١) القاعدة الأساسية

مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي دائمًا:

هذه القاعدة صحيحة لأي مثلث، مهما كان شكله أو أطوال أضلاعه.

٢) إيجاد الزاوية الثالثة

إذا عرفت زاويتين، فالزاوية الثالثة تساوي:

مثال

زاويتان تساويان و.

إذن الثالثة:

٣) إذا كانت الزوايا على صورة متغيرات

اجمع الزوايا كلها وساوِ المجموع بـ ، ثم حل المعادلة.

مثال

زوايا مثلث هي:

إذن:

٤) زوايا تحتوي على ثابت ومتغير

قد تكون بعض الزوايا مكتوبة على صورة تعبير جبري.

مثال

زوايا مثلث:

إذن:

انتبه

إذا طلب السؤال قياس زاوية مثل ، فلا تتوقف عند قيمة س؛ عوّض لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة.

٥) فهم الزاوية الخارجية

الزاوية الخارجية للمثلث تتكوّن عندما نمد أحد أضلاع المثلث خارج الرأس.

الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها تقعان على مستقيم واحد، لذلك:

٦) القاعدة الأسرع للزاوية الخارجية

قياس الزاوية الخارجية في المثلث يساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

مثال

إذا كانت الزاويتان البعيدتان و:

٧) لماذا قاعدة الزاوية الخارجية صحيحة؟

إذا كانت الزاوية الداخلية المجاورة للخارجية هي ج، وكانت الزاويتان البعيدتان أ وب، فإن:

وعلى المستقيم:

إذن:

٨) اختر الطريق الأقصر للزاوية الخارجية

لإيجاد زاوية خارجية لديك طريقتان:

الطريقة الأولى: اطرح الزاوية الداخلية المجاورة من ١٨٠°.

الطريقة الثانية: اجمع الزاويتين الداخليتين البعيدتين.

تكتيك قدرات

استخدم الطريقة التي تعتمد على المعلومات المعطاة مباشرة وتحتاج خطوات أقل.

٩) الزاوية الخارجية مع متغيرات

مثال

زاوية خارجية تساوي ، والزاويتان الداخليتان البعيدتان تساويان و.

نستخدم:

١٠) مجموع الزوايا الخارجية للمثلث

إذا أخذنا زاوية خارجية واحدة عند كل رأس وبالاتجاه نفسه، فإن مجموع الزوايا الخارجية الثلاث يساوي:

مثال

إذا كانت زاويتان خارجيتان و، فإن الثالثة:

١١) ما الذي يمكن استنتاجه من نوع الزوايا؟

بما أن مجموع زوايا المثلث = :

لا يمكن أن يحتوي المثلث على زاويتين قائمتين.

لا يمكن أن يحتوي على زاويتين منفرجتين.

إذا كانت فيه زاوية قائمة، فمجموع الزاويتين الأخريين = .

إذا كانت فيه زاوية منفرجة، فالزاويتان الأخريان حادتان.

١٢) المثلث القائم: اختصار للزاويتين الحادتين

في المثلث القائم توجد زاوية مقدارها .

لذلك مجموع الزاويتين الحادتين:

مثال

إذا كانت إحدى الزاويتين الحادتين ، فالأخرى:

١٣) تساوي الزوايا وتساوي الأضلاع

في أي مثلث:

الأضلاع المتساوية تقابل زوايا متساوية.

والزوايا المتساوية تقابل أضلاعًا متساوية.

مثال

إذا تساوت زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان في الطول.

هذه الفكرة تساعدك لاحقًا في التعرف على المثلث متساوي الساقين ومتساوي الأضلاع.

١٤) الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأكبر

في المثلث نفسه:

الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأطول.

الزاوية الأصغر تقابل الضلع الأقصر.

والعكس صحيح أيضًا:

الضلع الأطول تقابله الزاوية الأكبر.

الضلع الأقصر تقابله الزاوية الأصغر.

مثال

إذا كانت زوايا مثلث:

فالضلع المقابل لـ هو الأطول، والمقابل لـ هو الأقصر.

١٥) المقارنة بين الأضلاع دون حساب أطوالها

إذا طلب السؤال تحديد أكبر ضلع أو أصغر ضلع، فقد لا تحتاج إلى أي قانون أطوال.

تكتيك

رتب الزوايا، ثم رتب الأضلاع المقابلة لها بالترتيب نفسه.

مثال

إذا كانت الزوايا:

فالضلع المقابل للزاوية هو الأكبر.

