١) الفكرة الأساسية

في مسائل عدّ الأعداد لا يكفي أن نطرح العدد الأصغر من الأكبر.

يجب أولًا أن نعرف:

هل البداية والنهاية داخلتان في العد؟

هل نعد كل الأعداد الصحيحة، أم الزوجية، أم الفردية، أم مضاعفات عدد؟

ما مقدار الفرق بين كل حد والذي يليه؟

٢) من عدد إلى عدد — شمول الطرفين

إذا قال السؤال: «من أ إلى ب» وكان الطرفان داخلين في العد:

مثال

كم عدد الأعداد الصحيحة من ١٠ إلى ٢٠؟

٣) لماذا نضيف ١؟

لأن الطرح يحسب عدد الفواصل بين العددين، بينما المطلوب عدد الأعداد نفسها.

مثال

من ٥ إلى ٨:

٥، ٦، ٧، ٨

عددها ٤.

٤) الأعداد الواقعة بين عددين

إذا قال السؤال: «بين أ وب» وكان المقصود استبعاد الطرفين:

مثال

كم عدد الأعداد الصحيحة بين ٥ و١٢؟

وهي: ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، ١١.

٥) الفرق بين «من... إلى» و«بين»

من ٥ إلى ١٢ شاملًا الطرفين:

بين ٥ و١٢ دون الطرفين:

إذن قراءة كلمة السؤال قد تغيّر الإجابة بمقدار عددين كاملين.

٦) من ١ إلى ن

عدد الأعداد الصحيحة من ١ إلى ن يساوي ن مباشرة.

مثال

كم عدد الأعداد الصحيحة من ١ إلى ٧٥؟

الإجابة مباشرة: ٧٥.

٧) القانون العام لعدد الحدود المنتظمة

إذا كانت الحدود تزيد بمقدار ثابت د:

هذا هو القانون الذي يجمع تحتَه الزوجية والفردية والمضاعفات والمتتابعات المنتظمة.

مثال

كم حدًا في المتتابعة:

٤، ٧، ١٠، ...، ٣١؟

الفرق = ٣.

٨) عدد الأعداد الزوجية في مدى

الفرق بين عددين زوجيين متتاليين هو ٢.

حدد أول عدد زوجي وآخر عدد زوجي داخل المدى، ثم:

مثال

كم عدد الأعداد الزوجية من ٩ إلى ٢٤؟

أول زوجي = ١٠، وآخر زوجي = ٢٤.

٩) عدد الأعداد الفردية في مدى

الفرق بين عددين فرديين متتاليين هو ٢ أيضًا.

مثال

كم عدد الأعداد الفردية من ٨ إلى ٢١؟

أول فردي = ٩، وآخر فردي = ٢١.

١٠) اختصار الزوجية والفردية من ١ إلى ن

من ١ إلى ن:

عدد الأعداد الزوجية:

وعدد الأعداد الفردية:

مثال

من ١ إلى ١٠١:

الزوجية = ٥٠.

الفردية = ٥١.

١١) عدد مضاعفات عدد من ١ إلى ن

من ١ إلى ن، عدد مضاعفات ك يساوي:

أي نقسم ن على ك ونأخذ عدد المضاعفات الكاملة فقط.

مثال

كم مضاعفًا للعدد ٦ من ١ إلى ٤٠؟

وهي: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، ٣٦.

١٢) عدد المضاعفات داخل مدى عام

الطريقة المباشرة: حدد أول مضاعف وآخر مضاعف داخل المدى.

مثال

كم عدد مضاعفات ٤ من ٧ إلى ٣٠؟

أول مضاعف = ٨، وآخر مضاعف = ٢٨.

١٣) قانون أسرع للمضاعفات داخل مدى

إذا كان المدى من أ إلى ب شاملًا الطرفين، فإن عدد مضاعفات ك يساوي:

مثال

كم عدد مضاعفات ٥ من ٢٣ إلى ٧٢؟

وهذه طريقة قوية عندما تكون الحدود كبيرة.

١٤) إذا قال السؤال «بين» في مسألة المضاعفات

إذا قال: مضاعفات ك بين أ وب، فاستبعد أ وب حتى لو كان أحدهما مضاعفًا.

مثال

كم عدد مضاعفات ٥ بين ١٠٠ و٢٠٠؟

أول مضاعف بعد ١٠٠ = ١٠٥.

