دليل منهج اختبار القدرات
قانون الحظيرة
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
إذا كان لدينا نوعان من الحيوانات، وكل حيوان له رأس واحد، وعرفنا عدد الرؤوس الكلي وعدد الأرجل الكلي، نستطيع إيجاد عدد كل نوع. في حالة نوع له رجلان ونوع له أربع أرجل: عدد ذوات الأربع = (الأرجل − ٢×الرؤوس) ÷ ٢.
مثال
دجاج وأرانب مجموعها ٢٠ رأسًا و٥٦ رجلًا: عدد الأرانب = (٥٦ − ٢×٢٠) ÷ ٢ = ٨، وعدد الدجاج = ١٢.
الشرح المفصّل
١) الفكرة الأساسية
في مسائل الحظيرة يوجد غالبًا نوعان من الحيوانات، ولكل نوع عدد مختلف من الأرجل.
مثل:
الدجاج أو الطيور: رجلان.
الأرانب أو الأغنام: ٤ أرجل.
ويعطيك السؤال عادة:
عدد الرؤوس الكلي.
عدد الأرجل الكلي.
ثم يطلب عدد كل نوع.
٢) لماذا عدد الرؤوس يساوي عدد الحيوانات؟
لأن كل حيوان في هذه المسائل له رأس واحد.
إذن:
وهذا يعطينا المجموع الكلي للنوعين.
٣) القانون السريع للحالة ٢ و٤ أرجل
إذا كان أحد النوعين له رجلان والآخر له ٤ أرجل:
ثم:
٤) لماذا يعمل القانون؟
نفترض أولًا أن جميع الحيوانات من النوع الأقل أرجلًا، أي لها رجلان.
إذا كان عدد الرؤوس ر:
كل حيوان رباعي الأرجل يزيد رجلين عن هذا الافتراض.
لذلك نقسم الزيادة في الأرجل على ٢ لمعرفة عدد ذوات الأربع.
٥) مثال تأسيسي
في حظيرة ١٠ رؤوس و٢٨ رجلًا.
نفترض أنها كلها دجاج:
الزيادة:
كل حيوان رباعي الأرجل يضيف رجلين:
إذن ذوات الأربع = ٤، وذوات الرجلين:
٦) طريقة الفرض: افترض النوع الأقل
هذه أسرع طريقة في كثير من أسئلة القدرات:
١. افترض أن كل الموجود من النوع الأقل في عدد الأرجل.
٢. احسب المجموع المفترض.
٣. أوجد الفرق بين الحقيقي والمفترض.
٤. اقسم الفرق على مقدار الزيادة بين النوعين.
٧) طريقة الفرض العكسي: افترض النوع الأكبر
يمكنك أيضًا افتراض أن الجميع من النوع ذي الأرجل الأكثر.
مثال
١٠ حيوانات، بعضها دجاج وبعضها أغنام، وعدد الأرجل ٢٨.
لو كانت كلها أغنامًا:
النقص عن هذا الافتراض:
كل دجاجة تنقص رجلين:
إذن الدجاج = ٦، والأغنام = ٤.
٨) أي الفرضين أسرع؟
إذا كان المطلوب عدد ذوات الأربع، فغالبًا افترض أن الجميع من ذوات الرجلين.
إذا كان المطلوب عدد ذوات الرجلين، فقد يكون افتراض أن الجميع من ذوات الأربع أسرع.
اختر الافتراض الذي يوصلك مباشرة إلى المطلوب بأقل خطوات.
٩) طريقة المعادلتين
يمكن دائمًا حل المسألة بالمعادلات.
إذا كان عدد ذوات الرجلين = س، وعدد ذوات الأربع = ص:
مثال
١٠ رؤوس و٢٨ رجلًا:
بقسمة الثانية على ٢:
نطرح المعادلة الأولى:
ثم:
١٠) القانون العام لنوعين بعددين مختلفين
الفكرة لا تقتصر على ٢ و٤.
إذا كان لدينا ر عناصر، والنوع الأول له أ وحدات، والنوع الثاني له ب وحدات، حيث ب أكبر من أ، وكان المجموع الكلي للوحدات = م:
ثم:
١١) لماذا يعمل القانون العام؟
نفترض أن كل العناصر من النوع الأول.
