١) السؤال الأول دائمًا: ما المقصود بكلمة «مسافات»؟

في هذه الوحدة توجد ثلاثة معانٍ مختلفة يجب عدم خلطها:

المسافات المتجاورة: الفواصل بين العناصر المتتالية.

المسافات بين كل زوج من النقاط: عدد أزواج النقاط أو القطع الواصلة بينها.

القيم المختلفة للمسافة: كم طولًا مختلفًا يمكن أن يظهر.

كل معنى له قانون مختلف.

٢) المسافات المتجاورة على خط مستقيم

إذا كان لدينا ن نقاط أو أعمدة أو محطات مرتبة على خط مستقيم:

مثال

٩ أعمدة في خط مستقيم:

مسافات متجاورة.

٣) لماذا نطرح ١؟

المسافة تحتاج عنصرين يحدّانها.

عنصران يصنعان مسافة واحدة.

٣ عناصر تصنع مسافتين.

٤ عناصر تصنع ٣ مسافات.

إذن على خط مفتوح:

٤) المسافة من الأول إلى الأخير

إذا كان عدد العناصر ن، والمسافة بين كل عنصرين متجاورين م:

مثال

٨ أعمدة، وبين كل عمودين ١٥ مترًا:

أمتار.

٥) إيجاد المسافة الواحدة من الطول الكلي

إذا كان أول عنصر في البداية وآخر عنصر في النهاية، وكان الطول الكلي ل:

مثال

٦ أعمدة موزعة بالتساوي على ١٠٠ متر:

مترًا.

٦) إيجاد عدد العناصر من الطول والمسافة

إذا كان هناك عنصر عند البداية وعنصر عند النهاية:

مثال

طريق طوله ١٢٠ مترًا، وعمود كل ٢٠ مترًا:

أعمدة.

٧) الشكل المغلق

إذا كانت العناصر موزعة حول دائرة أو مضمار أو حديقة مغلقة، فإن آخر عنصر يعود إلى الأول.

لذلك:

ولا نطرح ١.

٨) المسافة الواحدة حول شكل مغلق

إذا كان المحيط ح وعدد العلامات ن، والتوزيع متساوٍ:

مثال

مضمار محيطه ٣٦٠ مترًا، وحوله ١٢ علامة:

مترًا.

٩) الخط المفتوح مقابل المسار المغلق

لنفس عدد العناصر ن:

في الخط المستقيم:

مسافة متجاورة.

في المسار المغلق:

مسافات متجاورة.

الفرق دائمًا مسافة واحدة.

١٠) عدد المسافات بين نقطتين مرقمتين

إذا كانت النقاط متساوية التباعد ومرقمة بالترتيب، فإن عدد الفواصل بين النقطة رقم أ والنقطة رقم ب هو:

مثال

من النقطة ٣ إلى النقطة ٨:

مسافات بينية.

١١) المسافة الفعلية بين نقطتين مرقمتين

إذا كانت المسافة البينية م:

مثال

المسافة بين المحطات المتجاورة ٧ كم. من المحطة ٢ إلى المحطة ٦:

كم.

١٢) كم نقطة تقع بين نقطتين دون الطرفين؟

إذا كانت النقاط مرتبة بأرقام متتابعة، فإن عدد النقاط الواقعة بين أ وب فقط:

مثال

بين النقطة ٤ والنقطة ٩:

نقاط داخلية: ٥، ٦، ٧، ٨.

١٣) جميع الأزواج الممكنة من ن نقاط

إذا قال السؤال: «بين كل نقطتين» أو «صل كل نقطة بكل نقطة أخرى»، فالمطلوب عدد أزواج النقاط:

مثال

٥ نقاط:

أزواج.

١٤) لماذا نقسم على ٢ في قانون الأزواج؟

إذا اخترنا نقطة أولى ثم نقطة ثانية، فسنعد الزوج نفسه مرتين:

أ مع ب.

وب مع أ.

ولذلك نقسم على ٢.

١٥) تصحيح مهم: الأزواج ليست دائمًا «مسافات مختلفة»

القانون:

يحسب عدد أزواج النقاط أو عدد القطع الواصلة بين كل نقطتين.

لكنه لا يعني بالضرورة أن أطوال هذه القطع كلها مختلفة.

قد يكون لزوجين مختلفين الطول نفسه.

١٦) القيم المختلفة للمسافة في نقاط متساوية التباعد

إذا كان لدينا ن نقاط متساوية التباعد على خط مستقيم، والمسافة البينية م، فإن أطوال المسافات الممكنة هي:

إذن عدد القيم المختلفة للمسافة هو:

مثال

٥ نقاط متساوية التباعد:

عدد أزواج النقاط = ١٠.

لكن القيم المختلفة للمسافة = ٤ فقط.

١٧) إذا كانت النقاط غير متساوية التباعد

لا يمكن تحديد عدد القيم المختلفة للمسافة من عدد النقاط وحده.