آخر مضاعف قبل ٢٠٠ = ١٩٥.

١٥) الأعداد السالبة والصفر

قانون العد الشامل يعمل أيضًا عند عبور الصفر.

مثال

كم عددًا صحيحًا من −٤ إلى ٥ شاملًا الطرفين؟

الأعداد هي:

−٤، −٣، −٢، −١، ٠، ١، ٢، ٣، ٤، ٥.

١٦) عدد الأعداد التي تحقق متباينة

حوّل المتباينة إلى أول عدد صحيح وآخر عدد صحيح يسمح بهما الشرط.

مثال

كم عددًا صحيحًا يحقق:

القيم هي ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩.

عددها ٦.

١٧) الأعداد المتتالية

الأعداد الصحيحة المتتالية فرقها ١.

يمكن تمثيل ثلاثة أعداد متتالية حول الأوسط هكذا:

مثال

ثلاثة أعداد متتالية مجموعها ٥١.

إذن الأعداد ١٦، ١٧، ١٨.

١٨) تكتيك المتوسط في الأعداد المتتالية

إذا كان عدد الحدود فرديًا ومتتاليًا بفرق ثابت، فإن متوسطها يساوي الحد الأوسط.

لذلك في ثلاثة أعداد متتالية مجموعها ٥١:

والعدد الأوسط مباشرة ١٧.

١٩) الأعداد الزوجية أو الفردية المتتالية

الفرق بينها ٢.

ثلاثة أعداد زوجية متتالية يمكن تمثيلها:

والطريقة نفسها للأعداد الفردية المتتالية.

مثال

ثلاثة أعداد فردية متتالية مجموعها ٤٥.

العدد الأوسط:

إذن الأعداد ١٣، ١٥، ١٧.

٢٠) إيجاد عدد الحدود من الأول والأخير والفرق

هذه الفكرة لا تقتصر على الأعداد الصحيحة المتتالية.

مثال

كم حدًا في:

٧، ١٢، ١٧، ...، ٥٢؟

الفرق = ٥.

٢١) إيجاد الحد الأخير إذا عرفت عدد الحدود

إذا كان أول حد = أ، والفرق = د، وعدد الحدود = ن:

مثال

متتابعة تبدأ بـ٤، وتزيد ٣ كل مرة، وعدد حدودها ١٠.

٢٢) عدد الأعداد التي تقبل القسمة على أحد عددين

إذا أردنا عدد القيم التي تقبل القسمة على أ أو ب، فلا نجمع العددين مباشرة؛ لأن المضاعفات المشتركة ستُحسب مرتين.

نستخدم:

مثال

من ١ إلى ٣٠، كم عددًا يقبل القسمة على ٢ أو ٣؟

مضاعفات ٢:

مضاعفات ٣:

المضاعفات المشتركة هي مضاعفات ٦:

إذن:

٢٣) عدد المضاعفات مع استبعاد نوع منها

إذا أردنا أعدادًا تقبل القسمة على ٣ ولكن لا تقبل القسمة على ٦:

عدد مضاعفات ٣ − عدد مضاعفات ٦.

مثال

من ١ إلى ٣٠:

٢٤) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — العد الشامل

كم عدد الأعداد الصحيحة من ١٢ إلى ٢٥؟

أ) ١٢
ب) ١٣
ج) ١٤
د) ١٥

مثال ٢ — أعداد فردية

كم عدد الأعداد الفردية من ١٢ إلى ٣٢؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

مثال ٣ — مضاعفات

كم عدد مضاعفات ٧ من ٢٠ إلى ٨٠؟

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠

مثال ٤ — متباينة

كم عددًا صحيحًا يحقق:

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

٢٥) سؤال قدرات بصيغة أذكى

كم عددًا صحيحًا من ١ إلى ٦٠ يقبل القسمة على ٤ أو ٦؟

أ) ١٥
ب) ٢٠
ج) ٢٥
د) ٣٠

٢٦) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: نسيان +١ عند شمول الطرفين.

الخطأ الثاني: استخدام +١ مع كلمة «بين» عندما يكون الطرفان مستبعدين.

الخطأ الثالث: في الزوجية والفردية، البدء بطرف المدى حتى لو لم يكن من النوع المطلوب.

