١) الفكرة الأساسية

الدورة الكاملة تعني أن الجسم الدائر يعود إلى الوضع نفسه بعد لفة كاملة.

ومن أمثلتها:

عجلة سيارة أو دراجة.

شخص يجري حول مضمار دائري.

ترس يدور.

نقطة محددة على إطار عجلة.

في العجلة التي تتدحرج دون انزلاق، كل دورة كاملة تجعل العجلة تتقدم مسافة تساوي محيطها.

٢) القوانين الثلاثة الأساسية

إذا كان محيط الدورة الواحدة معلومًا:

٣) كيف أعرف المطلوب؟

مسافة + محيط ← عدد الدورات.

عدد دورات + محيط ← المسافة.

مسافة + عدد دورات ← المحيط.

حدد المجهول قبل أن تبدأ الحساب.

٤) ربط الدورة بمحيط الدائرة

إذا لم يعطك السؤال المحيط مباشرة، فقد يعطي نصف القطر أو القطر.

إذا كان نصف القطر نق:

وإذا كان القطر ق:

ثم نستخدم المحيط في قانون الدورات.

٥) مثال باستخدام نصف القطر

عجلة نصف قطرها ٧ سم، واعتبر:

محيط العجلة:

إذا دارت ١٠ لفات، فالمسافة:

٦) مثال باستخدام القطر

عجلة قطرها ١٤ سم، واعتبر:

المحيط:

إذا قطعت ٢٢٠ سم:

إذن دارت ٥ دورات.

٧) توحيد الوحدات قبل القسمة

المسافة والمحيط يجب أن يكونا بالوحدة نفسها.

لا تقسم مترًا على سنتيمتر مباشرة.

مثال

محيط عجلة ٢٥ سم، وقطعت ٥ أمتار.

نحوّل:

ثم:

٨) الدورات في المضمار الدائري

الفكرة نفسها تمامًا.

الدورة الواحدة حول المضمار = محيط المضمار.

مثال

مضمار محيطه ٤٠٠ متر، وركض شخص ٢٠٠٠ متر.

إذن أكمل ٥ دورات.

٩) الدورة الجزئية

قد لا تكون المسافة عددًا صحيحًا من المحيطات.

مثال

محيط عجلة ٤ أمتار، وقطعت ١٠ أمتار.

إذن دارت دورتين ونصفًا.

١٠) الدورات الكاملة فقط

إذا طلب السؤال عدد الدورات الكاملة، فلا نحسب الجزء غير المكتمل دورة كاملة.

مثال

عجلة محيطها ٦ أمتار وقطعت ٢٠ مترًا.

إذن أكملت ٣ دورات كاملة، ثم قطعت ٢ متر من الدورة التالية.

١١) الباقي يخبرك بالجزء المقطوع من الدورة التالية

إذا كانت:

فإن د هو عدد الدورات الكاملة، وب هو المسافة المقطوعة داخل الدورة التالية.

والجزء من الدورة التالية:

مثال

محيط عجلة ٨٠ سم، وقطعت ٢٢٠ سم.

إذن دورتان كاملتان، ثم:

من دورة إضافية.

١٢) ربط جزء الدورة بالزاوية

الدورة الكاملة = ٣٦٠ درجة.

إذا دار الجسم جزءًا مقداره ك من الدورة:

مثال

نصف دورة:

ربع دورة:

١٣) نقطة محددة على إطار العجلة

إذا بدأت نقطة على الإطار من موضع معين، فإن الدورات الكاملة لا تغير موضعها النسبي.

المهم هو الجزء المتبقي من آخر دورة.

مثال

إذا دارت العجلة ٧٫٥ دورة، فإن ٧ دورات كاملة تعيد النقطة إلى موضع البداية، ثم نصف دورة تضعها في الجهة المقابلة.

١٤) متى تعود النقطة إلى موضع البداية؟

تعود بعد عدد صحيح من الدورات الكاملة:

١، ٢، ٣، ٤، ...

إذا كان عدد الدورات مثل ٣٫٢٥، فهي لم تعد إلى موضع البداية؛ لأن هناك ربع دورة إضافية.

١٥) العلاقة بين حجم العجلة وعدد الدورات

للمسافة نفسها، كلما زاد محيط العجلة قل عدد دوراتها.

وكلما صغر المحيط زاد عدد الدورات.

لذلك عدد الدورات يتناسب عكسيًا مع المحيط.

١٦) مقارنة عجلتين قطعتا المسافة نفسها

إذا قطعت عجلتان المسافة نفسها:

حيث د عدد الدورات وم المحيط.

