١) الفكرة الأساسية: الأشجار والمسافات ليست العدد نفسه

إذا وضعت عدة أشجار على خط مستقيم، فإن عدد المسافات بين الأشجار يختلف عن عدد الأشجار.

مثلًا ٥ أشجار متتالية بينها:

مسافات.

إذن القاعدة الأساسية:

٢) خط مستقيم مع شجرة عند البداية والنهاية

إذا كان طول الخط ل، والمسافة بين كل شجرتين م، وكانت البداية والنهاية مزروعتين:

ولأن عدد الأشجار أكبر من عدد المسافات بواحد:

٣) مثال على البداية والنهاية

طريق طوله ٨٠ مترًا، وزُرعت شجرة كل ٨ أمتار، مع شجرة عند البداية والنهاية.

مسافات.

عدد الأشجار:

٤) لماذا نضيف ١؟

إذا كان لدينا ٤ مسافات متتالية، فإننا نحتاج إلى ٥ نقاط لتكوينها:

شجرة — مسافة — شجرة — مسافة — شجرة — مسافة — شجرة — مسافة — شجرة.

لذلك في الخط المفتوح مع احتساب الطرفين:

٥) خط مستقيم دون شجرة عند الطرفين

إذا كانت الأشجار داخل المسافة فقط، ولا توجد شجرة عند البداية ولا النهاية:

مثال

طريق طوله ١٠٠ متر، والمسافة ٢٠ مترًا، ولا توجد أشجار عند الطرفين.

عدد الأشجار الداخلية:

٦) شجرة عند طرف واحد فقط

إذا كانت هناك شجرة عند البداية فقط أو النهاية فقط، بينما الطرف الآخر غير مزروع:

مثال

طريق طوله ٦٠ مترًا، وشجرة كل ١٠ أمتار، مع شجرة في البداية فقط.

إذن العدد = ٦.

٧) ملخص حالات الخط المستقيم

إذا كان عدد المسافات:

فإن:

الطرفان محسوبان:

طرف واحد محسوب:

لا طرف محسوب:

٨) الشكل المغلق: لا تضف ١

إذا كانت الأشجار حول حديقة أو مزرعة أو دائرة، فإن المسار مغلق، والبداية تعود إلى النهاية.

لذلك:

ولا نضيف ١.

٩) لماذا لا نضيف ١ في الشكل المغلق؟

في الخط المستقيم، آخر شجرة تنهي آخر مسافة.

أما في الشكل المغلق، فآخر مسافة تعود إلى الشجرة الأولى نفسها.

لذلك:

في المسار المغلق.

١٠) مثال حول حديقة

حديقة محيطها ١٢٠ مترًا، وشجرة كل ١٠ أمتار حولها.

إذن العدد = ١٢ شجرة، وليس ١٣.

١١) حول مستطيل أو مربع

نحسب المحيط أولًا.

محيط المستطيل:

محيط المربع:

ثم:

١٢) مثال حول مستطيل

مزرعة طولها ٦٠ مترًا وعرضها ٤٠ مترًا، ونخلة كل ١٠ أمتار حولها.

المحيط:

عدد النخل:

١٣) الزراعة على جانبي الطريق

إذا كان النمط نفسه على جانبي طريق مستقيم، نحسب جانبًا واحدًا ثم نضرب في ٢.

مثال

طريق طوله ٨٠ مترًا، وشجرة كل ١٠ أمتار، مع شجرة في البداية والنهاية على كل جانب.

في جانب واحد:

الجانبان:

١٤) إيجاد المسافة بين الأشجار على خط مستقيم

إذا عرفت عدد الأشجار ن، وكان الطرفان مزروعين:

عدد المسافات:

إذن:

مثال

١١ نخلة على طريق طوله ١٠٠ متر، مع نخلة عند الطرفين.

أمتار.

١٥) إيجاد المسافة في الشكل المغلق

في الشكل المغلق عدد المسافات = عدد الأشجار.

لذلك:

مثال

حول حديقة محيطها ٩٠ مترًا توجد ١٥ شجرة متساوية التباعد.

أمتار.

١٦) إيجاد المسافة إذا لم يوجد عنصر عند الطرفين

إذا كان على خط مستقيم ن أشجار داخلية فقط، والطرفان غير مزروعين، وعدد المسافات المتساوية من البداية إلى النهاية هو ن+١.

إذن:

مثال

٤ أشجار داخلية بين طرفي طريق طوله ٥٠ مترًا، والمسافات كلها متساوية.

١٧) المزرعة الشبكية: صفوف وأعمدة

إذا كانت الأشجار مرتبة في صفوف وأعمدة داخل مزرعة:

ويجب أن نحسب كل بُعد وفق وضع الأشجار عند حدود المزرعة.

١٨) المزرعة مع بُعد عن السور يساوي المسافة البينية

هذه حالة مشهورة في مسائل القدرات.

