربعة

إذا كانت الشبكة ن×ن:

مثال

شبكة ٣×٣:

١٥) هل المربع يُحسب مستطيلًا؟

نعم. في الهندسة، كل مربع مستطيل لأنه يحقق شروط المستطيل.

لذلك عندما يقول السؤال «عدد المستطيلات» دون استثناء، فإن المربعات تدخل ضمن العدد.

إذا قال «المستطيلات غير المربعة»، نطرح عدد المربعات من العدد الكلي للمستطيلات.

١٦) مثال على المستطيلات غير المربعة

في شبكة ٢×٢:

عدد جميع المستطيلات:

عدد المربعات = ٥.

إذن المستطيلات غير المربعة:

وسنتعلم قانون عد المربعات بالتفصيل في الوحدة التالية.

١٧) عدد المستطيلات التي تشمل خلية محددة

هذا نمط أذكى يمكن حله بعدّ حدود المستطيل الممكنة حول الخلية.

إذا كانت الخلية في الصف ر والعمود ع داخل شبكة م×ن:

مثال

في شبكة ٣×٤، كم مستطيلًا يحتوي الخلية الواقعة في الصف ٢ والعمود ٢؟

١٨) لماذا يعمل قانون الخلية المحددة؟

لكي يحتوي المستطيل خلية معينة:

نختار حدًا علويًا من الخطوط الموجودة فوق الخلية أو عند أعلاها.

ونختار حدًا سفليًا من الخطوط الموجودة تحتها أو عند أسفلها.

ونفعل الشيء نفسه يمينًا ويسارًا.

لذلك يتحول العد إلى حاصل ضرب عدد الاختيارات الأربعة.

١٩) مستطيلات بعرض ثابت فقط

إذا قال السؤال إن عرض المستطيل = ب أعمدة، لكنه يسمح بأي ارتفاع:

عدد المواضع الأفقية:

وعدد الاختيارات الرأسية لجميع الارتفاعات:

إذن نضربهما.

مثال

في شبكة ٣×٥، كم مستطيلًا عرضه عمودان بأي ارتفاع؟

٢٠) مستطيلات بارتفاع ثابت فقط

بالطريقة نفسها، إذا كان الارتفاع = أ صفوف والعرض غير محدد:

٢١) اختيار الطريقة الأسرع

إذا أعطاك السؤال صفوفًا وأعمدة مباشرة، فالقانون الأساسي هو الأسرع.

إذا أعطاك عدد الخطوط، فاستخدم اختيار خطين رأسيين وخطين أفقيين.

إذا طلب مستطيلات بأبعاد محددة، فاستخدم قانون المواضع.

إذا طلب مستطيلات تحتوي خلية معينة، فاستخدم عدد الحدود الممكنة حول تلك الخلية.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — شبكة مباشرة

كم عدد المستطيلات في شبكة ٣ صفوف و٤ أعمدة؟

أ) ١٢
ب) ٣٠
ج) ٤٠
د) ٦٠

مثال ٢ — عدد الخطوط

شكل فيه ٦ خطوط رأسية و٥ خطوط أفقية. كم مستطيلًا يمكن تكوينه؟

أ) ٦٠
ب) ١٠٠
ج) ١٥٠
د) ٣٠٠

مثال ٣ — أبعاد محددة

في شبكة ٤×٦، كم مستطيلًا أبعاده ٢×٣ بالاتجاه المحدد؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ٢٤

مثال ٤ — صف واحد

كم مستطيلًا في شبكة ١×٧؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢١
د) ٢٨

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في شبكة ٤×٥، كم مستطيلًا أبعاده ٢×٣ أو ٣×٢؟

أ) ٩
ب) ١٧
ج) ١٨
د) ٢٤

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: ضرب الصفوف في الأعمدة فقط؛ فهذا يحسب الخانات الصغيرة لا جميع المستطيلات.

الخطأ الثاني: الخلط بين عدد الصفوف وعدد الخطوط الأفقية.

الخطأ الثالث: الخلط بين عدد الأعمدة وعدد الخطوط الرأسية.

الخطأ الرابع: نسيان أن المربعات تدخل ضمن المستطيلات ما لم يستبعدها السؤال.

الخطأ الخامس: عند طلب أبعاد محددة، استخدام قانون جميع المستطيلات بدل قانون المواضع.

الخطأ السادس: عد ٢×٣ و٣×٢ مرتين عندما يكون السؤال قد حدد الاتجاه أصلًا.

الخطأ السابع: عند طرح المربعات، استخدام عدد الخانات المربعة الصغيرة فقط بدل جميع المربعات.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: م صفوف ون أعمدة ← .

التكتيك الثاني: أ خطوط أفقية وب خطوط رأسية ← .

التكتيك الثالث: مستطيل أ×ب داخل شبكة م×ن ← .

التكتيك الرابع: صف واحد بعدد ن من الخانات ← .

التكتيك الخامس: شبكة ن×ن ← مربع العدد المثلثي: .

التكتيك السادس: «غير المربعة» ← جميع المستطيلات − جميع المربعات.

التكتيك السابع: قبل الحل، اسأل: هل المعطى خانات أم خطوط؟ وهل المطلوب كل المستطيلات أم حجم محدد؟

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

كم عدد المستطيلات في شبكة ٢×٢؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٢

كم عدد المستطيلات في شبكة ٢×٣؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢٤

سؤال ٣

كم عدد المستطيلات في شبكة ٣×٣؟

أ) ٩
ب) ١٨
ج) ٣٦
د) ٤٥

سؤال ٤

كم عدد المستطيلات في شبكة ٢×٤؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٠

سؤال ٥

شكل فيه ٤ خطوط رأسية و٣ خطوط أفقية. كم مستطيلًا يمكن تكوينه؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٦

سؤال ٦

كم عدد المستطيلات في شبكة ١×٦؟

أ) ٦
ب) ١٥
ج) ٢١
د) ٣٦

سؤال ٧

كم عدد المستطيلات في شبكة ٣×٥؟

أ) ٤٥
ب) ٦٠
ج) ٧٥
د) ٩٠

سؤال ٨

في شبكة ٤×٥، كم مستطيلًا أبعاده ٢×٢؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ٢٠

سؤال ٩

في شبكة ٣×٦، كم مستطيلًا أبعاده ١×٣ بالاتجاه المحدد؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ١٨

سؤال ١٠

في شبكة ٤×٤، كم عدد جميع المستطيلات؟

أ) ٤٠
ب) ٦٤
ج) ١٠٠
د) ١٢٠

سؤال ١١

في شبكة ٢×٢ يوجد ٩ مستطيلات إجمالًا و٥ مربعات. كم مستطيلًا غير مربع؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٩

سؤال ١٢

في شبكة ٣×٥، كم مستطيلًا عرضه عمودان بأي ارتفاع؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٠

سؤال ١٣

في شبكة ٤×٥، كم مستطيلًا أبعاده ٢×٣ أو ٣×٢؟

أ) ٩
ب) ١٧
ج) ١٨
د) ٢٤

سؤال ١٤

في شبكة ٣×٤، كم مستطيلًا يحتوي الخلية الواقعة في الصف ٢ والعمود ٢؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٣٦

٢٧) ملخص الدرس

عدد جميع المستطيلات في شبكة م صفوف ون أعمدة:

والفكرة المكافئة هي اختيار خطين أفقيين وخطين رأسيين.

إذا كان المطلوب مستطيلات بأبعاد أ×ب:

والمربع يُحسب ضمن المستطيلات ما لم يستبعده السؤال صراحةً.