وبما أن المحيط يتناسب مع نصف القطر والقطر:

١٧) مثال مقارنة عجلتين

نصف قطر العجلة الأولى ١٠ سم، والثانية ١٥ سم، وقطعتا المسافة نفسها.

نسبة دورات الأولى إلى الثانية:

إذن العجلة الأصغر تدور ٣ دورات مقابل كل دورتين للعجلة الأكبر.

١٨) إذا تضاعف نصف القطر

يتضاعف المحيط أيضًا.

وللمسافة نفسها، يصبح عدد الدورات نصف ما كان عليه.

مثال

عجلة كانت تدور ٢٠ دورة لمسافة معينة. إذا تضاعف نصف قطرها، فإن عدد الدورات للمسافة نفسها يصبح:

١٩) التروس: الفكرة الأساسية

عندما يتشابك ترسان، السن الذي يتحرك في أحدهما يقابله سن في الآخر.

لذلك عدد الدورات يتناسب عكسيًا مع عدد الأسنان.

الترس ذو الأسنان الأكثر يدور عدد دورات أقل.

٢٠) قانون التروس

لترسين متشابكين:

حيث د عدد الدورات، وأ عدد الأسنان.

مثال

ترس فيه ٢٠ سنًا دار ٦ دورات، ومتصل بترس فيه ١٠ أسنان.

٢١) اتجاه دوران الترسين

ترسان متشابكان مباشرة يدوران في اتجاهين متعاكسين.

إذا دار الأول مع عقارب الساعة، يدور الثاني عكس عقارب الساعة.

أما عدد الدورات فنحسبه من عدد الأسنان، واتجاه الدوران مسألة منفصلة.

٢٢) سلسلة من ثلاثة تروس

إذا كان الترس الأول متشابكًا مع الثاني، والثاني مع الثالث، فإن الترس الأوسط يغير الاتجاه لكنه لا يغير النسبة النهائية بين الأول والثالث إلا بحسب عدد الأسنان.

لذلك:

إذا كانت التروس متشابكة مباشرة على التوالي دون نظام مركب آخر.

مثال

الترس الأول ٢٠ سنًا ودار ٦ دورات، والثالث ٣٠ سنًا:

٢٣) لا تخلط بين عدد الدورات والتكرار الدوري

في هذه الوحدة نتعامل مع دوران فعلي: عجلة، مضمار، ترس، أو لفة كاملة.

أما النمط مثل:

١، ٢، ٣، ٤، ١، ٢، ٣، ٤...

فهو متتابعة دورية، ويُحل بباقي القسمة على طول النمط. هذا نوع مختلف من المسائل.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — عدد الدورات

عجلة محيطها ٥ أمتار، قطعت ٧٥ مترًا. كم دورة دارت؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٠

مثال ٢ — المسافة

عجلة دارت ٣٠ دورة، ومحيطها متران. كم قطعت؟

أ) ١٥ مترًا
ب) ٣٠ مترًا
ج) ٤٥ مترًا
د) ٦٠ مترًا

مثال ٣ — محيط العجلة

عجلة قطعت ٩٠ مترًا في ١٥ دورة. ما محيطها؟

أ) ٤ أمتار
ب) ٥ أمتار
ج) ٦ أمتار
د) ٧ أمتار

مثال ٤ — ترسان

ترس فيه ٣٠ سنًا دار ٤ دورات، وهو متصل بترس فيه ١٥ سنًا. كم دورة يدور الترس الثاني؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

عجلة نصف قطرها ٧ سم، واعتبر . إذا قطعت ١١٠٠ سم، فكم دورة دارت؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٠
د) ٤٠

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: ضرب المسافة في المحيط بدل قسمة المسافة على المحيط عند طلب عدد الدورات.

الخطأ الثاني: استخدام نصف القطر نفسه على أنه مسافة الدورة الواحدة؛ مسافة الدورة هي المحيط.

الخطأ الثالث: الخلط بين القطر ونصف القطر في قانون المحيط.

الخطأ الرابع: القسمة قبل توحيد وحدات المسافة والمحيط.

الخطأ الخامس: إذا طلب السؤال الدورات الكاملة فقط، تقريب ٢٫٧ إلى ٣؛ الصحيح أن عدد الدورات الكاملة = ٢.

الخطأ السادس: الاعتقاد أن العجلة الأكبر تدور أكثر للمسافة نفسها؛ الصحيح أنها تدور أقل.

الخطأ السابع: في التروس، جعل عدد الدورات يتناسب طرديًا مع عدد الأسنان بدل عكسيًا.

