١) ما المقصود بمعكوس العدد هنا؟

في هذه الوحدة نقصد بـمعكوس العدد قلب ترتيب أرقامه.

مثلًا:

معكوس ٤٢ هو ٢٤.

معكوس ٧٣ هو ٣٧.

معكوس ٨١ هو ١٨.

ولا نقصد المقلوب الكسري للعدد.

٢) كتابة العدد المكوّن من رقمين جبريًا

إذا كان رقم العشرات أ، ورقم الآحاد ب، فإن العدد:

وبعد قلب الرقمين يصبح:

٣) قانون الفرق بين العدد ومعكوسه

نطرح:

ولأن كلمة «الفرق» يقصد بها المقدار الموجب عادة:

٤) مثال مباشر

العدد ٦٢، ومعكوسه ٢٦.

فرق الرقمين:

إذن الفرق بين العددين:

وفعلًا:

٥) إذا كان فرق الرقمين معلومًا

لا تحتاج إلى معرفة العدد نفسه.

إذا كان فرق الرقمين = د:

مثال

فرق رقمي عدد من رقمين = ٧.

٦) إذا كان الفرق بين العدد ومعكوسه معلومًا

نعكس القانون بالقسمة على ٩:

مثال

الفرق بين عدد ومعكوسه ٥٤:

إذن فرق الرقمين = ٦.

٧) نتيجة سريعة: الفرق دائمًا من مضاعفات ٩

لأن الفرق يساوي ٩ مضروبًا في فرق الرقمين، فلا يمكن أن يكون الفرق بين عدد من رقمين ومعكوسه مثل ٢٠ أو ٤٠.

القيم الممكنة للفرق هي:

٠، ٩، ١٨، ٢٧، ٣٦، ٤٥، ٥٤، ٦٣، ٧٢، ٨١.

٨) أكبر فرق ممكن في عدد من رقمين

أكبر فرق ممكن بين رقمي عدد من رقمين هو ٩.

لذلك أكبر فرق ممكن بين العدد ومعكوسه:

مثل ٩٠ ومعكوسه ٠٩ أي ٩:

٩) إذا كان الرقمان متساويين

إذا كان أ = ب، فإن قلب الرقمين لا يغيّر العدد.

مثل ٤٤ أو ٧٧.

إذن الفرق = ٠.

١٠) الفرق وحده لا يحدد العدد دائمًا

إذا عرفت أن الفرق بين العدد ومعكوسه = ٣٦، فأنت تعرف فقط أن فرق الرقمين = ٤.

وقد يكون العدد الأكبر مثل:

٥١، ٦٢، ٧٣، ٨٤، ٩٥.

كلها تحقق فرقًا مقداره ٣٦ مع معكوسها.

إذن نحتاج معلومة إضافية إذا كان السؤال يطلب العدد نفسه.

١١) قانون مجموع العدد ومعكوسه

نجمع العددين:

إذن:

١٢) إذا كان مجموع الرقمين معلومًا

مثال

مجموع رقمي عدد من رقمين = ٩.

مجموع العدد ومعكوسه:

١٣) إذا كان مجموع العدد ومعكوسه معلومًا

نقسم على ١١:

مثال

مجموع عدد من رقمين ومعكوسه = ١٤٣.

إذن مجموع الرقمين = ١٣.

١٤) نتيجة سريعة: المجموع دائمًا من مضاعفات ١١

مجموع أي عدد من رقمين مع معكوسه يقبل القسمة على ١١.

لأن:

وهذه خاصية جيدة لفحص الخيارات بسرعة.

١٥) إيجاد العدد من مجموع العدد ومعكوسه والفرق بينهما

إذا كان العدد الأكبر = س، ومعكوسه = ص، ولدينا:

فإن:

مثال

المجموع = ١٢١، والفرق = ٢٧.

١٦) طريقة أسرع لإيجاد الرقمين

إذا عرفت مجموع العدد ومعكوسه وفرقَهما، يمكنك أولًا استخراج مجموع الرقمين وفرق الرقمين:

ثم إذا كان العدد الأكبر رقمه الأكبر في العشرات:

١٧) مثال على الطريقة السابقة

مجموع العدد ومعكوسه = ١٥٤، والفرق بينهما = ٣٦.

