١) الفكرة الأساسية

في أسئلة عدّ المثلثات، لا نعدّ المثلثات الصغيرة الظاهرة فقط.

قد توجد:

مثلثات صغيرة.

مثلثات متوسطة مكوّنة من أكثر من جزء.

مثلثات كبيرة تضم أجزاءً كثيرة.

ومثلثات في اتجاهات مختلفة إذا كانت الخطوط متقاطعة.

لذلك القاعدة الأهم هي: افهم نمط الرسم أولًا، ثم اختر طريقة العد المناسبة.

٢) لا يوجد قانون واحد لكل أشكال المثلثات

قانون عدّ المثلثات يتغير بتغير الرسم.

مثلث مقسّم بخطوط خارجة من رأس واحد له قانون سريع.

أما شبكة مثلثية أو شكل نجمي أو شكل فيه أقطار متعددة، فيحتاج غالبًا إلى العد حسب الحجم والاتجاه.

إذن لا تطبق أي قانون قبل التأكد من أن الشكل يطابق نمطه.

٣) أشهر نمط في القدرات: خطوط مشتركة في رأس واحد

إذا كان لدينا ن قطع مستقيمة تشترك كلها في رأس واحد، وتنتهي عند نقاط على قاعدة مستقيمة واحدة، فإن كل اختيار لقطعتين منها مع الجزء الواقع بين نهايتيهما على القاعدة يصنع مثلثًا.

إذن عدد المثلثات هو عدد طرق اختيار قطعتين من ن:

٤) مثال المصدر: ٥ قطع مشتركة في رأس

إذا اجتمعت ٥ قطع مستقيمة في رأس واحد:

لأن كل زوج من القطع يحدد مثلثًا واحدًا مع القاعدة.

٥) طريقة أخرى لوصف الشكل: عدد أجزاء القاعدة

قد يعطي السؤال الشكل بطريقة مختلفة، فيقول إن القاعدة قُسّمت إلى م أجزاء.

إذا كانت القاعدة مقسّمة إلى م أجزاء، فإن عدد القطع الخارجة من الرأس إلى القاعدة، مع ضلعي المثلث، يساوي:

لذلك:

٦) القانونان ليسا مختلفين

إذا كانت ن هي عدد القطع التي تشترك في الرأس:

أما إذا كانت م هي عدد أجزاء القاعدة:

والسبب أن:

هذه نقطة مهمة جدًا حتى لا يختلط عليك معنى المتغير في السؤال.

٧) إذا أعطاك عدد الخطوط الداخلية فقط

إذا كان داخل المثلث ك خطوط إضافية من الرأس إلى القاعدة، فلا تنس ضلعي المثلث الخارجيين.

عدد القطع المشتركة في الرأس:

إذن عدد المثلثات:

مثال

مثلث فيه ٣ خطوط داخلية خارجة من الرأس إلى القاعدة.

إجمالي القطع من الرأس:

عدد المثلثات:

٨) لماذا يظهر العدد المثلثي؟

إذا قسمت القاعدة إلى ٤ أجزاء، فيمكن العد حسب عدد الأجزاء المتجاورة:

مثلثات من جزء واحد = ٤.

من جزأين متجاورين = ٣.

من ثلاثة أجزاء = ٢.

من أربعة أجزاء = ١.

إذن:

ولهذا تظهر الأعداد:

١، ٣، ٦، ١٠، ١٥، ٢١، ٢٨...

٩) عدد المثلثات التي تتكون من عدد محدد من أجزاء القاعدة

إذا كانت القاعدة مقسّمة إلى م أجزاء، وأردنا مثلثات تتكون من ر أجزاء متجاورة فقط:

مثال

قاعدة مقسّمة إلى ٦ أجزاء. كم مثلثًا يتكون من ٣ أجزاء متجاورة؟

١٠) إيجاد عدد أجزاء القاعدة من العدد الكلي للمثلثات

إذا كان الشكل من نمط الرأس الواحد، وأعطاك السؤال العدد الكلي للمثلثات، فابحث عن عدد مثلثي مناسب.

مثال

إذا كان العدد الكلي ٢١:

إذن القاعدة مقسّمة إلى ٦ أجزاء، وعدد القطع المشتركة في الرأس = ٧.

١١) طريقة العد المنظم عندما لا يوجد قانون مباشر

إذا لم يكن الشكل من نمط الرأس الواحد، استخدم أربع خطوات:

١. عد المثلثات الصغيرة.

٢. عد المثلثات المتوسطة.

٣. عد المثلثات الكبيرة.

٤. أعد العد حسب الاتجاه للتأكد من أنك لم تنس مثلثات مقلوبة أو جانبية.

١٢) العد حسب الحجم

لا تعتمد على النظر السريع إلى الشكل.

قد ترى ٦ مثلثات صغيرة، لكن توجد فوقها مثلثات مكوّنة من ٢ أو ٣ أو أكثر من المثلثات الصغيرة.