الخطأ الثامن: الخلط بين الدوران الفيزيائي والمتتابعة الدورية.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: عجلة تتحرك دون انزلاق ← كل لفة تقطع محيطًا واحدًا.

التكتيك الثاني: عدد الدورات = المسافة ÷ المحيط.

التكتيك الثالث: نصف قطر أو قطر معطى ← احسب المحيط أولًا.

التكتيك الرابع: قبل القسمة، وحّد الوحدات.

التكتيك الخامس: «دورات كاملة» ← خذ الجزء الصحيح فقط، واحتفظ بالباقي لمعرفة موضعك في الدورة التالية.

التكتيك السادس: عجلتان للمسافة نفسها ← عدد الدورات عكسي مع نصف القطر أو القطر.

التكتيك السابع: ترسان متشابكان ← .

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

عجلة محيطها ٣ أمتار قطعت ٤٥ مترًا. كم دورة دارت؟

أ) ١٢
ب) ١٥
ج) ١٨
د) ٢٠

سؤال ٢

عجلة دارت ١٢ دورة وكان محيطها ٤ أمتار. كم مترًا قطعت؟

أ) ١٦
ب) ٣٠
ج) ٤٨
د) ٦٠

سؤال ٣

عجلة قطعت ١٠٠ متر في ٢٥ دورة. ما محيطها؟

أ) متران
ب) ٣ أمتار
ج) ٤ أمتار
د) ٥ أمتار

سؤال ٤

عجلة نصف قطرها ٧ سم، واعتبر . دارت ١٠ لفات. كم قطعت؟

أ) ٢٢٠ سم
ب) ٣٣٠ سم
ج) ٤٤٠ سم
د) ٦٦٠ سم

سؤال ٥

عجلة قطرها ١٤ سم، واعتبر . إذا قطعت ٢٢٠ سم، فكم دورة دارت؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ١٠
د) ١٤

سؤال ٦

عجلة نصف قطرها ٢١ سم، واعتبر . إذا قطعت ٦٦٠ سم، فكم دورة دارت؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ١٠

سؤال ٧

محيط عجلة ٢٥ سم، وقطعت مسافة ٥ أمتار. كم دورة دارت؟

أ) ١٠
ب) ٢٠
ج) ٢٥
د) ٥٠

سؤال ٨

مضمار دائري محيطه ٤٠٠ متر. كم دورة يحتاج شخص ليقطع ٢٤٠٠ متر؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

سؤال ٩

عجلة محيطها ٨٠ سم قطعت ٢٢٠ سم. كم دورة كاملة أكملت؟

أ) ٢
ب) ٢٫٥
ج) ٢٫٧٥
د) ٣

سؤال ١٠

دارت نقطة على إطار عجلة ٦٫٥ دورة ابتداءً من أعلى العجلة. أين تكون بالنسبة إلى موضع البداية؟

أ) في موضع البداية
ب) في الجهة المقابلة
ج) بعد ربع دورة
د) لا يمكن تحديده

سؤال ١١

عجلتان نصفا قطريهما ١٠ سم و١٥ سم قطعتا المسافة نفسها. ما نسبة عدد دورات العجلة الأولى إلى الثانية؟

أ) ٢:٣
ب) ٣:٢
ج) ١:٢
د) ١:١

سؤال ١٢

إذا تضاعف نصف قطر عجلة، فما عدد الدورات اللازمة لقطع المسافة نفسها مقارنة بالسابق؟

أ) يتضاعف
ب) يصبح النصف
ج) يصبح ثلاثة أمثال
د) لا يتغير

سؤال ١٣

ترس فيه ٣٠ سنًا دار ٤ دورات، وهو متصل بترس فيه ١٥ سنًا. كم دورة يدور الترس الثاني؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

سؤال ١٤

في سلسلة من ثلاثة تروس متشابكة، للترس الأول ٢٠ سنًا ودار ٦ دورات، وللترس الثالث ٣٠ سنًا. كم دورة يدور الترس الثالث؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٦
د) ٩

٢٩) ملخص الدرس

في العجلة أو المضمار:

إذا أعطى السؤال نصف القطر أو القطر، احسب المحيط أولًا، ووحّد الوحدات قبل القسمة.

إذا لم تكتمل الدورة، استخدم الباقي لمعرفة الجزء المقطوع من الدورة التالية.

وللمسافة نفسها، عدد الدورات يتناسب عكسيًا مع نصف قطر العجلة أو قطرها.

وفي التروس المتشابكة: