دليل منهج اختبار القدرات
قانون عدد المربعات
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
عند عد المربعات في شبكة لا نعد المربعات الصغيرة فقط، بل كل مربع يمكن تكوينه من خطوط الشبكة. في شبكة ن×ن يكون العدد ١<sup>٢</sup> + ٢<sup>٢</sup> + ... + ن<sup>٢</sup>، وفي الشبكة المستطيلة نعد المربعات حسب أحجامها حتى أصغر بُعد.
مثال
في شبكة ٣×٣ يوجد ٩ مربعات صغيرة و٤ مربعات ٢×٢ ومربع واحد ٣×٣، فيكون المجموع ١٤ مربعًا.
الشرح المفصّل
١) الفكرة الأساسية
عندما يسأل السؤال عن عدد المربعات في شبكة، لا يكفي أن نعد الخانات الصغيرة فقط.
يجب أن نحسب:
المربعات ١×١.
المربعات ٢×٢.
المربعات ٣×٣.
وكل حجم أكبر تسمح به الشبكة.
٢) مثال تأسيسي: شبكة ٢×٢
في شبكة ٢×٢:
المربعات الصغيرة ١×١ = ٤.
المربع الكبير ٢×٢ = ١.
إذن:
فالجواب ليس ٤، بل ٥ مربعات.
٣) مثال مهم: شبكة ٣×٣
مربعات ١×١:
مربعات ٢×٢:
مربعات ٣×٣:
المجموع:
٤) لماذا يظهر مجموع المربعات؟
في شبكة ن×ن:
عدد المربعات الصغيرة ١×١ هو ن٢.
عدد المربعات ٢×٢ هو (ن−١)٢.
عدد المربعات ٣×٣ هو (ن−٢)٢.
وهكذا حتى المربع الكبير الأخير الذي عدده ١.
لذلك مجموع العدد نفسه يكتب بصورة مرتبة:
٥) القانون للشبكة المربعة
إذا كانت الشبكة ن×ن:
مثال
شبكة ٤×٤:
٦) القانون المختصر لمجموع المربعات
بدل الجمع، يمكن استخدام:
مثال
شبكة ٥×٥:
٧) أي الطريقتين أسرع في القدرات؟
للشبكات الصغيرة، جمع مربعات الأعداد غالبًا أسرع وأقل عرضة للخطأ.
مثل ٤×٤:
أما إذا كان ن أكبر أو ظهر في السؤال أكثر من مرة، فقد يكون القانون المختصر أنسب.
٨) قيم مهمة يفضّل معرفتها سريعًا
شبكة ١×١ ← ١ مربع.
شبكة ٢×٢ ← ٥ مربعات.
شبكة ٣×٣ ← ١٤ مربعًا.
شبكة ٤×٤ ← ٣٠ مربعًا.
شبكة ٥×٥ ← ٥٥ مربعًا.
شبكة ٦×٦ ← ٩١ مربعًا.
هذه القيم تظهر كثيرًا وتوفّر وقتًا إذا تذكرتها.
٩) الشبكة المستطيلة
إذا كانت الشبكة م×ن وليست مربعة، فلا نستخدم مجموع ١٢ إلى ن٢ مباشرة.
نعد كل حجم مربع يمكن أن يدخل في الشبكة.
أكبر حجم ممكن للمربع يساوي أصغر بُعد في الشبكة.
١٠) عدد المربعات ذات الحجم ك×ك
في شبكة م×ن، عدد المربعات التي طول ضلعها ك خانات:
مثال
في شبكة ٣×٥، عدد مربعات ٢×٢:
١١) القانون العام للشبكة المستطيلة
إذا كان ح هو أصغر العددين م ون:
لكن في أسئلة القدرات غالبًا يكون العد حسب الأحجام أوضح من استخدام رمز المجموع.
١٢) مثال: شبكة ٢×٣
مربعات ١×١:
مربعات ٢×٢:
لا يوجد مربع ٣×٣ لأن عدد الصفوف ٢ فقط.
إذن:
١٣) مثال: شبكة ٣×٤
مربعات ١×١:
مربعات ٢×٢:
مربعات ٣×٣:
إذن:
١٤) مثال: شبكة ٢×٥
مربعات ١×١:
مربعات ٢×٢:
إذن:
١٥) اختصار خاص للشبكة ٢×ن
في شبكة ٢×ن:
المربعات ١×١ عددها ٢ن.
والمربعات ٢×٢ عددها ن−١.
إذن:
مثال
شبكة ٢×٨:
١٦) صف واحد أو عمود واحد
إذا كان أحد بُعدي الشبكة = ١، فلا يمكن تكوين مربع أكبر من ١×١.
مثال
شبكة ١×٧:
عدد المربعات = ٧ فقط.
وهنا يظهر الفرق الكبير بين عدد المربعات وعدد المستطيلات.
١٧) الفرق بين المربعات والمستطيلات
كل مربع مستطيل، لكن ليس كل مستطيل مربعًا.