إذا كان طول المزرعة ل، وعرضها ع، والمسافة بين الأشجار م، وكذلك أول شجرة وآخر شجرة تبعدان م عن السور:

في الطول:

وفي العرض:

إذن الإجمالي:

١٩) مثال المزرعة ٨٠×٤٠

مزرعة طولها ٨٠ مترًا، وعرضها ٤٠ مترًا، والمسافة بين النخل ٨ أمتار، وبين النخل والسور ٨ أمتار.

في الطول:

في العرض:

الإجمالي:

٢٠) إذا كانت الأشجار على حدود المزرعة الشبكية أيضًا

إذا كانت هناك أشجار على طرفي كل بُعد، والمسافة م تقسم الطول والعرض تمامًا:

عدد المواقع في اتجاه الطول:

وفي اتجاه العرض:

إذن إذا كانت المزرعة كلها شبكة ممتلئة:

٢١) لا تخلط بين «حول المزرعة» و«داخل المزرعة»

حول المزرعة: نستخدم المحيط، لأن الأشجار على الحدود فقط.

داخل المزرعة في صفوف وأعمدة: نحسب عدد المواقع في الطول × عدد المواقع في العرض.

وهذه من أكثر نقاط هذا الدرس أهمية.

٢٢) إذا كان البعد عن السور مختلفًا عن المسافة بين الأشجار

إذا كان أول وآخر عنصر يبعدان مسافة هـ عن طرفي المزرعة، والمسافة البينية م، فإن المسافة من أول عنصر إلى آخر عنصر هي:

وإذا كانت هذه المسافة تقبل القسمة على م، فإن عدد العناصر في هذا الاتجاه:

مثال

طول ٧٠ مترًا، أول وآخر نخلة تبعدان ٥ أمتار عن السور، والمسافة بين النخل ١٠ أمتار.

٢٣) الترتيب المربع لعدد من الأشجار

إذا قيل إن ن شجرة مرتبة في مربع، فإن عدد الأشجار في كل صف يساوي عدد الصفوف.

إذا كان عدد الأشجار الكلي = ك:

إذا كان ك مربعًا كاملًا.

مثال

١٠٠ نخلة مرتبة في مربع:

إذن ١٠ صفوف، وفي كل صف ١٠ نخلات.

٢٤) طول صف من أشجار معلومة العدد

إذا كان في الصف ن أشجار، والمسافة بين كل شجرتين م، فإن المسافة من أول شجرة إلى آخر شجرة:

مثال

١٠ أشجار بينها ٦ أمتار:

مترًا من الأولى إلى الأخيرة.

٢٥) مزرعة مربعة مرتبة شبكة

إذا كان في كل صف ن أشجار، وعدد الصفوف أيضًا ن، والمسافة البينية م، والأشجار تقع على أول وآخر موضع من الشبكة، فإن طول المسافة بين أول وآخر شجرة في كل اتجاه:

أما إذا وُجد هامش إضافي بين الشجر والسور، فيضاف حسب المعطى.

٢٦) التحقق من قابلية التوزيع

إذا اشترط السؤال مسافات متساوية وشجرة عند البداية والنهاية، فيجب أن يكون:

عددًا صحيحًا.

إذا لم يكن كذلك، فلا يمكن تحقيق الشروط كلها بهذه المسافة دون تغيير موضع أحد الطرفين.

في أسئلة القدرات المعتادة تكون الأعداد مختارة بحيث تحقق الشرط.

٢٧) تجربة الخيارات قد تكون أسرع

إذا أعطاك السؤال عدد الأشجار كخيارات وطلب مسافة أو طولًا، يمكن تجربة الخيار باستخدام:

ثم اختبار هل:

خصوصًا إذا كانت الأرقام سهلة.

٢٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — خط مستقيم

طريق طوله ١٢٠ مترًا، ونخلة كل ٢٠ مترًا، مع نخلة عند البداية والنهاية. كم نخلة؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

مثال ٢ — حول حديقة

حديقة محيطها ١٥٠ مترًا، وشجرة كل ١٥ مترًا حولها. كم شجرة؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

مثال ٣ — دون الطرفين

طريق طوله ٩٠ مترًا، وشجرة كل ١٥ مترًا بين الطرفين فقط دون شجرة عندهما. كم شجرة؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧

مثال ٤ — داخل المزرعة

مزرعة ٨٠×٤٠ مترًا، والمسافة بين النخل ٨ أمتار، وبين النخل والسور ٨ أمتار من كل جهة. كم نخلة؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٤٠
د) ٥٠

٢٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

زرعت ١٣ نخلة على خط مستقيم بمسافات متساوية مقدارها ٧ أمتار بين كل نخلتين. ما المسافة من أول نخلة إلى آخر نخلة؟

أ) ٧٧ مترًا
ب) ٨٤ مترًا
ج) ٩١ مترًا
د) ٩٨ مترًا

٣٠) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: اعتبار عدد الأشجار مساويًا لعدد المسافات في الخط المفتوح.

الخطأ الثاني: إضافة ١ في الشكل المغلق.

الخطأ الثالث: نسيان الضرب في ٢ عند الزراعة على جانبي الطريق.

الخطأ الرابع: استخدام المحيط عندما الأشجار موزعة داخل المزرعة كلها.