قد تتكرر بعض الأطوال وقد لا تتكرر.

أما عدد الأزواج فيبقى دائمًا:

بغض النظر عن أماكن النقاط، ما دامت النقاط متميزة.

١٨) كيف أميز صياغة السؤال؟

إذا قال:

«بين المتجاورين».

«بين الأعمدة المتتالية».

«الفواصل على خط مستقيم».

فغالبًا نستخدم:

أما إذا قال:

«كل نقطتين».

«كل نقطة مع كل نقطة أخرى».

«عدد الأزواج».

«عدد القطع الواصلة بين النقاط».

فنستخدم:

١٩) الفرق بين هذه الوحدة وقانون المصافحات

من الناحية الحسابية، «كل نقطتين» يشبه تمامًا المصافحات؛ لأن كل مسافة تحددها نقطة أولى ونقطة ثانية.

لذلك كلاهما يستخدم:

لكن في هذه الوحدة يجب الانتباه إلى أن السؤال قد يقصد فقط المسافات المتجاورة، لا كل الأزواج.

٢٠) الفرق بين هذه الوحدة وقانون الأعمدة والأشجار

قانون الأعمدة والأشجار يستخدم العلاقة نفسها في الحالة الخطية:

لكن هنا نركز على قراءة معنى «المسافة» نفسه، وتمييز الفاصل المتجاور من كل زوج ممكن.

٢١) إدخال نقطة جديدة بين نقطتين

إذا أضفت نقطة داخل إحدى المسافات على خط مستقيم، فإن هذه المسافة الواحدة تنقسم إلى مسافتين.

لذلك عدد المسافات المتجاورة يزيد بمقدار ١.

مثال

٦ نقاط لها ٥ مسافات متجاورة.

بعد إضافة نقطة داخلية تصبح ٧ نقاط و٦ مسافات.

٢٢) حذف نقطة داخلية

إذا حذفت نقطة داخلية من خط مرتب، تندمج المسافتان المجاورتان لها في مسافة واحدة.

لذلك عدد المسافات المتجاورة ينقص بمقدار ١.

٢٣) إذا تضاعف عدد النقاط لا يتضاعف عدد كل الأزواج فقط

عدد المسافات المتجاورة ينمو خطيًا:

أما عدد الأزواج فينمو أسرع:

مثال

٤ نقاط:

المتجاورة = ٣.

كل الأزواج = ٦.

٨ نقاط:

المتجاورة = ٧.

كل الأزواج = ٢٨.

٢٤) إيجاد عدد النقاط من عدد الأزواج

إذا كان عدد الأزواج معلومًا، نستخدم:

وفي أسئلة الاختيار من متعدد، تجربة الخيارات غالبًا أسرع.

مثال

عدد الأزواج = ٢١.

نجرب ن = ٧:

إذن عدد النقاط = ٧.

٢٥) إيجاد عدد النقاط من عدد المسافات المتجاورة

هذه أبسط:

مثال

١٤ مسافة متجاورة على خط مستقيم:

نقطة.

٢٦) سؤال يجمع بين النوعين

إذا كان لدينا ٦ نقاط على خط مستقيم:

عدد المسافات المتجاورة:

عدد الأزواج:

الفرق بينهما:

٢٧) لا تستخدم ن−١ عندما يقول السؤال «كل نقطتين»

وجود النقاط على خط مستقيم لا يعني تلقائيًا أن المطلوب ن−١.

المحدد الحقيقي هو صياغة السؤال:

متجاورة ← ن−١.

كل زوج ← ن(ن−١)/٢.

٢٨) لا تستخدم قانون الأزواج عندما يطلب طولًا

قانون الأزواج يعطي عددًا من القطع أو الأزواج، وليس طول المسافة من الأول إلى الأخير.

إذا كان المطلوب الطول، نستخدم عدد الفواصل × المسافة البينية.

٢٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — متجاورة

وُضعت ٧ محطات في خط مستقيم. كم عدد المسافات بين المحطات المتجاورة؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٢١

مثال ٢ — كل الأزواج

لدينا ٧ نقاط. كم قطعة يمكن رسمها إذا وصلنا كل نقطتين؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ١٤
د) ٢١

مثال ٣ — المسافة الفعلية

٩ أعمدة على خط مستقيم، والمسافة بين كل عمودين متجاورين ١٢ مترًا. كم المسافة من الأول إلى الأخير؟

أ) ٨٤ مترًا
ب) ٩٦ مترًا
ج) ١٠٨ أمتار
د) ١٢٠ مترًا

مثال ٤ — القيم المختلفة

٦ نقاط متساوية التباعد على خط مستقيم. كم قيمة مختلفة للمسافة يمكن أن تظهر بين زوجين من النقاط؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ١٥
د) ٣٠

٣٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

على خط مستقيم توجد نقاط متساوية التباعد. المسافة بين النقطة ٣ والنقطة ٩ تساوي ٤٢ مترًا. ما المسافة بين نقطتين متجاورتين؟

أ) ٦ أمتار
ب) ٧ أمتار
ج) ٨ أمتار
د) ٩ أمتار

٣١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: مساواة عدد النقاط بعدد المسافات المتجاورة على خط مستقيم.