مجموع الرقمين:

فرق الرقمين:

الرقم الأكبر:

الرقم الأصغر:

إذن العدد الأكبر = ٩٥، ومعكوسه = ٥٩.

١٨) شرط منطقي عند إيجاد الرقمين

رقما العدد يجب أن يكونا عددين صحيحين من ٠ إلى ٩، ورقم العشرات في العدد الأصلي لا يكون صفرًا.

لذلك إذا أعطتك العلاقات نتيجة مثل ١١ لأحد الرقمين أو نصف رقم غير صحيح، فالمعطيات لا تمثل عددًا صحيحًا من رقمين.

١٩) عدد من ثلاثة أرقام

إذا كان العدد:

فمعكوسه:

لاحظ أن رقم العشرات ب يبقى في الوسط.

٢٠) قانون الفرق في العدد الثلاثي

نطرح:

إذن:

أي أن رقم العشرات لا يؤثر في الفرق.

٢١) مثال على عدد ثلاثي

العدد ٦٣١، ومعكوسه ١٣٦.

فرق رقم المئات والآحاد:

إذن:

وفعلًا:

٢٢) إذا كان فرق العدد الثلاثي ومعكوسه معلومًا

نقسم على ٩٩ لمعرفة فرق رقم المئات والآحاد:

مثال

الفرق = ٦٩٣:

إذن فرق رقم المئات ورقم الآحاد = ٧.

٢٣) نتيجة سريعة للأعداد الثلاثية

الفرق بين عدد ثلاثي ومعكوسه دائمًا من مضاعفات ٩٩.

والقيم الممكنة هي:

٠، ٩٩، ١٩٨، ٢٩٧، ٣٩٦، ٤٩٥، ٥٩٤، ٦٩٣، ٧٩٢، ٨٩١.

٢٤) العدد الثلاثي المتناظر

إذا كان رقم المئات يساوي رقم الآحاد، فإن العدد لا يتغير عند قلبه.

مثل ٣٧٣ أو ٨٠٨.

لذلك الفرق = ٠.

٢٥) خاصية عامة مفيدة

الفرق بين أي عدد صحيح والعدد الناتج من إعادة ترتيب أرقامه يكون من مضاعفات ٩.

أما الصيغة الأقوى ٩٩×فرق الطرفين فهي خاصة بالحالة الثلاثية عند قلب ترتيب الأرقام بالكامل.

هذه الخاصية العامة مفيدة لفحص الخيارات، لكن قوانين ٩ و٩٩ في هذه الوحدة أسرع للحالات المعتادة.

٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — فرق مباشر

ما الفرق بين ٨٤ ومعكوسه؟

أ) ٢٧
ب) ٣٦
ج) ٤٥
د) ٥٤

مثال ٢ — فرق الرقمين

إذا كان الفرق بين عدد من رقمين ومعكوسه ٦٣، فما فرق رقميه؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

مثال ٣ — مجموع الرقمين

إذا كان مجموع عدد من رقمين ومعكوسه ١٣٢، فما مجموع رقمي العدد؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٣

مثال ٤ — عدد ثلاثي

ما الفرق بين ٨٥٢ ومعكوسه؟

أ) ٣٩٦
ب) ٤٩٥
ج) ٥٩٤
د) ٦٩٣

٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

عدد مكوّن من رقمين، مجموع العدد ومعكوسه ١٥٤، والفرق بينهما ٣٦. ما العدد الأكبر؟

أ) ٧٧
ب) ٨٦
ج) ٩٥
د) ٩٩

٢٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: فهم «معكوس العدد» هنا على أنه المقلوب الكسري.

الخطأ الثاني: اعتبار فرق الرقمين هو نفسه فرق العدد ومعكوسه؛ الصحيح في العدد من رقمين أن نضرب فرق الرقمين في ٩.

الخطأ الثالث: نسيان القيمة المطلقة، فيظهر فرق سالب.

الخطأ الرابع: الاعتقاد أن معرفة الفرق وحده تحدد العدد نفسه؛ قد توجد أعداد متعددة لها فرق الرقمين نفسه.

الخطأ الخامس: استخدام قانون ٩ للأعداد الثلاثية؛ القانون الثلاثي يعتمد على ٩٩ وفرق رقمي الطرفين.

