١) الفكرة الأساسية: لا تعد الضلع المشترك مرتين

الشكل المنفصل يحتاج جميع أضلاعه.

أما عند تجاور شكلين في ضلع كامل، فإن هذا الضلع موجود مرة واحدة فقط ويخدم الشكلين معًا.

لذلك عدد الأعواد يعتمد على طريقة ترتيب الأشكال، وليس على عددها فقط.

٢) مربعات منفصلة

كل مربع منفصل يحتاج ٤ أعواد.

إذا كان عدد المربعات ن:

مثال

٥ مربعات منفصلة:

٣) مربعات متجاورة في صف واحد

المربع الأول يحتاج ٤ أعواد.

كل مربع جديد يشترك مع السابق في ضلع، فيضيف ٣ أعواد فقط.

إذن:

وبالتبسيط:

٤) لماذا القانون ٣ن+١؟

يمكن فهمه بطريقتين:

المربع الأول = ٤ أعواد، وكل مربع بعده = ٣ أعواد إضافية.

أو نبدأ من ٤ن للمربعات المنفصلة، ثم نوفر عودًا عند كل ضلع مشترك.

في صف من ن مربعات يوجد:

ضلعًا مشتركًا.

إذن:

٥) عدد الأعواد التي نوفرها بسبب التجاور

ن مربعات منفصلة تحتاج ٤ن.

ون مربعات متجاورة في صف تحتاج ٣ن+١.

الفرق:

أي أننا نوفر عودًا واحدًا لكل ضلع مشترك.

٦) إيجاد عدد المربعات من عدد الأعواد

إذا كان لدينا أ عودًا والمربعات متجاورة في صف:

إذن:

مثال

استخدم طالب ٣٧ عودًا:

٧) فحص سريع قبل قبول العدد

إذا كان السؤال عن مربعات متجاورة في صف، فإن:

يجب أن يقبل القسمة على ٣ حتى يكون عدد المربعات صحيحًا.

مثلًا ٢٣ عودًا لا تعطي عددًا صحيحًا من المربعات في هذا النمط؛ لأن:

٨) مثلثات منفصلة

كل مثلث منفصل يحتاج ٣ أعواد.

٩) مثلثات متجاورة في صف

إذا كان كل مثلث جديد يشترك مع السابق في ضلع واحد:

المثلث الأول يحتاج ٣ أعواد.

وكل مثلث جديد يضيف عودين فقط.

إذن:

مثال

٧ مثلثات متجاورة:

١٠) عكس قانون المثلثات المتجاورة

إذا كان عدد الأعواد أ:

ومنها:

مثال

٢٥ عودًا:

مثلثًا متجاورًا.

١١) أشكال سداسية متجاورة

الشكل السداسي الأول يحتاج ٦ أعواد.

إذا كان كل شكل جديد يشترك في ضلع واحد، فهو يضيف ٥ أعواد.

إذن:

١٢) القاعدة العامة لسلسلة أشكال تشترك في ضلع واحد

إذا كان الشكل المنفصل يحتاج أ أعواد، وكل شكل جديد يشترك في عود واحد كامل مع السابق:

وبالتبسيط:

المربع: أ = ٤ ← ٣ن+١.

المثلث: أ = ٣ ← ٢ن+١.

السداسي: أ = ٦ ← ٥ن+١.

١٣) قاعدة أعم: إذا كان كل شكل جديد يشترك في أكثر من عود

إذا نص السؤال على أن الشكل الأول يحتاج أ أعواد، وكل شكل جديد يشارك الشكل السابق في ج أعواد موجودة مسبقًا:

لا تستخدم هذه الصيغة إلا عندما يحدد الرسم أو السؤال مقدار الاشتراك بوضوح.

١٤) قاعدة قوية للأشكال غير المنتظمة من المربعات

إذا كان لدينا ن مربعات مرتبة بأي شكل، وعدد الأضلاع المشتركة بين أزواج المربعات = م:

السبب: لو كانت كلها منفصلة لاحتجنا ٤ن، وكل ضلع مشترك يوفر عودًا واحدًا.

مثال

١٠ مربعات في شكل غير منتظم بينها ١٢ ضلعًا مشتركًا:

١٥) شبكة مربعات من صفوف وأعمدة

إذا كانت الشبكة مكوّنة من ر صفوف وع أعمدة من المربعات الصغيرة:

١٦) فهم قانون الشبكة من الأعواد الرأسية والأفقية

في شبكة ر صفوف وع أعمدة:

عدد الأعواد الرأسية:

وعدد الأعواد الأفقية:

المجموع:

١٧) مثال شبكة ٢×٣

شبكة من صفين و٣ أعمدة:

مع أن عدد المربعات الصغيرة = ٦، فإنها تحتاج ١٧ عودًا فقط بسبب الأضلاع المشتركة.

