دليل منهج اختبار القدرات
قانون عدد الأقطار
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
القطر في المضلع يصل بين رأسين غير متجاورين. إذا كان للمضلع ن أضلاع، فمن رأس واحد يمكن رسم ن−٣ أقطار، وعدد الأقطار المختلفة في المضلع كله = ن(ن−٣)÷٢.
مثال
في السداسي ن=٦؛ من رأس واحد توجد ٣ أقطار، وفي السداسي كله عدد الأقطار = ٦×٣÷٢ = ٩ أقطار.
الشرح المفصّل
١) ما هو قطر المضلع؟
القطر هو قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع.
أما القطعة التي تصل بين رأسين متجاورين فهي ضلع، وليست قطرًا.
لذلك عند العد نميز دائمًا بين:
الأضلاع.
الأقطار.
٢) عدد الأقطار من رأس واحد
في مضلع له ن رؤوس، لا يمكن للرأس أن يصنع قطرًا مع:
نفسه.
الرأس المجاور له من جهة.
الرأس المجاور له من الجهة الأخرى.
لذلك نستبعد ٣ رؤوس من أصل ن:
٣) مثال من رأس واحد
في مضلع ثماني:
إذن الأقطار الخارجة من رأس واحد:
٤) عدد الأقطار في المضلع كله
إذا كان للمضلع ن أضلاع أو ن رؤوس:
هذا هو القانون الأساسي.
٥) لماذا نضرب في ن؟
من كل رأس يمكن رسم:
أقطار.
ولو فعلنا ذلك مع جميع الرؤوس، نحصل أولًا على:
لكن هذا العدد يكرر كل قطر مرتين.
٦) لماذا نقسم على ٢؟
القطر من الرأس أ إلى الرأس ب هو نفسه القطر من ب إلى أ.
لذلك كل قطر عُد مرتين في:
فنقسم على ٢:
٧) اشتقاق آخر: اختيار أي رأسين
عدد القطع التي يمكن رسمها بين كل زوج من رؤوس مضلع ن هو:
وهذه القطع تشمل:
ن أضلاع.
وبقية القطع أقطار.
إذن:
٨) علاقة مهمة: الأضلاع + الأقطار
كل زوج من الرؤوس يحدد إما ضلعًا أو قطرًا.
لذلك:
مثال
في سداسي:
منها ٦ أضلاع و٩ أقطار:
٩) القيم الأساسية التي يفضل معرفتها
المثلث: ٠ قطر.
الرباعي: ٢ قطران.
الخماسي: ٥ أقطار.
السداسي: ٩ أقطار.
السباعي: ١٤ قطرًا.
الثماني: ٢٠ قطرًا.
التساعي: ٢٧ قطرًا.
العشاري: ٣٥ قطرًا.
١٠) المثلث لا يحتوي على أقطار
في المثلث:
لأن كل رأسين في المثلث متجاوران أصلًا.
١١) الرباعي
في الرباعي:
إذن كل رباعي له قطران.
١٢) الخماسي
في الخماسي:
واللافت أن عدد أقطار الخماسي يساوي عدد أضلاعه.
١٣) السداسي
في السداسي:
وفي السداسي المنتظم يمكن تصنيف هذه الأقطار إلى:
٣ أقطار تصل بين رؤوس متقابلة وتمر بالمركز.
٦ أقطار أخرى لا تصل بين رؤوس متقابلة.
المجموع:
١٤) المنتظم وغير المنتظم
عدد الأقطار يعتمد على عدد الرؤوس، وليس على كون المضلع منتظمًا.
فكل خماسي له ٥ أقطار من حيث عدد الأزواج غير المتجاورة، سواء كان منتظمًا أو غير منتظم.
١٥) إذا أعطاك عدد الأقطار وطلب عدد الأضلاع
نستخدم:
وفي الاختيارات، غالبًا تجربة القيم أسرع من حل معادلة تربيعية.
مثال
مضلع له ٢٠ قطرًا.
نجرب ن = ٨:
إذن المضلع ثماني.