لذلك عدد المربعات دائمًا أقل من أو يساوي عدد المستطيلات في الشبكة نفسها.
مثال
في شبكة ٢×٣:
عدد المربعات = ٨.
عدد المستطيلات = ١٨.
١٨) المستطيلات غير المربعة
إذا طلب السؤال عدد المستطيلات غير المربعة:
مثال
في شبكة ٣×٣:
جميع المستطيلات = ٣٦.
جميع المربعات = ١٤.
١٩) إذا أعطاك السؤال عدد الخطوط لا الخانات
إذا كان هناك أ خطوط أفقية وب خطوط رأسية، فإن عدد الصفوف = أ−١، وعدد الأعمدة = ب−١.
مثال
شكل فيه ٤ خطوط أفقية و٦ خطوط رأسية.
إذن الشبكة:
ثم نعد مربعات ١×١ و٢×٢ و٣×٣.
٢٠) مثال باستخدام عدد الخطوط
الشبكة السابقة ٣×٥:
مربعات ١×١:
مربعات ٢×٢:
مربعات ٣×٣:
المجموع:
٢١) إذا طلب حجمًا محددًا فقط
لا تحسب جميع المربعات.
مثال
في شبكة ٥×٦، كم مربعًا من النوع ٣×٣؟
٢٢) إذا طلب المربعات الأكبر من حجم معين
ابدأ من أول حجم مسموح، ثم اجمع الأحجام الأكبر حتى أصغر بُعد في الشبكة.
مثال
في شبكة ٤×٤، كم مربعًا طول ضلعه خانتان أو أكثر؟
مربعات ٢×٢ = ٩.
مربعات ٣×٣ = ٤.
مربعات ٤×٤ = ١.
٢٣) إذا استبعد المربعات الصغيرة
يمكنك أيضًا حساب الكل ثم طرح مربعات ١×١.
مثال
في شبكة ٥×٥، مجموع المربعات = ٥٥.
المربعات الصغيرة = ٢٥.
إذن المربعات الأكبر من ١×١:
٢٤) زيادة حجم الشبكة المربعة
إذا تحولت الشبكة من ن×ن إلى (ن+١)×(ن+١)، فإن عدد المربعات الجديدة التي تضاف يساوي:
لأن:
مثال
من ٤×٤ إلى ٥×٥:
٢٥) إيجاد حجم الشبكة من عدد المربعات
أحيانًا يعطيك السؤال العدد الكلي للمربعات ويطلب حجم الشبكة.
للشبكات الصغيرة، استخدم القيم المشهورة:
٥ ← ٢×٢.
١٤ ← ٣×٣.
٣٠ ← ٤×٤.
٥٥ ← ٥×٥.
٩١ ← ٦×٦.
٢٦) المربعات المائلة والقطرية
القوانين السابقة تحسب المربعات التي أضلاعها تقع على خطوط الشبكة الأفقية والرأسية.
إذا رسم السؤال أقطارًا أو خطوطًا مائلة يمكن أن تكوّن مربعات مائلة، فلا تدخل هذه المربعات تلقائيًا في القانون السابق؛ يجب عدّها من الرسم نفسه.
هذه نقطة مهمة لأن بعض أسئلة العد البصري تضيف خطوطًا داخلية تغير عدد المربعات.
٢٧) كيف أعد شكلًا غير منتظم؟
إذا كانت بعض خطوط الشبكة ناقصة أو كانت أجزاء من الشكل مفقودة، فلا تستخدم القانون الكامل للشبكة مباشرة.
عد حسب الحجم:
١×١ أولًا.
ثم ٢×٢.
ثم الأحجام الأكبر.
ولا تحسب مربعًا إلا إذا كانت أضلاعه الأربعة مكتملة فعلًا.
٢٨) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١ — شبكة مربعة
كم عدد المربعات في شبكة ٤×٤؟
أ) ١٦
ب) ٢٠
ج) ٣٠
د) ٤٠
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٢ — شبكة مستطيلة
كم عدد المربعات في شبكة ٣×٥؟
أ) ١٥
ب) ٢٣
ج) ٢٦
د) ٣٠
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٣ — حجم محدد
في شبكة ٤×٦، كم مربعًا من النوع ٢×٢؟
أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٤
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٤ — المستطيلات غير المربعة
في شبكة ٢×٣ يوجد ١٨ مستطيلًا إجمالًا و٨ مربعات. كم مستطيلًا غير مربع؟
أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨
الإجابة الصحيحة: ب.
٢٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى
شبكة مربعة تحتوي على ٥٥ مربعًا من جميع الأحجام. ما أبعاد الشبكة؟
أ) ٣×٣
ب) ٤×٤
ج) ٥×٥
د) ٦×٦
القيم المشهورة:
إذن الشبكة ٥×٥.
الإجابة الصحيحة: ج.
٣٠) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: عد الخانات الصغيرة فقط.