١٨) لماذا صف من ٦ مربعات يختلف عن شبكة ٢×٣؟

كلا الشكلين يحتوي على ٦ مربعات صغيرة، لكن التجاور مختلف.

٦ مربعات في صف:

شبكة ٢×٣:

الشبكة فيها أضلاع مشتركة أكثر، ولذلك تحتاج أعوادًا أقل.

١٩) طريقة ثانية لاشتقاق قانون الشبكة

عدد المربعات الصغيرة:

لو كانت منفصلة لاحتاجت:

الأضلاع المشتركة أفقيًا بين المربعات:

والأضلاع المشتركة رأسيًا:

إجمالي الأضلاع المشتركة:

بطرحها من ٤رع نحصل مرة أخرى على:

٢٠) شبكة مربعة ن×ن

إذا كان عدد الصفوف = عدد الأعمدة = ن:

وبأخذ العامل المشترك:

مثال

شبكة ٤×٤:

٢١) إضافة عمود جديد إلى شبكة

إذا كانت الشبكة فيها ر صفوف، فإن إضافة عمود كامل جديد تزيد الأعواد بمقدار:

لأن الفرق بين شبكة ر×ع وشبكة ر×(ع+١) هو ٢ر+١.

مثال

إضافة عمود إلى شبكة من ٣ صفوف تحتاج:

أعواد إضافية.

٢٢) إضافة صف جديد إلى شبكة

إذا كانت الشبكة فيها ع أعمدة، فإن إضافة صف جديد تزيد الأعواد بمقدار:

مثال

إضافة صف إلى شبكة من ٥ أعمدة تحتاج:

٢٣) إيجاد أحد أبعاد الشبكة من عدد الأعواد

إذا كان عدد الصفوف ر معلومًا، وعدد الأعواد أ معلومًا:

نجمع حدود ع:

إذن:

مثال

شبكة من صفين تحتاج ٥٧ عودًا. عدد الأعمدة:

٢٤) فحص معقولية شبكة من الأعواد

إذا أعطاك السؤال عدد الصفوف وعدد الأعواد، فإن القيمة الناتجة لعدد الأعمدة يجب أن تكون عددًا صحيحًا موجبًا.

إذا ظهرت قيمة كسرية، فالمعطيات لا تمثل شبكة كاملة من المربعات وفق هذا النمط.

٢٥) الفرق بين الأعواد ومحيط الشكل

عدد الأعواد في الشبكة يشمل الأضلاع الداخلية المشتركة أيضًا.

أما المحيط فيحسب حدود الشكل الخارجية فقط.

مثال

شبكة ٢×٣:

عدد الأعواد = ١٧.

لكن محيط المستطيل الخارجي بوحدة ضلع المربع:

إذن لا تخلط بين السؤالين.

٢٦) إذا كان بعض الأعواد مفقودًا

احسب عدد الأعواد الذي يحتاجه الشكل الكامل أولًا، ثم قارن بالموجود.

مثال

شبكة ٢×٤ تحتاج:

إذا كان الموجود ١٩ عودًا، فعدد الأعواد الناقصة:

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — صف من المربعات

كم عودًا نحتاج لتكوين ٩ مربعات متجاورة في صف؟

أ) ٢٥
ب) ٢٧
ج) ٢٨
د) ٣٦

مثال ٢ — شبكة

كم عودًا تحتاج شبكة من ٣ صفوف و٤ أعمدة؟

أ) ٢٤
ب) ٢٨
ج) ٣١
د) ٤٨

مثال ٣ — عكس القانون

استخدم طالب ٤٦ عودًا لتكوين مربعات متجاورة في صف واحد. كم مربعًا كوّن؟

أ) ١٤
ب) ١٥
ج) ١٦
د) ١٧

مثال ٤ — أضلاع مشتركة

شكل مكوّن من ٨ مربعات، وبينها ٩ أضلاع مشتركة. كم عودًا في الشكل؟

أ) ٢١
ب) ٢٣
ج) ٢٥
د) ٣٢

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

شبكة من ٣ صفوف و٥ أعمدة، ثم أضيف إليها عمود كامل جديد. كم عودًا إضافيًا نحتاج؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ١١

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام ٤ن للمربعات المتجاورة؛ ٤ن للمربعات المنفصلة فقط.