١٦) إذا أعطاك عدد الأقطار من رأس واحد
هذه الحالة أبسط.
إذا كان عدد الأقطار من رأس واحد = د:
إذن:
مثال
من رأس واحد يمكن رسم ٧ أقطار:
إذن المضلع عشاري.
١٧) الفرق بين «من رأس واحد» و«في المضلع كله»
من رأس واحد:
في المضلع كله:
الخلط بين هذين القانونين من أكثر الأخطاء شيوعًا.
١٨) عدد المثلثات الناتجة من أقطار رأس واحد
إذا رسمنا جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد في مضلع محدب، فإنها تقسم المضلع إلى:
مثلثات.
أما عدد الأقطار المرسومة من ذلك الرأس فهو:
مثال
سداسي:
الأقطار من رأس واحد = ٣.
وعدد المثلثات الناتجة:
١٩) إيجاد عدد الأضلاع من عدد المثلثات الناتجة
إذا رسمت الأقطار من رأس واحد وقُسّم المضلع إلى م مثلثات:
إذن:
مثال
إذا نتج ٨ مثلثات:
فالمضلع عشاري.
٢٠) مجموع عدد الأضلاع والأقطار
بدل حسابهما منفصلين، يمكن استخدام:
مثال
سباعي:
ويمكن التحقق:
٢١) متى يتساوى عدد الأقطار مع عدد الأضلاع؟
نبحث عن:
لأن ن موجب، نقسم على ن:
إذن:
فالخماسي هو المضلع الذي يتساوى فيه عدد الأقطار مع عدد الأضلاع.
٢٢) ماذا يحدث عند إضافة رأس جديد؟
إذا انتقلنا من مضلع ن إلى مضلع ن+١، فإن عدد الأقطار الجديدة يزداد بمقدار:
مثال
من سداسي إلى سباعي:
السداسي ٩ أقطار، والسباعي ١٤.
٢٣) طريقة فهم الزيادة عند إضافة رأس
الرأس الجديد يتصل بجميع الرؤوس القديمة.
من هذه الوصلات يكون اثنان ضلعين جديدين مع رأسيه المجاورين.
وبقية الوصلات أقطار جديدة.
كما أن الضلع القديم الذي أصبح داخل الشكل يتحول إلى قطر.
فتكون الزيادة النهائية في عدد الأقطار:
٢٤) الفرق بين قطر المضلع وقطر الدائرة
قطر المضلع: قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين.
قطر الدائرة: قطعة تمر بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على محيطها.
تشابه الاسم لا يعني أن التعريف واحد.
٢٥) لا تخلط بين عدد الأقطار ونقاط تقاطعها
عدد الأقطار شيء، وعدد نقاط تقاطع الأقطار داخل المضلع شيء آخر.
قانون:
يحسب الأقطار فقط، ولا يحسب نقاط التقاطع.
٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١ — عدد الأقطار
كم عدد أقطار مضلع تساعي؟
أ) ١٨
ب) ٢١
ج) ٢٧
د) ٣٦
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٢ — من رأس واحد
كم قطرًا يمكن رسمه من رأس واحد في مضلع ذي ١٢ ضلعًا؟
أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٢
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٣ — عكس القانون
مضلع عدد أقطاره ٣٥. كم عدد أضلاعه؟
أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١
عند ن = ١٠:
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٤ — الأضلاع والأقطار
ما مجموع عدد الأضلاع والأقطار في مضلع ثماني؟
أ) ٢٠
ب) ٢٨
ج) ٣٦
د) ٥٦
الإجابة الصحيحة: ب.
٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى
مضلع يمكن من كل رأس فيه رسم ٦ أقطار. كم عدد أقطاره كلها؟
أ) ٢٤
ب) ٢٧
ج) ٣٠
د) ٣٦
من رأس واحد:
إذن:
عدد الأقطار الكلي:
الإجابة الصحيحة: ب.
٢٨) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: عد الأضلاع ضمن الأقطار.
الخطأ الثاني: استخدام ن−٣ على أنه عدد الأقطار في المضلع كله.