الخطأ الخامس: استخدام الطول × العرض عندما الأشجار موجودة حول الحدود فقط.

الخطأ السادس: نسيان حالة عدم وجود أشجار عند الطرفين، وفيها نطرح ١.

الخطأ السابع: عند إيجاد المسافة من عدد الأشجار، القسمة على عدد الأشجار بدل عدد المسافات.

الخطأ الثامن: تجاهل المسافة بين أول شجرة والسور وآخر شجرة والسور في مسائل المزارع الشبكية.

٣١) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ابدأ دائمًا بسؤال: كم عدد المسافات؟

التكتيك الثاني: خط مستقيم والطرفان موجودان ← .

التكتيك الثالث: الطرفان غير موجودين ← .

التكتيك الرابع: شكل مغلق ← المحيط ÷ المسافة، دون +١.

التكتيك الخامس: جانبا الطريق ← احسب جانبًا واحدًا ثم ×٢.

التكتيك السادس: مزرعة داخلية ← احسب مواقع الطول × مواقع العرض.

التكتيك السابع: ن عناصر على خط ← بينها ن−١ مسافة.

٣٢) تدريب متدرج

سؤال ١

طريق طوله ١٠٠ متر، وشجرة كل ١٠ أمتار، مع شجرة عند البداية والنهاية. كم شجرة؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ٢٠

سؤال ٢

طريق طوله ١٠٠ متر، وشجرة كل ١٠ أمتار، دون شجرة عند الطرفين. كم شجرة؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ٣

طريق طوله ٦٠ مترًا، ونخلة كل ١٠ أمتار، مع نخلة عند طرف واحد فقط. كم نخلة؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٤

حديقة محيطها ٢٤٠ مترًا، ونخلة كل ٢٠ مترًا حولها. كم نخلة؟

أ) ١١
ب) ١٢
ج) ١٣
د) ١٤

سؤال ٥

طريق طوله ٦٠ مترًا، وشجرة كل ١٠ أمتار على جانبي الطريق، مع شجرة عند بداية ونهاية كل جانب. كم شجرة؟

أ) ١٢
ب) ١٤
ج) ١٦
د) ٢٠

سؤال ٦

زُرعت ٩ أشجار على خط مستقيم طوله ٨٠ مترًا، مع شجرة عند الطرفين. ما المسافة بين كل شجرتين؟

أ) ٨ أمتار
ب) ٩ أمتار
ج) ١٠ أمتار
د) ١٢ مترًا

سؤال ٧

حول حديقة محيطها ١٨٠ مترًا توجد ٢٠ شجرة متساوية التباعد. ما المسافة بين كل شجرتين؟

أ) ٨ أمتار
ب) ٩ أمتار
ج) ١٠ أمتار
د) ١٢ مترًا

سؤال ٨

مزرعة مستطيلة ٨٠×٤٠ مترًا، والمسافة بين النخل وبين السور ٨ أمتار، وكذلك بين النخلات. كم نخلة؟

أ) ٣٢
ب) ٣٦
ج) ٤٠
د) ٤٥

سؤال ٩

مزرعة طولها ٤٠ مترًا وعرضها ٢٠ مترًا، وفيها شبكة أشجار كل ١٠ أمتار، مع أشجار على جميع حدود الشبكة. كم شجرة؟

أ) ١٠
ب) ١٢
ج) ١٥
د) ٢٠

سؤال ١٠

١٠٠ نخلة مرتبة في مربع متساوي الصفوف والأعمدة. كم نخلة في كل صف؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ٢٠
د) ٢٥

سؤال ١١

في صف ١٠ أشجار، والمسافة بين كل شجرتين ٦ أمتار. كم المسافة من الأولى إلى الأخيرة؟

أ) ٤٨ مترًا
ب) ٥٤ مترًا
ج) ٦٠ مترًا
د) ٦٦ مترًا

سؤال ١٢

ممر طوله ٥٠ مترًا، وفيه ٤ أعمدة داخلية فقط، والمسافات من الطرفين وبين الأعمدة كلها متساوية. كم المسافة؟

أ) ٨ أمتار
ب) ١٠ أمتار
ج) ١٢٫٥ مترًا
د) ١٥ مترًا

سؤال ١٣

مزرعة طولها ٧٠ مترًا. أول وآخر نخلة تبعدان ٥ أمتار عن السور، والمسافة بين النخلات ١٠ أمتار. كم نخلة في هذا الاتجاه؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ١٤

حديقة مستطيلة طولها ٥٠ مترًا وعرضها ٣٠ مترًا، ونخلة كل ١٠ أمتار حول حدودها. كم نخلة؟

أ) ١٤
ب) ١٦
ج) ١٨
د) ٢٠

٣٣) ملخص الدرس

في الخط المستقيم:

الطرفان مزروعان:

طرف واحد فقط:

لا طرف مزروع:

في الشكل المغلق:

وفي المزرعة الشبكية نحسب عدد المواقع في كل اتجاه ثم نضرب.

الفكرة التي تمنع معظم الأخطاء: حدّد أولًا هل السؤال عن نقاط على خط، أم حول شكل مغلق، أم شبكة داخل مساحة.