١) الفكرة الأساسية

هذا النوع من المسائل لا يعتمد على عدد الخبزات التي كانت مع كل شخص فقط.

بل نسأل:

كم كان مجموع الطعام؟

كم عدد الأشخاص الذين أكلوا؟

كم أكل كل شخص؟

كم بقي من طعام كل صاحب بعد حصته الشخصية؟

كم ساهم كل صاحب في إطعام الضيف؟

ثم نقسم المبلغ المدفوع بحسب المساهمة الفعلية.

٢) الخطأ الأشهر: القسمة حسب الملكية الأصلية

إذا كان مع الأول ٣ خبزات ومع الثاني ٥ خبزات، فلا نقسم المال مباشرة بنسبة ٣:٥.

السبب أن صاحبي الخبز أكلا أيضًا.

إذن جزء من خبزهما استهلكاه بأنفسهما، ولم يذهب كله إلى الضيف.

٣) خطوات الحل العامة

١. اجمع الطعام كله.

٢. احسب عدد الأشخاص الذين أكلوا.

٣. اقسم الطعام بالتساوي لمعرفة نصيب الفرد.

٤. مساهمة كل صاحب طعام = ما كان معه − ما أكله.

٥. بسّط نسبة المساهمات.

٦. اقسم المبلغ المدفوع بحسب هذه النسبة.

٤) المثال المشهور: ٣ و٥ خبزات

مع الأول ٣ خبزات، ومع الثاني ٥ خبزات، وجاء ثالث فأكل معهم بالتساوي.

مجموع الخبز:

عدد الأشخاص = ٣.

نصيب كل شخص:

مساهمة الأول:

مساهمة الثاني:

النسبة:

٥) إذا دفع الضيف ٨ ريالات

النسبة بين المساهمتين = ١:٧.

مجموع أجزاء النسبة:

قيمة الجزء:

الأول يأخذ ريالًا واحدًا، والثاني يأخذ ٧ ريالات.

٦) الصيغة المختصرة لشخصين وثالث ضيف

إذا كان مع الأول أ خبزات، ومع الثاني ب خبزات، وجاء ضيف ثالث، وأكل الثلاثة بالتساوي:

نصيب الفرد:

مساهمة الأول:

مساهمة الثاني:

وبما أن المقام ٣ مشترك، فالنسبة السريعة:

٧) لماذا يمكن حذف المقام ٣ في النسبة؟

لأن:

ونسبة مقدارين لا تتغير إذا ضربنا الطرفين في العدد نفسه.

نضرب الطرفين في ٣ فنحصل على:

٨) صيغة مباشرة لنصيب كل صاحب من المال

في حالة شخصين معهما طعام وضيف واحد فقط، وإذا كان كلا صاحبي الطعام مساهمًا فعليًا، وكان مبلغ الضيف م:

لأن مجموع جزأي النسبة المختصرة:

مثال

أ = ٣، ب = ٥، والمبلغ = ٢٤:

٩) إذا تغيّر المبلغ تبقى النسبة نفسها

ما دام عدد الخبزات وعدد الآكلين لم يتغيرا، فإن مساهمة كل صاحب لا تتغير.

إذن النسبة نفسها تبقى ثابتة، ويتغير فقط سعر الجزء.

مثال

في حالة ٣ و٥ خبزات، النسبة دائمًا ١:٧.

إذا دفع الضيف ١٦ ريالًا:

فيأخذ الأول ٢ والثاني ١٤.

١٠) مثال بنسبة أبسط

مع الأول ٤ خبزات، ومع الثاني ٥ خبزات، وجاء ثالث فأكل معهم بالتساوي.

الصيغة المختصرة:

النسبة:

إذا دفع ٩ ريالات، فالأول يأخذ ٣ والثاني ٦.

١١) حالة صاحب لم يقدّم شيئًا للضيف

قد يكون نصيب صاحب الطعام من الأكل مساويًا تمامًا لما كان معه.