الخطأ الثالث: نسيان القسمة على ٢، فيُحسب كل قطر مرتين.
الخطأ الرابع: الاعتقاد أن المثلث له أقطار.
الخطأ الخامس: الخلط بين عدد الأقطار وعدد المثلثات الناتجة من أقطار رأس واحد.
الخطأ السادس: الخلط بين قطر المضلع وقطر الدائرة.
الخطأ السابع: عند إعطاء عدد الأقطار، حل معادلة طويلة رغم أن تجربة الخيارات أسرع.
الخطأ الثامن: استخدام قانون الأقطار لحساب نقاط التقاطع.
٢٩) تكتيكات القدرات
التكتيك الأول: من رأس واحد ← .
التكتيك الثاني: جميع الأقطار ← .
التكتيك الثالث: الأضلاع + الأقطار ← .
التكتيك الرابع: عدد الأقطار معلوم والمطلوب ن ← جرّب الخيارات غالبًا.
التكتيك الخامس: د أقطار من رأس واحد ← .
التكتيك السادس: رسم جميع الأقطار من رأس واحد يقسم المضلع المحدب إلى مثلثات.
التكتيك السابع: احفظ: خماسي ٥، سداسي ٩، سباعي ١٤، ثماني ٢٠.
٣٠) تدريب متدرج
سؤال ١
كم عدد أقطار المثلث؟
أ) ٠
ب) ١
ج) ٢
د) ٣
الإجابة: أ) ٠.
سؤال ٢
كم عدد أقطار الرباعي؟
أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٤
الإجابة: ب) ٢.
سؤال ٣
كم عدد أقطار الخماسي؟
أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦
الإجابة: ج) ٥.
سؤال ٤
كم عدد أقطار السباعي؟
أ) ٧
ب) ١٠
ج) ١٤
د) ٢١
الإجابة: ج.
سؤال ٥
كم عدد أقطار العشاري؟
أ) ٢٧
ب) ٣٠
ج) ٣٥
د) ٤٥
الإجابة: ج.
سؤال ٦
كم قطرًا يخرج من رأس واحد في مضلع تساعي؟
أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٩
الإجابة: ب.
سؤال ٧
من رأس واحد في مضلع يمكن رسم ٨ أقطار. كم عدد أضلاع المضلع؟
أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢
الإجابة: ج.
سؤال ٨
مضلع عدد أقطاره ٢٠. كم عدد أضلاعه؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
الإجابة: ج.
سؤال ٩
مضلع عدد أقطاره ٢٧. كم عدد أضلاعه؟
أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠
الإجابة: ج.
سؤال ١٠
ما مجموع عدد الأضلاع والأقطار في سداسي؟
أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢١
الإجابة: ج.
سؤال ١١
رُسمت جميع الأقطار الممكنة من رأس واحد في مضلع سباعي. إلى كم مثلثًا ينقسم المضلع؟
أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧
الإجابة: ب.
سؤال ١٢
رسم جميع الأقطار من رأس واحد قسم مضلعًا إلى ٩ مثلثات. كم عدد أضلاعه؟
أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢
الإجابة: ج.
سؤال ١٣
زاد عدد أضلاع مضلع من ٨ إلى ٩. بكم زاد عدد أقطاره؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
الثماني له ٢٠ قطرًا، والتساعي له ٢٧:
الإجابة: ب.
سؤال ١٤
أي مضلع يتساوى فيه عدد الأضلاع مع عدد الأقطار؟
أ) الرباعي
ب) الخماسي
ج) السداسي
د) السباعي
الإجابة: ب) الخماسي.
٣١) ملخص الدرس
من رأس واحد:
في المضلع كله:
الأضلاع مع الأقطار:
وعند رسم جميع الأقطار من رأس واحد في مضلع محدب، ينقسم إلى:
مثلثات.
أهم نقطة: لا تخلط بين ن−٣ من رأس واحد وبين ن(ن−٣)÷٢ للمضلع كاملًا.