١) الفكرة الأساسية

عند مقارنة دائرتين، هناك مقاييس خطية ومقياس مساحي.

المقاييس الخطية:

نصف القطر.

القطر.

المحيط.

أما المساحة فتتغير بمربع التغير الخطي.

٢) القوانين التي نبني عليها

القطر:

المحيط:

أو:

المساحة:

٣) القاعدة الذهبية

إذا كانت نسبة نصفي القطرين:

فإن نسبة القطرين:

ونسبة المحيطين:

ونسبة المساحتين:

٤) لماذا نسبة القطر هي نفسها نسبة نصف القطر؟

لأن القطر في كل دائرة يساوي ضعف نصف القطر.

إذا كان نصفا القطرين أ وب:

إذن الضرب في ٢ لا يغير النسبة.

٥) لماذا نسبة المحيط هي نفسها نسبة نصف القطر؟

لأن:

فتُختصر:

من الطرفين.

لذلك لا نحتاج غالبًا إلى حساب قيمة ط عند مقارنة محيطي دائرتين.

٦) لماذا نسبة المساحة تُربّع؟

إذا كان نصفا القطرين أ وب:

إذن:

٧) مثال مباشر

نصفا قطري دائرتين ٢ و٥.

نسبة المحيطين:

نسبة المساحتين:

٨) إذا تضاعف نصف القطر

إذا أصبح نصف القطر ضعفين:

فالمحيط يصبح ضعفين:

أما المساحة فتصبح:

أي أربعة أمثال.

٩) إذا أصبح نصف القطر ثلاثة أمثال

النسبة الخطية:

نسبة المحيط:

نسبة المساحة:

١٠) إذا كان القطر هو المعطى

لا تحتاج إلى تحويل القطر إلى نصف القطر إذا كان المطلوب مجرد نسبة.

نسبة القطرين = نسبة نصفي القطرين مباشرة.

مثال

قطرا دائرتين بنسبة ٤:٧.

إذن نسبة المحيطين:

ونسبة المساحتين:

١١) إذا كانت نسبة المحيطين معلومة

نسبة المحيطين هي نفسها نسبة أنصاف الأقطار.

مثال

نسبة محيطي دائرتين ٥:٦.

إذن نسبة نصفي القطرين:

ونسبة المساحتين:

١٢) إذا كانت نسبة المساحتين معلومة

لإيجاد نسبة أنصاف الأقطار أو المحيطات، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي النسبة.

مثال

نسبة المساحتين ٩:١٦.

إذن نسبة المحيطين أيضًا ٣:٤.

١٣) إذا لم تكن نسبة المساحات مربعين كاملين

قد تبقى النسبة في صورة جذور.

مثال

نسبة المساحتين ٢:٥.

إذن نسبة أنصاف الأقطار:

ولا نحولها إلى ٢:٥.

١٤) ثلاثة دوائر أو أكثر

إذا كانت أنصاف أقطار ثلاث دوائر بنسبة:

فنسبة المحيطات:

ونسبة المساحات:

وهذا نمط مهم جدًا في الدوائر المتداخلة أو المتدرجة.

١٥) الدوائر المتداخلة

إذا كانت دوائر متحدة المركز وأنصاف أقطارها متناسبة مثل ١، ٢، ٣، فإن مساحات الدوائر الكاملة تكون بنسبة:

لكن انتبه: مساحة الحلقة بين دائرتين ليست مساحة الدائرة الخارجية نفسها.

١٦) مساحة الحلقة بين دائرتين

إذا كان نصف قطر الدائرة الصغيرة أ والكبيرة ب:

إذا كانت النسبة فقط مطلوبة، يمكن العمل بمربعات أنصاف الأقطار دون حساب ط.

مثال

نصفا القطر ٢ و٣.

مساحة الدائرة الصغيرة تتناسب مع:

ومساحة الحلقة تتناسب مع:

إذن نسبة الصغيرة إلى الحلقة:

١٧) طول القوس عند الزاوية نفسها

إذا كان لدينا قطاعان لهما الزاوية المركزية نفسها، فإن طول القوس يتناسب مباشرة مع نصف القطر.

إذن إذا كانت نسبة نصفي القطرين:

فنسبة طولي القوسين:

١٨) مساحة القطاع عند الزاوية نفسها

إذا كانت الزاوية المركزية نفسها في دائرتين، فإن مساحة القطاع تتناسب مع مربع نصف القطر.