مثال

مع الأول ٤ خبزات والثاني ٨، وجاء ثالث.

مجموع الخبز = ١٢، ونصيب كل شخص:

الأول كان معه ٤ وأكل ٤، إذن:

فلم يقدّم للضيف شيئًا، ولا يأخذ من مال الضيف في هذا النمط.

الثاني هو الذي قدّم حصة الضيف كلها.

١٢) متى تكون مساهمة صاحبي الطعام موجبة؟

في حالة شخصين وضيف واحد، مساهمة الأول موجبة إذا:

لكننا نستخدم المتغير العربي ب، لذا تكتب العلاقة عمليًا:

أي:

وبالمثل مساهمة الثاني موجبة إذا:

في أسئلة التقسيم القياسية يُفضّل أن تكون المساهمات غير سالبة حتى يكون توزيع المال مباشرًا وواضحًا.

١٣) إذا ظهرت مساهمة سالبة

المساهمة السالبة تعني أن هذا الشخص أكل أكثر مما كان يملكه أصلًا، أي أنه أخذ جزءًا من طعام الآخرين بدل أن يقدّم للضيف.

في هذه الحالة لا يصح استخدام العدد السالب كنسبة مالية للضيف دون معلومات إضافية عن كيفية تسوية ما أكله أصحاب الطعام أنفسهم.

لذلك إذا ظهر سالب، ارجع إلى نص السؤال ولا تطبق الصيغة المختصرة آليًا.

١٤) أكثر من ضيف: نرجع إلى الطريقة العامة

إذا كان عدد الضيوف أكثر من واحد، لا نستخدم صيغة:

بل نحسب نصيب الفرد من الطعام أولًا.

مثال

مع الأول ٦ خبزات ومع الثاني ٩، وجاء ٣ ضيوف.

عدد الأشخاص:

مجموع الخبز:

نصيب الفرد:

مساهمة الأول:

مساهمة الثاني:

النسبة:

١٥) إذا دفع الضيوف مبلغًا واحدًا

نكمل المثال السابق.

إذا دفع الضيوف ٣٠ ريالًا:

النسبة = ١:٢.

مجموع الأجزاء:

قيمة الجزء:

الأول يأخذ ١٠، والثاني يأخذ ٢٠.

١٦) أكثر من صاحب طعام

إذا كان هناك عدة أصحاب للطعام وعدة ضيوف، تظل الطريقة نفسها:

ثم لكل صاحب طعام:

وبعدها يقسم المبلغ بنسبة المساهمات الموجبة التي يحددها نموذج السؤال.

١٧) مثال بثلاثة أصحاب وضيف واحد

مع ثلاثة أشخاص ٤ و٥ و٧ خبزات، وجاء ضيف رابع، وأكل الجميع بالتساوي.

المجموع:

نصيب الفرد:

المساهمات:

إذن نسبة الاستحقاق:

إذا دفع الضيف ٢٠ ريالًا، يأخذ الثاني ٥ والثالث ١٥.

١٨) قيمة الطعام الذي استهلكه الضيف

يمكن التفكير بطريقة أخرى:

١. احسب كمية الطعام التي استهلكها الضيف أو الضيوف.

٢. اقسم المبلغ المدفوع على هذه الكمية لمعرفة القيمة الحسابية لكل وحدة طعام.

٣. اضرب مساهمة كل صاحب في قيمة الوحدة.

مثال ٣ و٥ مع ضيف واحد

الضيف أكل:

ودفع ٨ ريالات.

قيمة الخبزة الواحدة حسابيًا:

الأول قدّم ثلث خبزة، فيستحق:

والثاني قدّم سبعة أثلاث:

١٩) مجموع مساهمات أصحاب الطعام

إذا كان كل أصحاب الطعام لا يستهلكون أكثر من ملكيتهم، فإن مجموع مساهماتهم يساوي كمية الطعام التي أكلها الضيوف.