الخطأ الثاني: طرح ١ في المسار المغلق.

الخطأ الثالث: استخدام ن−١ عندما يقول السؤال «بين كل نقطتين».

الخطأ الرابع: استخدام ن(ن−١)/٢ عندما يقصد السؤال الفواصل المتجاورة فقط.

الخطأ الخامس: تسمية جميع أزواج النقاط «مسافات مختلفة» رغم أن بعض الأطوال قد تتساوى.

الخطأ السادس: القسمة على عدد النقاط بدل عدد الفواصل عند إيجاد المسافة البينية على خط مفتوح.

الخطأ السابع: عند استخدام أرقام النقاط، نسيان أن عدد الفواصل يساوي فرق الرقمين، وليس الفرق ناقص ١.

الخطأ الثامن: الخلط بين عدد النقاط الواقعة بين نقطتين وعدد الفواصل بينهما.

٣٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: اسأل: «متجاورة أم كل زوج؟» قبل اختيار القانون.

التكتيك الثاني: خط مفتوح ومتجاورة ← .

التكتيك الثالث: مسار مغلق ومتجاورة ← .

التكتيك الرابع: كل زوج من ن نقاط ← .

التكتيك الخامس: بين النقطة أ والنقطة ب ← عدد الفواصل .

التكتيك السادس: عدد النقاط الداخلية بينهما ← .

التكتيك السابع: نقاط متساوية التباعد وعدد القيم المختلفة للمسافة ← .

٣٣) تدريب متدرج

سؤال ١

يوجد ١١ عمودًا في خط مستقيم. كم عدد المسافات بين الأعمدة المتجاورة؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ٥٥

سؤال ٢

يوجد ١١ علامة حول مسار دائري. كم عدد المسافات المتجاورة بينها؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ٥٥

سؤال ٣

٧ نقاط. كم عدد الأزواج الممكنة من النقاط؟

أ) ٦
ب) ١٤
ج) ٢١
د) ٤٢

سؤال ٤

طريق طوله ١٨٠ مترًا، وعليه ١٠ علامات متساوية التباعد مع علامة عند البداية والنهاية. كم المسافة بين علامتين متجاورتين؟

أ) ١٨ مترًا
ب) ٢٠ مترًا
ج) ٢٢ مترًا
د) ٣٠ مترًا

سؤال ٥

٨ أعمدة والمسافة بين كل عمودين متجاورين ٩ أمتار. كم المسافة من الأول إلى الأخير؟

أ) ٥٤ مترًا
ب) ٦٣ مترًا
ج) ٧٢ مترًا
د) ٨١ مترًا

سؤال ٦

طريق طوله ١٦٠ مترًا، وعمود كل ٢٠ مترًا مع عمود عند البداية والنهاية. كم عدد الأعمدة؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ٧

مضمار محيطه ٢٨٠ مترًا وحوله ١٤ علامة متساوية التباعد. كم المسافة بين علامتين متجاورتين؟

أ) ١٤ مترًا
ب) ٢٠ مترًا
ج) ٢١ مترًا
د) ٢٨ مترًا

سؤال ٨

من المحطة ٤ إلى المحطة ١٠، كم عدد المسافات البينية؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٩

كم محطة تقع بين المحطة ٤ والمحطة ١٠ دون احتسابهما؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

سؤال ١٠

المسافة بين المحطات المتجاورة ٦ كم. كم المسافة من المحطة ٣ إلى المحطة ٨؟

أ) ٢٤ كم
ب) ٣٠ كم
ج) ٣٦ كم
د) ٤٨ كم

سؤال ١١

٨ نقاط متساوية التباعد على خط مستقيم. كم قيمة مختلفة للمسافة بين زوجين من النقاط؟

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٢٨
د) ٥٦

سؤال ١٢

٨ نقاط. كم عدد أزواج النقاط الممكنة؟

أ) ٧
ب) ١٦
ج) ٢٨
د) ٥٦

سؤال ١٣

إذا كان عدد أزواج النقاط ٢١، فكم عدد النقاط؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١٤

على خط مستقيم ٩ مسافات متجاورة متساوية. كم عدد النقاط التي تحد هذه المسافات من البداية إلى النهاية؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١٨

٣٤) ملخص الدرس

على خط مستقيم:

حول مسار مغلق:

بين كل زوج من ن نقاط:

وإذا كانت النقاط متساوية التباعد على خط مستقيم، فإن عدد القيم المختلفة للمسافة يساوي ن−١، وليس عدد الأزواج.

المهارة الأهم: اقرأ هل السؤال يقصد «متجاورة»، أم «كل زوج»، أم «أطوالًا مختلفة» قبل أن تختار القانون.