رتّب العد في جدول ذهني:

صغير → متوسط → كبير → الشكل الكامل.

١٣) العد حسب الاتجاه

في الشبكات المثلثية أو الأشكال المتداخلة، افصل بين:

المثلثات التي رأسها إلى الأعلى.

المثلثات التي رأسها إلى الأسفل.

وأي مثلثات جانبية إذا كانت الخطوط تسمح بها.

هذا يقلل تكرار العد أو نسيان بعض المثلثات.

١٤) المربع أو المستطيل مع قطر واحد

إذا رسم قطر واحد فقط داخل مربع أو مستطيل، فإنه يقسم الشكل إلى مثلثين.

١٥) مربع أو مستطيل مع القطرين

إذا رُسم القطران كاملين:

حول نقطة التقاطع توجد ٤ مثلثات صغيرة.

لكن إذا كان السؤال عن جميع المثلثات، توجد أيضًا ٤ مثلثات كبيرة، كل واحد منها نصف المربع أو المستطيل.

إذن العدد الكلي:

١٦) انتبه إلى صياغة السؤال: الصغيرة أم جميع المثلثات؟

السؤال قد يقول:

كم مثلثًا صغيرًا نتج حول نقطة التقاطع؟ ← الجواب في القطرين = ٤.

أو يقول:

كم عدد المثلثات في الشكل كله؟ ← نعد الصغيرة والكبيرة معًا.

اختلاف كلمة واحدة قد يغيّر الإجابة.

١٧) مثلثات من نقاط لا تقع ثلاثة منها على استقامة واحدة

إذا كان لدينا ن نقاط، ولا توجد أي ثلاثة نقاط منها على خط مستقيم، فإن كل اختيار لثلاث نقاط يكوّن مثلثًا.

مثال

٥ نقاط لا تقع أي ثلاثة منها على استقامة واحدة:

١٨) رؤوس مضلع محدب

في مضلع محدب له ن رؤوس، أي ثلاثة رؤوس مختلفة تكوّن مثلثًا.

إذن:

مثال

سداسي محدب:

١٩) إذا كانت بعض النقاط على استقامة واحدة

ثلاث نقاط على خط مستقيم لا تكوّن مثلثًا.

إذا كان لدينا ن نقاط، ومنها ح نقاط على خط مستقيم واحد، ولا توجد حالات تداخل أخرى، فإن:

مثال

٦ نقاط، منها ٤ على خط مستقيم، ولا توجد ثلاث نقاط أخرى على استقامة واحدة:

٢٠) إذا كانت كل النقاط على مستقيم واحد

لا يمكن تكوين أي مثلث؛ لأن المثلث يحتاج ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة.

إذن العدد = ٠.

٢١) الفرق بين قانون الرأس الواحد وقانون اختيار ثلاث نقاط

قانون:

يظهر عندما تكون لدينا قطع مستقيمة مشتركة في رأس واحد وكل زوج منها يصنع مثلثًا مع القاعدة.

أما:

فيظهر عندما نختار ثلاث نقاط لتكوين رؤوس مثلث.

لا تخلط بين النمطين.

٢٢) لا تفترض أن كل ثلاثة خطوط تصنع مثلثًا

في الرسومات الخطية، وجود ثلاثة خطوط لا يعني بالضرورة وجود مثلث.

يجب أن تتقاطع أو تتصل الخطوط الثلاثة بحيث تكوّن حدًا مغلقًا من ثلاثة أضلاع.

إذا كان أحد الأضلاع ناقصًا أو لم تتصل الرؤوس، فلا يوجد مثلث.

٢٣) الأشكال الناقصة أو المركبة

إذا كان جزء من أحد الأضلاع غير مرسوم، فلا تعتمد على التخيل لإكماله.

نعد فقط المثلثات التي أضلاعها الثلاثة موجودة فعلًا في الشكل.

هذه قاعدة مهمة جدًا في أسئلة العد البصري.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — قطع مشتركة في رأس

اجتمعت ٦ قطع مستقيمة في رأس واحد، وانتهت عند قاعدة مستقيمة. كم مثلثًا يمكن تكوينه؟

أ) ٦
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢١

مثال ٢ — أجزاء القاعدة

قُسّمت قاعدة مثلث إلى ٥ أجزاء بخطوط تخرج من رأسه. كم عدد المثلثات؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٢٥

مثال ٣ — نقاط

لدى شكل ٧ نقاط لا تقع أي ثلاثة منها على استقامة واحدة. كم مثلثًا يمكن تكوينه؟

أ) ٢١
ب) ٢٨
ج) ٣٥
د) ٤٢

مثال ٤ — مربع بقطرين

مربع رُسم فيه قطراه كاملين. كم عدد المثلثات في الشكل كله؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٢

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مثلث كبير يحتوي على ٤ خطوط داخلية إضافية، كلها تخرج من الرأس نفسه إلى القاعدة. كم عدد المثلثات في الشكل؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢١
د) ٢٨

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: عد المثلثات الصغيرة فقط ونسيان المثلثات المركبة.