مثال

في ٣ و٥:

وهو بالضبط نصيب الضيف.

هذه طريقة ممتازة للتحقق من الحل.

٢٠) قانون عام لصاحب طعام واحد داخل مجموعة

إذا كان إجمالي الطعام ط، وإجمالي عدد الآكلين ن، وكان صاحب معين يملك أ وحدات من الطعام:

وصافي ما قدّمه هذا الصاحب:

هذا هو المبدأ العام الذي تقف خلفه جميع الصيغ المختصرة.

٢١) لا يشترط أن تكون الخبزات قابلة للقسمة إلى أعداد صحيحة

قد يكون نصيب الشخص كسرًا من الخبزة، مثل:

وهذا طبيعي في المسألة؛ لأننا نفترض إمكان تقسيم الطعام إلى أجزاء متساوية.

لا تقرّب الكسر.

٢٢) إذا كانت الحصص غير متساوية

كل القوانين السابقة تفترض أن السؤال يقول إن الجميع أكل بالتساوي.

إذا كانت الحصص مختلفة، فلا تستخدم «إجمالي الطعام ÷ عدد الأشخاص» للجميع.

استخدم الحصة المحددة لكل شخص في نص السؤال، ثم احسب ما قدّمه كل صاحب للضيف.

٢٣) إذا لم يأكل أصحاب الطعام

إذا نص السؤال على أن أصحاب الطعام لم يأكلوا، وأن الطعام كله قُدّم للضيف أو الضيوف، فالوضع مختلف.

عندها قد يكون التقسيم بحسب كمية الطعام التي قدمها كل صاحب مباشرة.

إذن عبارة «أكلوا بالتساوي» هي التي تجعلنا نطرح الحصة الشخصية أولًا.

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحالة الأساسية

مع الأول ٣ خبزات والثاني ٥، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي ثم دفع ١٦ ريالًا. كم يأخذ الثاني؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤

مثال ٢ — نسبة ١:٢

مع الأول ٤ خبزات والثاني ٥، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي ثم دفع ١٢ ريالًا. كم يأخذ الأول؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

مثال ٣ — مساهمة صفر

مع الأول ٤ خبزات والثاني ٨، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. إذا دفع الضيف ١٥ ريالًا، كم يأخذ الأول؟

أ) ٠
ب) ٣
ج) ٥
د) ١٥

مثال ٤ — عدة ضيوف

مع الأول ٦ خبزات والثاني ٩، وجاء ٣ ضيوف وأكل الجميع بالتساوي. دفع الضيوف ٣٠ ريالًا. كم يأخذ الثاني؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٢٥

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مع الأول أ خبزات ومع الثاني ب خبزات، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. إذا كانت مساهمة الأول للضيف ضعف مساهمة الثاني، فأي علاقة صحيحة؟

أ) أ = ب
ب) أ = ٢ب
ج) ٥أ = ٤ب
د) ٤أ = ٥ب

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: تقسيم المال بنسبة الخبزات الأصلية مباشرة.

الخطأ الثاني: نسيان أن أصحاب الطعام أكلوا أيضًا.

الخطأ الثالث: تقريب نصيب الفرد إذا ظهر كسر.

الخطأ الرابع: استخدام صيغة ٢أ−ب و٢ب−أ مع أكثر من ضيف.

الخطأ الخامس: عدم تبسيط النسبة قبل تقسيم المال.

الخطأ السادس: إعطاء جزء من المال لشخص كانت مساهمته صفرًا.

الخطأ السابع: استخدام نسبة سالبة كأنها نسبة مالية عادية دون مراجعة معنى المسألة.

الخطأ الثامن: تطبيق قانون التساوي عندما يقول السؤال إن الحصص غير متساوية.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ابدأ دائمًا بنصيب الفرد، لا بنسبة الخبزات.

التكتيك الثاني: مساهمة صاحب الطعام = ما معه − ما أكل.