إذا كانت نسبة أنصاف الأقطار:

فنسبة مساحتي القطاعين:

١٩) المحيط يزيد بنسبة نصف القطر نفسها

إذا زاد نصف القطر بنسبة ٢٠٪، فإن المحيط يزيد بنسبة ٢٠٪ أيضًا.

لأن المحيط يتناسب طرديًا مع نصف القطر.

عامل التغير:

٢٠) ماذا يحدث للمساحة عند زيادة نصف القطر بنسبة؟

إذا زاد نصف القطر بنسبة ٢٠٪، فإن عامل نصف القطر يصبح:

وعامل المساحة:

إذن المساحة تزيد ٤٤٪، وليس ٢٠٪.

٢١) مثال زيادة ٥٠٪

إذا زاد نصف القطر ٥٠٪، يصبح:

من قيمته الأصلية.

المحيط يصبح ١٫٥ مرة.

المساحة:

أي تزيد بنسبة ١٢٥٪.

٢٢) إذا نقص نصف القطر إلى النصف

نسبة أنصاف الأقطار:

المحيط يصبح نصفه.

المساحة تصبح:

أي ربع المساحة الأصلية.

٢٣) إذا تضاعف المحيط

إذا تضاعف المحيط، فقد تضاعف نصف القطر أيضًا؛ لأن العلاقة خطية.

إذن المساحة تصبح:

أمثال.

٢٤) إذا أصبحت المساحة أربعة أمثال

إذا أصبحت المساحة ٤ أمثال، فإن نسبة أنصاف الأقطار هي:

إذن المحيط يصبح ضعفين.

٢٥) إذا أصبحت المساحة تسعة أمثال

نأخذ الجذر:

إذن نصف القطر والقطر والمحيط تصبح جميعها ٣ أمثال.

٢٦) لا تحتاج إلى ط في مسائل النسب غالبًا

إذا كان السؤال يقارن دائرتين فقط، فإن ط يظهر في الطرفين ويُختصر.

مثلًا:

لذلك لا تضيع وقتًا في استخدام ٣٫١٤ أو ٢٢/٧ إذا كان المطلوب نسبة فقط.

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — نسبة المحيط

نسبة نصفي قطري دائرتين ٣:٥. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٣:٥
ب) ٥:٣
ج) ٩:٢٥
د) ٢٥:٩

مثال ٢ — نسبة المساحة

نسبة قطري دائرتين ٢:٧. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٢:٧
ب) ٤:٤٩
ج) ٧:٢
د) ٤٩:٤

مثال ٣ — العكس من المساحة

نسبة مساحتي دائرتين ٣٦:٨١. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٢:٣
ب) ٣:٩
ج) ٧:٩
د) ٣٦:٨١

مثال ٤ — دوائر متداخلة

ثلاث دوائر أنصاف أقطارها بنسبة ١:٢:٣. ما نسبة مساحاتها؟

أ) ١:٢:٣
ب) ١:٣:٥
ج) ١:٤:٩
د) ١:٨:٢٧

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

زادت مساحة دائرة من ح إلى ٢٫٢٥ح دون تغير شكلها. كم أصبح محيطها بالنسبة إلى المحيط الأصلي؟

أ) ١٫٢٥ مرة
ب) ١٫٥ مرة
ج) ٢ مرة
د) ٢٫٢٥ مرة

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: جعل نسبة المساحة مساوية لنسبة نصف القطر.

الخطأ الثاني: تربيع نسبة المحيط عند المطلوب محيط فقط.

الخطأ الثالث: نسيان الجذر عند الانتقال من المساحة إلى نصف القطر أو المحيط.

الخطأ الرابع: تحويل القطر إلى نصف القطر رغم أن المطلوب مجرد نسبة؛ لا حاجة لذلك.

الخطأ الخامس: استخدام قيمة ط في سؤال نسب يمكن حلّه بالاختصار.

الخطأ السادس: الخلط بين مساحة الدائرة الكبيرة ومساحة الحلقة الواقعة بينها وبين دائرة أصغر.

الخطأ السابع: اعتبار زيادة نصف القطر ٢٠٪ تعني زيادة المساحة ٢٠٪.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: نصف القطر = القطر = المحيط في النسبة الخطية.

التكتيك الثاني: المساحة ← ربّع النسبة الخطية.

التكتيك الثالث: من المساحة إلى المحيط ← خذ الجذر.