المجموع المفترض:
الزيادة الحقيقية:
كل عنصر من النوع الثاني يضيف:
لذلك نقسم الزيادة على فرق الوحدات بين النوعين.
١٢) مثال ليس ٢ و٤
في موقف ١٠ دراجات، بعضها بعجلتين وبعضها بثلاث عجلات، ومجموع العجلات ٢٤.
نفترض كلها ثنائية:
الزيادة:
كل دراجة ثلاثية تزيد عجلة واحدة:
إذن هناك ٤ دراجات ثلاثية و٦ ثنائية.
١٣) تطبيقات الفكرة خارج الحظيرة
الفكرة نفسها تظهر في:
دراجات بعجلتين وثلاث عجلات.
مركبات بعدد مختلف من العجلات.
طاولات بعدد مختلف من الأرجل.
تذاكر أو قطع لها قيمتان مختلفتان إذا عُرف العدد الكلي والقيمة الكلية.
المهم وجود نوعين، ومجموع عدد العناصر، ومجموع خاصية تختلف بين النوعين.
١٤) إذا أعطاك عدد أحد النوعين
إذا كان المجموع الكلي معلومًا وعدد أحد النوعين معلومًا، لا تحتاج إلى القانون.
مثال
في حظيرة ١٨ حيوانًا، منها ٧ أغنام.
عدد الدجاج:
عدد الأرجل:
١٥) إذا كان المطلوب عدد الأرجل
إذا عرفت عدد كل نوع، اضرب عدد كل نوع في عدد أرجله ثم اجمع.
١٦) إذا كان المطلوب الفرق بين عدد النوعين
بعد إيجاد أحد النوعين، احسب الآخر من مجموع الرؤوس، ثم اطرح.
مثال
٢٤ رأسًا و٧٠ رجلًا.
ذوات الأربع:
ذوات الرجلين:
الفرق:
١٧) اختصار مباشر للفرق في حالة ٢ و٤
إذا كان عدد ذوات الأربع = ص وعدد الرؤوس = ر، فإن ذوات الرجلين = ر−ص.
الفرق بين العددين:
لكن في الاختبار، غالبًا إيجاد النوعين أولًا أوضح وأقل عرضة للخطأ.
١٨) فحص الحد الأدنى للأرجل
إذا كان كل حيوان إما برجلين أو ٤ أرجل، فإن أقل عدد ممكن من الأرجل عندما تكون كلها ذات رجلين:
إذا أعطى السؤال أرجلًا أقل من ذلك، فالمعطيات مستحيلة.
١٩) فحص الحد الأعلى للأرجل
أكبر عدد ممكن عندما تكون كلها ذات ٤ أرجل:
إذن يجب أن يحقق عدد الأرجل ل:
٢٠) فحص الزوجية
في مسألة يكون فيها النوعان ٢ و٤ أرجل، مجموع الأرجل يجب أن يكون زوجيًا.
لذلك ١٠ حيوانات و٢١ رجلًا غير ممكنة.
وهذه طريقة سريعة لاكتشاف بعض الأسئلة غير المنطقية دون حل كامل.
٢١) فحص القابلية للقسمة
في القانون العام، يجب أن يكون:
قابلًا للقسمة على:
حتى يكون عدد النوع الثاني عددًا صحيحًا.
إذا ظهر كسر في عدد الحيوانات أو الدراجات، فالمعطيات غير ممكنة.
٢٢) فحص النتيجة النهائية
بعد الحل تأكد من ثلاثة أمور:
العددان صحيحان وغير سالبين.
مجموعهما = عدد الرؤوس أو العناصر.
مجموع الأرجل أو الوحدات يساوي المعطى في السؤال.
٢٣) تجربة الخيارات
إذا كانت الخيارات أعدادًا قليلة وسهلة، يمكن اختبارها مباشرة.
مثال
١٢ حيوانًا و٣٤ رجلًا، والمطلوب عدد الأرانب.
لو اختبرنا ٥ أرانب:
الدجاج = ٧.
إذن ٥ إجابة صحيحة.
هذه الطريقة قد تكون أسرع من كتابة معادلات.
٢٤) عندما يعطي السؤال فرق عدد النوعين
إذا أعطى السؤال مجموع الحيوانات والفرق بين عددي النوعين، يمكن استخدام قانون المجموع والفرق أولًا.
مثال
عدد الدجاج والأرانب ٢٠، ويزيد الدجاج على الأرانب بـ٤.