الخطأ الرابع: استخدام فرق ١ في الزوجية والفردية بدل ٢.

الخطأ الخامس: في المضاعفات، عدم تحديد أول مضاعف وآخر مضاعف داخل المدى.

الخطأ السادس: نسيان الصفر عند عد الأعداد في مدى يمر بالصفر.

الخطأ السابع: عند حساب «يقبل القسمة على أ أو ب»، جمع العددين دون طرح المضاعفات المشتركة.

الخطأ الثامن: تمثيل الأعداد الزوجية أو الفردية المتتالية بفرق ١ بدل ٢.

٢٧) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: من أ إلى ب شاملًا الطرفين ← .

التكتيك الثاني: بين أ وب دون الطرفين ← .

التكتيك الثالث: أي متتابعة منتظمة ← .

التكتيك الرابع: الزوجية والفردية فرقها ٢.

التكتيك الخامس: مضاعفات ك من ١ إلى ن ← اقسم ن على ك وخذ عدد المضاعفات الكاملة.

التكتيك السادس: ثلاثة أو خمسة أعداد متتالية ومجموعها معلوم ← المتوسط هو العدد الأوسط.

التكتيك السابع: مدى يمر بالصفر ← لا تنس أن الصفر عدد صحيح ويُحسب إذا كان داخل المدى.

التكتيك الثامن: «أ أو ب» في القسمة ← اجمع ثم اطرح المشترك مرة واحدة.

٢٨) تدريب متدرج

سؤال ١

كم عدد الأعداد الصحيحة من ٣٠ إلى ٤٥ شاملًا الطرفين؟

أ) ١٤
ب) ١٥
ج) ١٦
د) ١٧

سؤال ٢

كم عدد الأعداد الصحيحة بين ٣٠ و٤٥ دون الطرفين؟

أ) ١٣
ب) ١٤
ج) ١٥
د) ١٦

سؤال ٣

كم عدد الأعداد الزوجية من ١١ إلى ٣١؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٤

كم عدد الأعداد الفردية من ١١ إلى ٣١؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٥

كم عدد مضاعفات ٤ من ١٥ إلى ٥٠؟

أ) ٨
ب) ٩
ج) ١٠
د) ١١

سؤال ٦

كم عدد مضاعفات ٩ من ١ إلى ١٠٠؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٧

كم عددًا صحيحًا من −٥ إلى ٥ شاملًا الطرفين؟

أ) ٩
ب) ١٠
ج) ١١
د) ١٢

سؤال ٨

كم عددًا صحيحًا يحقق:

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٩

كم حدًا في المتتابعة: ٥، ٩، ١٣، ...، ٤٩؟

أ) ١٠
ب) ١١
ج) ١٢
د) ١٣

سؤال ١٠

ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها ٧٢. ما أكبرها؟

أ) ٢٣
ب) ٢٤
ج) ٢٥
د) ٢٦

سؤال ١١

ثلاثة أعداد زوجية متتالية مجموعها ٦٦. ما أصغرها؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٢٢
د) ٢٤

سؤال ١٢

متتابعة تبدأ بـ٧ وتزيد ٥ كل مرة. إذا كان فيها ٩ حدود، فما الحد الأخير؟

أ) ٤٢
ب) ٤٧
ج) ٥٢
د) ٥٧

سؤال ١٣

من ١ إلى ٤٠، كم عددًا يقبل القسمة على ٢ أو ٥؟

أ) ٢٠
ب) ٢٤
ج) ٢٨
د) ٣٠

سؤال ١٤

من ١ إلى ٦٠، كم عددًا يقبل القسمة على ٣ ولكن لا يقبل القسمة على ٦؟

أ) ٥
ب) ١٠
ج) ١٥
د) ٢٠

٢٩) ملخص الدرس

إذا كنا نعد كل الأعداد الصحيحة من أ إلى ب شاملًا الطرفين:

وإذا كان المطلوب الأعداد الواقعة بينهما دون الطرفين:

أما في أي تسلسل منتظم:

وفي الزوجية والفردية يكون الفرق ٢، وفي المضاعفات يكون الفرق هو العدد نفسه.

قبل تطبيق أي قانون، حدد بدقة: أول قيمة مسموحة، آخر قيمة مسموحة، وهل الطرفان داخلان في العد أم لا.