التكتيك الرابع: لا تحسب ط في سؤال نسب إلا إذا كان هناك سبب خاص.

التكتيك الخامس: عدة دوائر بنسبة أنصاف أقطار ١:٢:٣ ← المساحات ١:٤:٩.

التكتيك السادس: قطاعان بالزاوية نفسها: الأقواس خطية، والمساحات مربعة.

التكتيك السابع: إذا تغير نصف القطر بعامل ك، فالمحيط بعامل ك والمساحة بعامل .

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

نسبة نصفي قطري دائرتين ٣:٤. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٣:٤
ب) ٤:٣
ج) ٩:١٦
د) ١٦:٩

سؤال ٢

نسبة نصفي قطري دائرتين ٣:٤. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٣:٤
ب) ٤:٣
ج) ٩:١٦
د) ١٦:٩

سؤال ٣

نسبة محيطي دائرتين ٧:٩. ما نسبة نصفي قطريهما؟

أ) ٧:٩
ب) ٩:٧
ج) ٤٩:٨١
د) ٨١:٤٩

سؤال ٤

نسبة محيطي دائرتين ٧:٩. ما نسبة مساحتيهما؟

أ) ٧:٩
ب) ١٤:١٨
ج) ٤٩:٨١
د) ٨١:٤٩

سؤال ٥

نسبة مساحتي دائرتين ٢٥:٦٤. ما نسبة محيطيهما؟

أ) ٥:٨
ب) ٢٥:٦٤
ج) ٨:٥
د) ٦٤:٢٥

سؤال ٦

قطر دائرة يساوي ٣ أمثال قطر أخرى. كم تساوي مساحتها بالنسبة إلى الأخرى؟

أ) ٣ أمثال
ب) ٦ أمثال
ج) ٩ أمثال
د) ١٢ مثلًا

سؤال ٧

إذا أصبح نصف قطر دائرة نصف قيمته، فما نسبة المساحة الجديدة إلى الأصلية؟

أ) ١:٢
ب) ١:٤
ج) ٢:١
د) ٤:١

سؤال ٨

إذا تضاعف محيط دائرة، فكم تصبح مساحتها بالنسبة إلى الأصل؟

أ) ضعفين
ب) ٣ أمثال
ج) ٤ أمثال
د) ٨ أمثال

سؤال ٩

إذا أصبحت مساحة دائرة ٩ أمثال، فكم يصبح محيطها؟

أ) ٣ أمثال
ب) ٤ أمثال
ج) ٩ أمثال
د) ١٨ مثلًا

سؤال ١٠

ثلاث دوائر أنصاف أقطارها بنسبة ٢:٣:٤. ما نسبة مساحاتها؟

أ) ٢:٣:٤
ب) ٤:٦:٨
ج) ٤:٩:١٦
د) ٨:٢٧:٦٤

سؤال ١١

دائرتان نصفا قطريهما ٢ و٣. ما نسبة مساحة الدائرة الصغيرة إلى مساحة الحلقة بين الدائرتين إذا كانتا متحدتي المركز؟

أ) ٤:٥
ب) ٤:٩
ج) ٥:٤
د) ٥:٩

سؤال ١٢

قطاعان لهما الزاوية المركزية نفسها، ونصفا قطريهما بنسبة ٢:٥. ما نسبة طولي القوسين؟

أ) ٢:٥
ب) ٤:٢٥
ج) ٥:٢
د) ٢٥:٤

سؤال ١٣

قطاعان لهما الزاوية المركزية نفسها، ونصفا قطريهما بنسبة ٢:٥. ما نسبة مساحتي القطاعين؟

أ) ٢:٥
ب) ٤:٢٥
ج) ٥:٢
د) ٢٥:٤

سؤال ١٤

زاد نصف قطر دائرة ٢٠٪. كم تصبح المساحة بالنسبة إلى المساحة الأصلية؟

أ) ١٫٢ مرة
ب) ١٫٤ مرة
ج) ١٫٤٤ مرة
د) ٢ مرة

٣٢) ملخص الدرس

إذا كانت نسبة أنصاف الأقطار:

فإن:

نسبة الأقطار:

نسبة المحيطات:

نسبة المساحات:

وإذا بدأت من نسبة المساحات، خذ الجذر للعودة إلى النسبة الخطية.

أهم قاعدة: الأطوال خطية، والمساحات مربعة.