الخطأ الثاني: استخدام قانون المستطيلات عند السؤال عن المربعات.
الخطأ الثالث: نسيان المربعات الكبيرة.
الخطأ الرابع: استخدام مجموع ١٢ + ٢٢ + ... مباشرة في شبكة مستطيلة غير مربعة.
الخطأ الخامس: الاستمرار في عد أحجام أكبر من أصغر بُعد في الشبكة.
الخطأ السادس: إذا أعطاك السؤال عدد الخطوط، اعتباره عدد الصفوف أو الأعمدة مباشرة.
الخطأ السابع: إدخال المربعات المائلة في قانون الشبكة العادي رغم أن القانون لا يحسبها.
الخطأ الثامن: تطبيق قانون الشبكة الكاملة على شكل توجد فيه خطوط ناقصة.
٣١) تكتيكات القدرات
التكتيك الأول: شبكة ن×ن ← اجمع .
التكتيك الثاني: شبكة مستطيلة ← عد ١×١ ثم ٢×٢ ثم ٣×٣ حتى أصغر بُعد.
التكتيك الثالث: عدد مربعات ك×ك داخل م×ن ← .
التكتيك الرابع: ٢×ن ← اختصار سريع: .
التكتيك الخامس: إذا كان أحد البعدين ١، فكل المربعات هي ١×١ فقط.
التكتيك السادس: احفظ ٥، ١٤، ٣٠، ٥٥، ٩١ للشبكات من ٢×٢ إلى ٦×٦.
التكتيك السابع: «غير المربعة» ← عدد المستطيلات − عدد المربعات.
التكتيك الثامن: خطوط مائلة أو ناقصة ← اترك القانون العام وعدّ من الرسم بالحجم.
٣٢) تدريب متدرج
سؤال ١
كم عدد المربعات في شبكة ١×٤؟
أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠
الإجابة: أ) ٤.
سؤال ٢
كم عدد المربعات في شبكة ٢×٢؟
أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨
الإجابة: ب) ٥.
سؤال ٣
كم عدد المربعات في شبكة ٣×٣؟
أ) ٩
ب) ١٣
ج) ١٤
د) ١٦
الإجابة: ج) ١٤.
سؤال ٤
كم عدد المربعات في شبكة ٤×٤؟
أ) ١٦
ب) ٢٤
ج) ٣٠
د) ٣٦
الإجابة: ج) ٣٠.
سؤال ٥
كم عدد المربعات في شبكة ٣×٤؟
أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٠
د) ٣٠
الإجابة: ج.
سؤال ٦
كم عدد المربعات في شبكة ٢×٦؟
أ) ١٢
ب) ١٥
ج) ١٧
د) ٢١
الإجابة: ج.
سؤال ٧
في شبكة ٤×٥، كم مربعًا من النوع ٢×٢؟
أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ٢٠
الإجابة: ب.
سؤال ٨
في شبكة ٥×٦، كم مربعًا من النوع ٣×٣؟
أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٥
الإجابة: ج.
سؤال ٩
شكل فيه ٤ خطوط أفقية و٥ خطوط رأسية. كم عدد المربعات في الشبكة الناتجة؟
أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٠
د) ٢٦
الشبكة ٣×٤.
الإجابة: ج.
سؤال ١٠
في شبكة ٤×٤، كم مربعًا طول ضلعه خانتان أو أكثر؟
أ) ٩
ب) ١٣
ج) ١٤
د) ٢٠
الإجابة: ج.
سؤال ١١
في شبكة ٥×٥، كم مربعًا أكبر من ١×١؟
أ) ٢٥
ب) ٣٠
ج) ٥٠
د) ٥٥
الإجابة: ب.
سؤال ١٢
زاد حجم شبكة مربعة من ٤×٤ إلى ٥×٥. كم زاد عدد المربعات؟
أ) ١٦
ب) ٢٠
ج) ٢٥
د) ٣٠
الإجابة: ج.
سؤال ١٣
شبكة مربعة فيها ٩١ مربعًا من جميع الأحجام. ما أبعادها؟
أ) ٤×٤
ب) ٥×٥
ج) ٦×٦
د) ٧×٧
الإجابة: ج) ٦×٦.
سؤال ١٤
في شبكة ٣×٣ يوجد ٣٦ مستطيلًا إجمالًا و١٤ مربعًا. كم مستطيلًا غير مربع؟
أ) ١٤
ب) ٢٠
ج) ٢٢
د) ٣٦
الإجابة: ج.
٣٣) ملخص الدرس
في الشبكة المربعة ن×ن:
أو:
وفي الشبكة المستطيلة م×ن، نعد المربعات حسب الحجم حتى أصغر بُعد.
عدد المربعات ك×ك:
ولا تستخدم القانون العام إذا كانت خطوط الشكل ناقصة أو إذا كانت هناك مربعات مائلة ناتجة من أقطار إضافية؛ عندها يجب العد من الرسم نفسه.