١) الفكرة الأساسية

في مسائل المسطرة توجد كميات متشابهة في الاسم لكنها مختلفة:

عدد المسافات أو الأجزاء.

عدد الشرطات كلها مع البداية والنهاية.

عدد الشرطات الداخلية فقط.

وأكثر الأخطاء تأتي من الخلط بينها.

٢) إذا عرفت عدد المسافات

إذا كان لدينا ن مسافات متساوية على خط مستقيم:

لأن كل مسافة تحتاج حدين، والمسافات المتجاورة تشترك في الحدود الداخلية.

٣) إذا عرفت عدد الشرطات كلها

إذا كان عدد الشرطات مع البداية والنهاية = ش:

مثال

٣١ شرطة متتالية:

مسافة.

٤) الشرطات الداخلية فقط

إذا كان لدينا ن مسافات متساوية، فعدد الشرطات كلها = ن+١.

بحذف شرطة البداية وشرطة النهاية يبقى:

إذن:

٥) إذا أعطاك عدد الشرطات الداخلية

إذا كان عدد الشرطات الداخلية = د، فإنها تقع بين طرفين.

إذن عدد المسافات:

وعدد الشرطات كلها مع الطرفين:

مثال

٩ شرطات داخلية بين طرفين:

المسافات = ١٠.

والشرطات مع الطرفين = ١١.

٦) تصحيح مهم لعبارة «ن شرطات تقسّم الخط»

لا يوجد قانون واحد دون معرفة هل ن تشمل الطرفين أم لا.

إذا كانت ن شرطات داخلية فقط أضيفت بين طرفين، فإنها تقسم الخط إلى:

جزءًا.

أما إذا كانت ن هي كل الشرطات مع الطرفين، فإنها تصنع:

جزءًا.

٧) مسطرة بالسنتيمتر فقط

إذا كانت المسطرة من ٠ إلى ن سم، وكانت الشرطات عند كل سنتيمتر:

عدد المسافات السنتيمترية = ن.

عدد شرطات السنتيمتر مع ٠ والنهاية:

مثال

من ٠ إلى ١٢ سم:

شرطة سنتيمتر.

٨) لماذا نحسب شرطة الصفر؟

المسطرة من ٠ إلى ١٢ تحتوي ١٢ مسافة طول كل منها ١ سم.

لكن حدود هذه المسافات هي:

٠، ١، ٢، ٣، ...، ١٢.

لذلك عدد العلامات ١٣، لا ١٢.

٩) المسطرة المقسمة إلى ملليمترات

نعلم أن:

إذا كان طول المسطرة ل سم، فعدد المسافات الملليمترية:

وعدد الشرطات عند كل ملليمتر مع الطرفين:

مثال

مسطرة طولها ١٥ سم:

مسافة ملليمترية.

والشرطات:

١٠) بين ٠ و١ سم: ثلاثة أعداد يجب تمييزها

إذا كان السنتيمتر مقسمًا إلى ١٠ أجزاء:

المسافات الصغيرة = ١٠.

كل الشرطات مع ٠ و١ = ١١.

الشرطات الداخلية بين ٠ و١ فقط = ٩.

إذن كلمة «بين» قد تغيّر الإجابة بالكامل.

١١) شرطات السنتيمتر مقابل كل شرطات الملليمتر

في مسطرة طولها ١٠ سم:

شرطات السنتيمتر فقط:

أما كل العلامات عند كل ملليمتر:

إذن اقرأ هل السؤال يطلب العلامات الكبرى فقط أم جميع التقسيمات.

١٢) الشرطات الصغيرة فقط دون شرطات السنتيمتر

داخل كل سنتيمتر مقسم إلى ١٠ أجزاء توجد ٩ شرطات صغيرة داخلية بين علامتي السنتيمتر.

إذن في مسطرة طولها ل سم:

مثال

في ٦ سم:

شرطة ملليمترية صغيرة لا تقع على عدد صحيح من السنتيمترات.

١٣) فرق مهم: «الشرطات الداخلية» و«الشرطات الصغيرة»

الشرطات الداخلية: كل العلامات بين طرفي المسطرة، وقد تشمل شرطات سنتيمتر رئيسية.

الشرطات الصغيرة فقط: العلامات الجزئية بين علامتي سنتيمتر متتاليتين، ولا تشمل شرطات السنتيمتر.

مثال

من ٠ إلى ٢ سم مع علامة كل ملم:

كل المسافات = ٢٠.

الشرطات الداخلية كلها:

ومنها الشرطة الرئيسية عند ١ سم.

أما الشرطات الصغيرة فقط:

١٤) إذا كان كل سنتيمتر مقسمًا إلى ك أجزاء

ليست كل المساطر في السؤال مقسمة إلى ١٠ أجزاء.

إذا كان طول المسطرة ل سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ك أجزاء متساوية:

١٥) الشرطات الجزئية الصغيرة في التقسيم العام

إذا كان كل سنتيمتر مقسمًا إلى ك أجزاء، فإن داخل كل سنتيمتر:

شرطة جزئية صغيرة.