الخطأ الثاني: نسيان الأعواد المشتركة أو عدها مرتين.

الخطأ الثالث: استخدام ٣ن+١ لشبكة متعددة الصفوف.

الخطأ الرابع: الخلط بين قانون المربعات المتجاورة وقانون المثلثات المتجاورة.

الخطأ الخامس: عند عكس القانون، قبول عدد كسري من الأشكال.

الخطأ السادس: افتراض أن عدد المربعات وحده يحدد عدد الأعواد، رغم أن طريقة الترتيب تؤثر.

الخطأ السابع: الخلط بين عدد الأعواد الكلي ومحيط الشكل الخارجي.

الخطأ الثامن: تطبيق قاعدة المشاركة في ضلع واحد على رسم يشارك فيه الشكل الجديد أكثر من ضلع دون فحص الرسم.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مربعات منفصلة ← .

التكتيك الثاني: مربعات متجاورة في صف ← .

التكتيك الثالث: مثلثات متجاورة في صف تشترك في ضلع ← .

التكتيك الرابع: شبكة ر×ع ← .

التكتيك الخامس: ترتيب غير منتظم من المربعات ← .

التكتيك السادس: أعطاك عدد الأعواد في صف من المربعات ← .

التكتيك السابع: قبل اختيار القانون، حدّد: منفصلة أم متجاورة؟ صف واحد أم شبكة؟ وكم ضلعًا مشتركًا؟

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

كم عودًا نحتاج لتكوين ٨ مربعات متجاورة في صف واحد؟

أ) ٢٤
ب) ٢٥
ج) ٣٢
د) ٣٣

سؤال ٢

كم عودًا نحتاج لتكوين ٧ مربعات منفصلة؟

أ) ٢١
ب) ٢٢
ج) ٢٨
د) ٢٩

سؤال ٣

كم عودًا نحتاج لتكوين ٩ مثلثات متجاورة، وكل مثلث جديد يشترك في ضلع واحد؟

أ) ١٨
ب) ١٩
ج) ٢٧
د) ٢٨

سؤال ٤

كم عودًا نحتاج لتكوين ٦ أشكال سداسية متجاورة في صف، وكل شكل جديد يشترك في ضلع واحد؟

أ) ٢٦
ب) ٣٠
ج) ٣١
د) ٣٦

سؤال ٥

استخدم طالب ٣٧ عودًا لتكوين مربعات متجاورة في صف. كم مربعًا كوّن؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٣

سؤال ٦

استخدم طالب ٢٥ عودًا لتكوين مثلثات متجاورة في صف. كم مثلثًا كوّن؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٣

سؤال ٧

كم عودًا تحتاج شبكة من صفين و٥ أعمدة؟

أ) ٢٢
ب) ٢٥
ج) ٢٧
د) ٣٠

سؤال ٨

كم عودًا تحتاج شبكة ٤×٤؟

أ) ٣٢
ب) ٣٦
ج) ٤٠
د) ٤٨

سؤال ٩

كم عودًا تحتاج شبكة من ٣ صفوف و٦ أعمدة؟

أ) ٣٩
ب) ٤٢
ج) ٤٥
د) ٥٤

سؤال ١٠

شكل مكوّن من ١٠ مربعات وفيه ١٢ ضلعًا مشتركًا. كم عودًا يحتاج؟

أ) ٢٦
ب) ٢٨
ج) ٣٠
د) ٤٠

سؤال ١١

كم عودًا نوفر عند جعل ٦ مربعات منفصلة متجاورة في صف واحد؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

سؤال ١٢

شبكة من ٣ صفوف. إذا أضفنا عمودًا جديدًا كاملًا، فكم عودًا إضافيًا نحتاج؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ١٣

شبكة مكوّنة من صفين تحتاج ٥٧ عودًا. كم عدد أعمدتها؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ١٤

شكل غير منتظم مكوّن من ١٢ مربعًا وفيه ١٥ ضلعًا مشتركًا. كم عودًا يحتاج؟

أ) ٣١
ب) ٣٣
ج) ٣٦
د) ٤٨

٣٢) ملخص الدرس

المربعات المنفصلة:

المربعات المتجاورة في صف:

المثلثات المتجاورة في صف:

شبكة من ر صفوف وع أعمدة:

وأقوى فكرة عامة: ابدأ بعدد الأعواد لو كانت الأشكال منفصلة، ثم اطرح عودًا واحدًا عن كل ضلع مشترك موجود بالفعل.