التكتيك الثالث: شخصان + ضيف واحد فقط ← استخدم:

التكتيك الرابع: إذا تغير مبلغ الضيف فقط، لا تعِد حساب المساهمات؛ النسبة لم تتغير.

التكتيك الخامس: أكثر من ضيف أو أكثر من صاحب ← ارجع إلى الطريقة العامة.

التكتيك السادس: تحقق أن مجموع مساهمات أصحاب الطعام يساوي ما أكله الضيوف في الحالة القياسية.

التكتيك السابع: مساهمة صفر ← لا نصيب له من مبلغ الضيف في هذا النمط.

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

مع الأول ٣ خبزات والثاني ٥، وجاء ثالث فأكل معهم بالتساوي ودفع ٨ ريالات. كم يأخذ الأول؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٥

سؤال ٢

في المسألة السابقة، كم يأخذ صاحب الخبزات الخمس؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٣

مع الأول ٤ خبزات والثاني ٥، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. ما نسبة مساهمة الأول إلى الثاني؟

أ) ١:١
ب) ١:٢
ج) ٢:٣
د) ٣:٥

سؤال ٤

في الحالة ٤ و٥ خبزات، دفع الضيف ١٨ ريالًا. كم يأخذ الثاني؟

أ) ٦
ب) ٩
ج) ١٢
د) ١٥

سؤال ٥

مع الأول ٥ خبزات والثاني ٧، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. ما نسبة مساهمة الأول إلى الثاني؟

أ) ١:٢
ب) ١:٣
ج) ٢:٣
د) ٣:٧

سؤال ٦

في الحالة ٥ و٧، دفع الضيف ٢٠ ريالًا. كم يأخذ صاحب ٧ خبزات؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ٧

مع الأول ٤ خبزات والثاني ٨، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. ما مساهمة الأول للضيف؟

أ) ٠
ب) ١
ج) ٢
د) ٤

سؤال ٨

مع الأول ٦ خبزات والثاني ٩، وجاء ٣ ضيوف فأكل الجميع بالتساوي. ما نصيب كل شخص من الخبز؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٥

سؤال ٩

في المسألة السابقة، ما نسبة مساهمة الأول إلى الثاني في إطعام الضيوف؟

أ) ١:١
ب) ١:٢
ج) ٢:٣
د) ٣:٥

سؤال ١٠

في المسألة السابقة، إذا دفع الضيوف ٤٥ ريالًا، فكم يأخذ الأول؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٣٠

سؤال ١١

مع ثلاثة أصحاب ٤ و٥ و٧ خبزات، وجاء ضيف رابع، وأكل الجميع بالتساوي. ما نسبة مساهماتهم؟

أ) ٠:١:٣
ب) ١:٢:٣
ج) ٤:٥:٧
د) ١:١:٢

سؤال ١٢

في الحالة السابقة، إذا دفع الضيف ٢٤ ريالًا، فكم يأخذ صاحب ٧ خبزات؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢٤

سؤال ١٣

مع الأول ٦ خبزات والثاني ٨، وجاء ثالث فأكل معهم بالتساوي. ما نسبة مساهمة الأول إلى الثاني؟

أ) ١:٢
ب) ٢:٥
ج) ٣:٥
د) ٤:٥

سؤال ١٤

مع الأول ٧ خبزات والثاني ٨، وجاء ثالث وأكل معهم بالتساوي. إذا دفع ٢٥ ريالًا، فكم يأخذ الأول؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٥

٢٩) ملخص الدرس

القاعدة الأساسية:

ثم:

ونقسم المال بنسبة المساهمات.

في الحالة الخاصة: شخصان معهما أ وب، وضيف ثالث واحد، والجميع يأكل بالتساوي:

لكن هذه الصيغة لا تعمم على أكثر من ضيف، ولا ينبغي استخدام مساهمة سالبة كنسبة مالية دون الرجوع إلى معنى السؤال.