الخطأ الثاني: تطبيق قانون الرأس الواحد على أي شكل مثلثي.

الخطأ الثالث: الخلط بين عدد القطع المشتركة في الرأس وعدد أجزاء القاعدة.

الخطأ الرابع: إذا أعطاك السؤال الخطوط الداخلية فقط، نسيان ضلعي المثلث الخارجيين.

الخطأ الخامس: الخلط بين و.

الخطأ السادس: عد مثلث غير مكتمل لأن الطالب تخيل ضلعًا غير مرسوم.

الخطأ السابع: في مربع ذي قطرين، الإجابة بـ٤ رغم أن السؤال يطلب جميع المثلثات وليس الصغيرة فقط.

الخطأ الثامن: عد المجموعة نفسها مرتين عند الانتقال بين الأحجام أو الاتجاهات.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ن قطع تشترك في رأس واحد وتنتهي على قاعدة واحدة ← .

التكتيك الثاني: القاعدة مقسّمة إلى م أجزاء من رأس واحد ← .

التكتيك الثالث: ك خطوط داخلية فقط من الرأس ← أضف ضلعي المثلث أولًا، فيصبح العدد .

التكتيك الرابع: ن نقاط بلا ثلاث نقاط على استقامة واحدة ← .

التكتيك الخامس: شكل مركب ← عد حسب الحجم ثم حسب الاتجاه.

التكتيك السادس: لا تحسب مثلثًا إلا إذا كانت أضلاعه الثلاثة موجودة ومتصلة فعلًا.

التكتيك السابع: عندما يعطيك العدد الكلي في نمط الرأس الواحد، اختبر الأعداد المثلثية: ١، ٣، ٦، ١٠، ١٥، ٢١، ٢٨...

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

اجتمعت ٤ قطع مستقيمة في رأس واحد وانتهت عند قاعدة مستقيمة. كم مثلثًا يمكن تكوينه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٢

اجتمعت ٥ قطع مستقيمة في رأس واحد وانتهت عند قاعدة مستقيمة. كم مثلثًا؟

أ) ٥
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٥

سؤال ٣

قُسّمت قاعدة مثلث إلى ٦ أجزاء بخطوط من الرأس. كم عدد المثلثات؟

أ) ١٥
ب) ٢١
ج) ٢٨
د) ٣٦

سؤال ٤

مثلث فيه خطان داخليان إضافيان من الرأس إلى القاعدة. كم مثلثًا يحتوي؟

أ) ٣
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٥

قاعدة مقسّمة إلى ٧ أجزاء. كم مثلثًا يتكون من ٣ أجزاء متجاورة فقط؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

سؤال ٦

في نمط الرأس الواحد، كان عدد المثلثات الكلي ٢٨. إلى كم جزء قُسّمت القاعدة؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٧

مستطيل رُسم فيه قطر واحد فقط. كم مثلثًا ينتج؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٤
د) ٨

سؤال ٨

مربع رُسم فيه قطراه. كم مثلثًا صغيرًا فقط حول نقطة التقاطع؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

سؤال ٩

مربع رُسم فيه قطراه. كم عدد المثلثات في الشكل كله؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ١٠

٥ نقاط لا تقع أي ثلاثة منها على استقامة واحدة. كم مثلثًا يمكن تكوينه؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ١١

سداسي محدب. كم مثلثًا يمكن تكوينه باختيار ثلاثة من رؤوسه؟

أ) ١٥
ب) ١٨
ج) ٢٠
د) ٢٤

سؤال ١٢

٧ نقاط، منها ٤ على خط مستقيم واحد، ولا توجد ثلاث نقاط أخرى على استقامة واحدة. كم مثلثًا يمكن تكوينه؟

أ) ٣١
ب) ٣٥
ج) ٣٩
د) ٤٢

سؤال ١٣

٦ نقاط كلها على خط مستقيم واحد. كم مثلثًا يمكن تكوينه منها؟

أ) ٠
ب) ٦
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ١٤

مثلث يحتوي على ٥ خطوط داخلية إضافية، كلها من الرأس نفسه إلى القاعدة. كم عدد المثلثات؟

أ) ١٥
ب) ٢١
ج) ٢٨
د) ٣٦

٢٩) ملخص الدرس

لا يوجد قانون واحد لكل رسومات المثلثات.

إذا كانت ن قطع مستقيمة تشترك في رأس واحد وتنتهي على قاعدة واحدة:

وإذا كانت القاعدة مقسّمة إلى م أجزاء من رأس واحد:

وإذا كان لدينا ن نقاط لا تقع أي ثلاثة منها على استقامة واحدة:

أما الأشكال المركبة، فالأفضل عدّها حسب الحجم والاتجاه، مع التأكد من أن كل مثلث محسوب له ثلاثة أضلاع مرسومة فعلًا.