الخطأ السادس: إدخال رقم العشرات في فرق العدد الثلاثي ومعكوسه رغم أنه يُلغى.

الخطأ السابع: قبول فرق ليس من مضاعفات ٩ لعدد من رقمين، أو ليس من مضاعفات ٩٩ في الحالة الثلاثية.

٢٩) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: عدد من رقمين ← الفرق = .

التكتيك الثاني: أعطاك فرق العدد ومعكوسه ← اقسم على ٩ لمعرفة فرق الرقمين.

التكتيك الثالث: مجموع عدد من رقمين ومعكوسه ← .

التكتيك الرابع: أعطاك المجموع ← اقسم على ١١ لمعرفة مجموع الرقمين.

التكتيك الخامس: أعطاك المجموع والفرق معًا ← يمكنك إيجاد العددين مباشرة بنصف المجموع ± نصف الفرق.

التكتيك السادس: عدد ثلاثي ← الفرق = .

التكتيك السابع: افحص الاختيارات: فرق الرقمين من رقمين لا يتجاوز ٨١، ومجموع العدد ومعكوسه يقبل القسمة على ١١.

٣٠) تدريب متدرج

سؤال ١

ما الفرق بين ٦٥ ومعكوسه؟

أ) ٩
ب) ١٨
ج) ٢٧
د) ٣٦

سؤال ٢

ما الفرق بين ٩٢ ومعكوسه؟

أ) ٥٤
ب) ٦٣
ج) ٧٢
د) ٨١

سؤال ٣

إذا كان فرق رقمي عدد من رقمين = ٥، فما الفرق بين العدد ومعكوسه؟

أ) ٣٦
ب) ٤٥
ج) ٥٤
د) ٦٣

سؤال ٤

إذا كان الفرق بين عدد من رقمين ومعكوسه ٧٢، فما فرق رقميه؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٥

أي قيمة لا يمكن أن تكون فرقًا بين عدد من رقمين ومعكوسه؟

أ) ٢٧
ب) ٤٥
ج) ٥٠
د) ٧٢

سؤال ٦

إذا كان مجموع رقمي عدد من رقمين = ١٢، فما مجموع العدد ومعكوسه؟

أ) ١٠٨
ب) ١٢٠
ج) ١٣٢
د) ١٤٤

سؤال ٧

إذا كان مجموع عدد من رقمين ومعكوسه = ٩٩، فما مجموع رقميه؟

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١١

سؤال ٨

عدد من رقمين، مجموع العدد ومعكوسه ١٢١ والفرق بينهما ٢٧. ما العدد الأكبر؟

أ) ٤٧
ب) ٥٨
ج) ٧٤
د) ٨٥

سؤال ٩

إذا كان مجموع العدد ومعكوسه ١٥٤ وفرقُهما ٣٦، فما مجموع رقمي العدد؟

أ) ٤
ب) ١٠
ج) ١٤
د) ١٨

سؤال ١٠

ما الفرق بين ٦٣١ ومعكوسه؟

أ) ٢٩٧
ب) ٣٩٦
ج) ٤٩٥
د) ٥٩٤

سؤال ١١

ما الفرق بين ٨٥٢ ومعكوسه؟

أ) ٣٩٦
ب) ٤٩٥
ج) ٥٩٤
د) ٦٩٣

سؤال ١٢

الفرق بين عدد ثلاثي ومعكوسه ٣٩٦. ما فرق رقم المئات ورقم الآحاد؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٥
د) ٦

سؤال ١٣

أي قيمة لا يمكن أن تكون فرقًا بين عدد ثلاثي ومعكوسه؟

أ) ١٩٨
ب) ٣٩٦
ج) ٥٠٠
د) ٦٩٣

سؤال ١٤

عدد من رقمين، مجموع العدد ومعكوسه ١٥٤، والفرق بينهما ٣٦. ما العدد الأصغر؟

أ) ٥٩
ب) ٦٨
ج) ٧٧
د) ٩٥

٣١) ملخص الدرس

للعدد المكوّن من رقمين:

وللعدد المكوّن من ثلاثة أرقام:

الفرق وحده لا يحدد العدد غالبًا؛ فإذا طُلب العدد نفسه فقد تحتاج إلى معلومة إضافية مثل مجموع العدد ومعكوسه أو مجموع الرقمين.