الدجاج:
الأرانب:
ثم إذا طُلب عدد الأرجل:
٢٥) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١ — القانون السريع
في حظيرة دجاج وأغنام ١٤ رأسًا و٣٨ رجلًا. كم عدد الأغنام؟
أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧
الإجابة الصحيحة: ب.
مثال ٢ — المطلوب ذوات الرجلين
في حظيرة طيور وأرانب ١٦ رأسًا و٤٨ رجلًا. كم عدد الطيور؟
أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٢
الأرانب:
الطيور:
الإجابة الصحيحة: ب.
مثال ٣ — نوعان ليسا ٢ و٤
يوجد ١٢ دراجة، بعضها ثنائية وبعضها ثلاثية العجلات، ومجموع العجلات ٣٢. كم دراجة ثلاثية؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
لو كانت كلها ثنائية:
الزيادة:
كل دراجة ثلاثية تزيد عجلة واحدة، إذن عددها ٨.
الإجابة الصحيحة: ج.
مثال ٤ — تحقق من الإمكان
في حظيرة ١٢ حيوانًا، بعضها برجلين وبعضها بأربع أرجل. أي عدد من الأرجل غير ممكن؟
أ) ٢٤
ب) ٣٠
ج) ٣٧
د) ٤٨
مجموع الأرجل يجب أن يكون زوجيًا، لذلك ٣٧ غير ممكن.
الإجابة الصحيحة: ج.
٢٦) سؤال قدرات بصيغة أذكى
في حظيرة دجاج وأرانب، عدد الرؤوس ٣٠. لو كانت كلها دجاجًا لكان عدد الأرجل أقل من العدد الحقيقي بـ٢٤ رجلًا. كم عدد الأرانب؟
أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٤
كل أرنب بدل دجاجة يضيف رجلين.
إذن عدد الأرانب = ١٢.
الإجابة الصحيحة: ج.
٢٧) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: الخلط بين عدد الرؤوس وعدد الأرجل.
الخطأ الثاني: نسيان أن عدد الرؤوس = عدد الحيوانات في هذا النمط.
الخطأ الثالث: طرح عدد الرؤوس مباشرة من عدد الأرجل بدل حساب الأرجل المفترضة أولًا.
الخطأ الرابع: في حالة ٢ و٤، نسيان قسمة فرق الأرجل على ٢.
الخطأ الخامس: استخدام قانون ٢ و٤ عندما يكون عدد الوحدات في النوعين مختلفًا عن ذلك.
الخطأ السادس: قبول جواب كسري لعدد الحيوانات أو الدراجات.
الخطأ السابع: عدم فحص أن مجموع الأرجل يقع بين الحد الأدنى والحد الأعلى الممكنين.
الخطأ الثامن: بعد إيجاد أحد النوعين، نسيان طرحه من المجموع لإيجاد النوع الآخر.
٢٨) تكتيكات القدرات
التكتيك الأول: نوعان ٢ و٤ أرجل ← يعطي ذوات الأربع مباشرة.
التكتيك الثاني: افترض الجميع من النوع الأقل، ثم احسب الزيادة.
التكتيك الثالث: القانون العام ← الزيادة الكلية ÷ الزيادة لكل عنصر.
التكتيك الرابع: المطلوب ذوات الرجلين؟ يمكن افتراض الجميع ذوات أربع واستخدام النقص.
التكتيك الخامس: الخيارات سهلة؟ جرّبها بدل المعادلات.
التكتيك السادس: قبل الحل الطويل افحص المجال والزوجية والقابلية للقسمة.
التكتيك السابع: إذا كان أحد النوعين معلومًا، لا تستخدم قانونًا معقدًا؛ اطرح من المجموع ثم احسب الأرجل.
٢٩) تدريب متدرج
سؤال ١
في حظيرة دجاج وأرانب ٢٠ رأسًا و٥٦ رجلًا. كم عدد الأرانب؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
الإجابة: ج.
سؤال ٢
في حظيرة دجاج وأغنام ١٠ رؤوس و٢٨ رجلًا. كم عدد الدجاج؟
أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧
الأغنام = ٤، لذلك الدجاج:
الإجابة: ج.
سؤال ٣
في حظيرة طيور وأرانب ١٨ رأسًا و٥٠ رجلًا. كم عدد الأرانب؟
أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨
الإجابة: ج.