وفي ل سنتيمترات:

شرطة جزئية صغيرة لا تشمل شرطات السنتيمتر الرئيسية.

مثال

٨ سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ٥ أجزاء:

شرطة جزئية صغيرة.

١٦) إذا كانت العلامة كل د من الوحدات

إذا كان طول الخط ل، والمسافة بين كل علامتين متتاليتين د، وكان الطرفان علامتين:

عندما يقبل ل القسمة على د.

مثال

خط طوله ٢٤ سم، وعلامة كل ٢ سم:

علامة.

١٧) مسطرة تبدأ من رقم غير الصفر

إذا كان الجزء المطلوب من أ سم إلى ب سم، فطوله:

وليس ب وحده.

مثال

من ٣ إلى ٨ سم:

سم.

إذا كانت العلامة كل ١ سم، فهناك ٥ مسافات و٦ علامات مع الطرفين.

١٨) من أ إلى ب مع ك تقسيمات لكل سنتيمتر

طول الجزء:

عدد المسافات الصغيرة:

عدد الشرطات مع الطرفين:

والشرطات الداخلية:

١٩) مثال من ٢ إلى ٥ سم بالملليمتر

الطول:

سم.

عدد المسافات الملليمترية:

كل الشرطات مع طرفي ٢ و٥:

الشرطات الواقعة بينهما دون الطرفين:

٢٠) إيجاد الطول من عدد الشرطات

إذا كانت كل الشرطات مع البداية والنهاية = ش، فعدد المسافات:

إذا كانت المسافة بين الشرطات = د:

مثال

٨١ شرطة، وبين كل شرطتين ١ ملم:

٢١) إيجاد الطول من الشرطات الداخلية

إذا كان عدد الشرطات الداخلية فقط = د، فإن عدد المسافات = د+١.

إذا كانت المسافة البينية م:

مثال

١٩ شرطة داخلية، والمسافة بينها وبين الحدود المتتالية ٢ ملم:

أي ٤ سم.

٢٢) إيجاد عدد التقسيمات في كل سنتيمتر

إذا كان طول المسطرة ل سم وعدد المسافات الصغيرة الكلي ن:

مثال

مسطرة ٨ سم فيها ٤٠ مسافة صغيرة متساوية:

أجزاء في كل سنتيمتر.

٢٣) الفرق بين «عدد الأجزاء» و«عدد القطوع»

إذا كان لدينا قطعة مستقيمة واحدة ونريد تقسيمها إلى ن أجزاء، فإن عدد الشرطات الداخلية الجديدة المطلوبة هو:

مثال

تقسيم قطعة إلى ٦ أجزاء متساوية يحتاج:

شرطات داخلية فاصلة، إضافة إلى طرفي القطعة الموجودين أصلًا.

٢٤) إذا أضفت شرطة داخلية واحدة

كل شرطة جديدة توضع داخل مسافة موجودة تقسّم تلك المسافة إلى اثنتين.

لذلك إضافة شرطة داخلية واحدة تزيد عدد الأجزاء بمقدار ١.

ومن هنا:

٢٥) إذا حذفت شرطة داخلية

حذف شرطة داخلية بين مسافتين يجعلهما مسافة واحدة.

لذلك ينقص عدد المسافات بمقدار ١.

أما حذف أحد الطرفين من العد فقط فلا يغير التقسيم الفعلي، بل يغير عدد الشرطات المحسوبة في السؤال.

٢٦) مقارنة مسطرتين بنفس الطول

إذا كان الطول نفسه، فالمسطرة ذات التقسيمات الأكثر في كل سنتيمتر تحتوي مسافات أصغر وشرطات أكثر.

مثال

مسطرة ٥ سم:

إذا كان كل سم مقسمًا إلى ٥ أجزاء:

علامة.

إذا كان كل سم مقسمًا إلى ١٠ أجزاء:

علامة.

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — شرطات السنتيمتر

مسطرة من ٠ إلى ١٠ سم. كم عدد شرطات السنتيمتر مع احتساب الطرفين؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

مثال ٢ — كل شرطات الملليمتر

مسطرة طولها ١٠ سم وعليها علامة عند كل ١ ملم. كم عدد العلامات مع البداية والنهاية؟

أ) ٩٠
ب) ١٠٠
ج) ١٠١
د) ١١٠

مثال ٣ — الشرطات الداخلية

من ٠ إلى ١ سم، والسنتيمتر مقسم إلى ١٠ أجزاء. كم شرطة تقع بين الطرفين دون احتسابهما؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

مثال ٤ — عكس السؤال

يوجد ٦١ علامة متتالية، والمسافة بين كل علامتين ١ ملم. ما الطول من الأولى إلى الأخيرة؟

أ) ٥ سم
ب) ٦ سم
ج) ٦٫١ سم
د) ٦١ سم

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

جزء من مسطرة من ٣ سم إلى ٧ سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ٥ أجزاء متساوية. كم شرطة تقع داخل هذا الجزء دون احتساب شرطتي ٣ و٧؟

أ) ١٨
ب) ١٩
ج) ٢٠
د) ٢١

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: مساواة عدد الشرطات بعدد المسافات على خط مفتوح.

الخطأ الثاني: نسيان شرطة الصفر عند قول «من البداية إلى النهاية».

الخطأ الثالث: الخلط بين الشرطات كلها والشرطات الداخلية فقط.

الخطأ الرابع: الخلط بين «الشرطات الداخلية» و«الشرطات الصغيرة فقط»؛ فالداخلية قد تشمل علامات السنتيمتر الرئيسية.

الخطأ الخامس: استخدام ١٠ أجزاء لكل سنتيمتر حتى عندما يعطي السؤال تقسيمًا مختلفًا.

الخطأ السادس: في جزء يبدأ من رقم غير صفر، استخدام رقم النهاية بدل طرح البداية منه.

الخطأ السابع: إذا كان المطلوب تقسيم قطعة إلى ن أجزاء، القول إننا نحتاج ن شرطات داخلية؛ الصحيح ن−١.

الخطأ الثامن: عند إيجاد الطول من عدد الشرطات، الضرب في ش بدل ش−١.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: اسأل: هل المعطى «مسافات» أم «شرطات»؟

التكتيك الثاني: ن مسافات ← شرطة مع الطرفين.

التكتيك الثالث: ن شرطات مع الطرفين ← مسافة.

التكتيك الرابع: ن شرطات داخلية فقط ← مسافة.

التكتيك الخامس: طول ل سم وكل سم ك أجزاء ← المسافات ، وكل الشرطات .

التكتيك السادس: من أ إلى ب ← استخدم الطول .

التكتيك السابع: شرطات صغيرة فقط داخل كل سم ← لكل سنتيمتر.

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

مستقيم مقسم إلى ٤٠ مسافة متساوية. كم شرطة تحد هذه المسافات مع البداية والنهاية؟

أ) ٣٩
ب) ٤٠
ج) ٤١
د) ٤٢

سؤال ٢

مسطرة عليها ٥١ شرطة من البداية إلى النهاية. كم عدد المسافات بينها؟

أ) ٤٩
ب) ٥٠
ج) ٥١
د) ٥٢

سؤال ٣

من ٠ إلى ٨ سم، كم عدد شرطات السنتيمتر مع الطرفين؟

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠

سؤال ٤

مسطرة طولها ٥ سم وعليها علامة عند كل ١ ملم. كم عدد العلامات كلها؟

أ) ٤٩
ب) ٥٠
ج) ٥١
د) ٦٠

سؤال ٥

بين ٠ و١ سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ١٠ أجزاء. كم عدد المسافات الصغيرة؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ٢٠

سؤال ٦

بين ٠ و١ سم في المسطرة نفسها، كم شرطة داخلية دون الطرفين؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ٧

مسطرة طولها ٤ سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ٥ أجزاء. كم عدد المسافات الصغيرة؟

أ) ١٦
ب) ١٩
ج) ٢٠
د) ٢١

سؤال ٨

في السؤال السابق، كم عدد الشرطات كلها مع البداية والنهاية؟

أ) ١٩
ب) ٢٠
ج) ٢١
د) ٢٥

سؤال ٩

مسطرة طولها ٣ سم ومقسمة بالملليمتر. كم عدد الشرطات الصغيرة فقط، دون شرطات السنتيمتر الرئيسية؟

أ) ٢٧
ب) ٢٩
ج) ٣٠
د) ٣١

سؤال ١٠

جزء من مسطرة من ٢ إلى ٦ سم، وكل سنتيمتر مقسم إلى ١٠ أجزاء. كم عدد المسافات الصغيرة؟

أ) ٢٠
ب) ٣٠
ج) ٤٠
د) ٤١

سؤال ١١

في الجزء السابق، كم شرطة داخلية تقع بين ٢ و٦ دون الطرفين؟

أ) ٣٩
ب) ٤٠
ج) ٤١
د) ٤٢

سؤال ١٢

مسطرة عليها ١٠١ علامة متتالية عند كل ١ ملم. ما طولها؟

أ) ٩ سم
ب) ١٠ سم
ج) ١٠٫١ سم
د) ١١ سم

سؤال ١٣

قطعة مستقيمة يراد تقسيمها إلى ٨ أجزاء متساوية. كم شرطة داخلية جديدة نحتاج؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١٤

يوجد ٢٤ شرطة داخلية متساوية التباعد بين طرفي قطعة، والمسافة بين كل علامتين متتاليتين ٢ ملم. ما طول القطعة؟

أ) ٤٨ ملم
ب) ٥٠ ملم
ج) ٥٢ ملم
د) ٥٤ ملم

٣٢) ملخص الدرس

إذا كان لدينا ن مسافات على خط مستقيم:

إذا كان لدينا ن شرطات داخلية فقط:

وإذا كان طول المسطرة ل سم وكل سنتيمتر مقسم إلى ك أجزاء:

المهارة الأهم: حدّد بدقة هل السؤال يعدّ المسافات، أم جميع الشرطات، أم الشرطات الداخلية، أم الشرطات الصغيرة فقط.