سؤال ٤
في حظيرة دجاج وأغنام ١٥ رأسًا و٤٢ رجلًا. كم عدد الدجاج؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
الأغنام:
الدجاج:
الإجابة: د.
سؤال ٥
في حظيرة ١٨ حيوانًا، منها ٧ أغنام والبقية دجاج. كم عدد الأرجل؟
أ) ٤٦
ب) ٤٨
ج) ٥٠
د) ٥٢
الدجاج = ١١.
الإجابة: ج.
سؤال ٦
في موقف ١٠ دراجات ثنائية وثلاثية العجلات، ومجموع العجلات ٢٤. كم دراجة ثلاثية؟
أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٥
الإجابة: ج.
سؤال ٧
في موقف ١٤ مركبة، بعضها لها عجلتان وبعضها لها ٤ عجلات، ومجموع العجلات ٤٠. كم مركبة ذات ٤ عجلات؟
أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٧
الإجابة: ج.
سؤال ٨
في حظيرة ١٢ حيوانًا من نوعين: أحدهما له رجلان والآخر ٤ أرجل. أي مجموع للأرجل غير ممكن؟
أ) ٢٤
ب) ٣٢
ج) ٤٢
د) ٤٩
مجموع الأرجل يجب أن يكون زوجيًا وأن يقع بين ٢٤ و٤٨.
٤٩ يتجاوز الحد الأعلى وهو فردي أيضًا.
الإجابة: د.
سؤال ٩
في حظيرة ١٥ حيوانًا من نوعين لهما رجلان و٤ أرجل. أي مجموع للأرجل ممكن؟
أ) ٢٩
ب) ٣٨
ج) ٦١
د) ٦٢
المجال من ٣٠ إلى ٦٠، والمجموع يجب أن يكون زوجيًا.
٣٨ يحقق الشرط.
الإجابة: ب.
سؤال ١٠
في حظيرة دجاج وأرانب ٢٤ رأسًا و٧٠ رجلًا. كم يزيد عدد الدجاج على عدد الأرانب؟
أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٤
الأرانب = ١١، والدجاج = ١٣.
الإجابة: ب.
سؤال ١١
عدد الدجاج والأرانب ٢٠، ويزيد الدجاج على الأرانب بـ٤. كم عدد الأرجل؟
أ) ٤٨
ب) ٥٢
ج) ٥٦
د) ٦٠
الدجاج:
الأرانب = ٨.
الإجابة: ج.
سؤال ١٢
في حظيرة ٢٠ حيوانًا، لو كانت كلها دجاجًا لكان عدد الأرجل أقل من العدد الحقيقي بـ١٤ رجلًا. كم عدد الحيوانات رباعية الأرجل؟
أ) ٥
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨
كل حيوان رباعي يزيد رجلين:
الإجابة: ج.
سؤال ١٣
يوجد ١٦ عنصرًا من نوعين؛ الأول له ٣ وحدات والثاني له ٥ وحدات، والمجموع ٦٤ وحدة. كم عنصرًا من النوع الثاني؟
أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩
لو كانت كلها من النوع الأول:
الزيادة = ١٦، وكل عنصر من النوع الثاني يزيد وحدتين:
الإجابة: ج.
سؤال ١٤
في حظيرة ١١ حيوانًا من نوعين لهما رجلان و٤ أرجل، وكان مجموع الأرجل ٣٥. ماذا نستنتج؟
أ) عدد ذوات الأربع ٦
ب) عدد ذوات الرجلين ٦
ج) المعطيات غير ممكنة
د) لا يمكن تحديد النوعين
مجموع أرجل حيوانات لها ٢ أو ٤ أرجل يجب أن يكون زوجيًا، و٣٥ فردي.
إذن المعطيات غير ممكنة.
الإجابة: ج.
٣٠) ملخص الدرس
في الحالة الأشهر: نوع له رجلان ونوع له ٤ أرجل:
والفكرة العامة هي:
افترض الجميع من النوع الأقل، احسب الزيادة الكلية، ثم اقسمها على الزيادة التي يضيفها كل عنصر من النوع الثاني.
وقبل اعتماد الإجابة، افحص المجال والزوجية والقابلية للقسمة، ثم تحقق أن مجموع النوعين ومجموع الأرجل يطابقان المعطيات.