١٦) حالات خاصة مهمة

إذا كانت زوايا المثلث الثلاث متساوية، فكل زاوية تساوي:

وبما أن الزوايا متساوية، فإن الأضلاع الثلاثة متساوية أيضًا.

فكرة مفيدة

إذا كان المثلث متساوي الساقين وظهرت فيه زاوية مقدارها ، فستقود خواص زواياه إلى أن الزوايا الثلاث كلها ، فيصبح متساوي الأضلاع.

١٧) سلسلة علاقات: مستقيم ثم مثلث

قد تحتاج أولًا إلى إيجاد زاوية من مستقيم، ثم استخدامها داخل المثلث.

مثال

زاوية خارجية تساوي . إذن الزاوية الداخلية المجاورة:

إذا كانت زاوية أخرى في المثلث ، فإن الثالثة:

١٨) لا تعتمد على شكل الرسم

قد يبدو في الرسم أن زاويتين متساويتان أو أن زاوية قائمة، لكن الرسم في أسئلة القدرات ليس بالضرورة مرسومًا بالمقياس.

استخدم فقط:

الأرقام المعطاة.

علامات التساوي.

علامة الزاوية القائمة.

العلاقات المذكورة في السؤال.

١٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — زاوية ثالثة

في مثلث زاويتان و. ما الثالثة؟

أ) ٦٠°
ب) ٧٠°
ج) ٧٥°
د) ٨٠°

مثال ٢ — متغيرات

زوايا مثلث هي . فما س؟

أ) ٢٠°
ب) ٢٥°
ج) ٣٠°
د) ٣٥°

مثال ٣ — زاوية خارجية

زاويتان داخليتان بعيدتان عن زاوية خارجية تساويان و. ما الخارجية؟

أ) ١٠٥°
ب) ١١٠°
ج) ١١٥°
د) ١٢٠°

مثال ٤ — أكبر ضلع

زوايا مثلث هي . أي ضلع هو الأطول؟

أ) المقابل لـ٣٥°
ب) المقابل لـ٦٠°
ج) المقابل لـ٨٥°
د) لا يمكن التحديد

٢٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

زاوية خارجية لمثلث تساوي ، وإحدى الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها ضعف الأخرى. فما الزاوية الأصغر؟

أ) ٣٠°
ب) ٤٥°
ج) ٦٠°
د) ٩٠°

٢١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام بدل لمجموع الزوايا الداخلية.

الخطأ الثاني: الخلط بين الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المجاورة لها.

الخطأ الثالث: جمع الزاوية الخارجية مع زاويتي المثلث الأخريين باعتبارها من الزوايا الداخلية الثلاث.

الخطأ الرابع: عند إيجاد س، نسيان التعويض لإيجاد قياس الزاوية المطلوبة إذا كانت مثل .

الخطأ الخامس: افتراض أن الزوايا متساوية من شكل الرسم فقط.

الخطأ السادس: الخلط بين «أكبر زاوية» و«أكبر ضلع»؛ الضلع الأكبر هو المقابل لأكبر زاوية، وليس الضلع المجاور لها.

الخطأ السابع: الاعتقاد أن المثلث يمكن أن يحتوي على زاويتين منفرجتين أو قائمتين.

٢٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: بمجرد رؤية مثلث، ضع في ذهنك.

التكتيك الثاني: زاوية ثالثة؟ اجمع المعلومتين واطرح من ١٨٠°.

التكتيك الثالث: زاوية خارجية؟ اختر الأسرع بين «مجموع البعيدتين» و«١٨٠° − المجاورة».

التكتيك الرابع: في المثلث القائم، الزاويتان الأخريان مجموعهما مباشرة.

التكتيك الخامس: إذا كانت الزوايا تحتوي على س، كوّن معادلة واحدة بدل حل كل زاوية على حدة.

التكتيك السادس: إذا سأل عن أطول ضلع، ابحث عن أكبر زاوية فقط.

التكتيك السابع: إذا تساوت زاويتان، ففكر فورًا في تساوي الضلعين المقابلين.

التكتيك الثامن: لا تعتمد على الرسم إلا في العلامات الصريحة.

٢٣) تدريب متدرج

سؤال ١

مثلث فيه زاويتان ٣٠° و٨٠°. ما الثالثة؟

أ) ٦٠°
ب) ٧٠°
ج) ٨٠°
د) ٩٠°

سؤال ٢

زوايا مثلث هي س، س، ١٠٠°. فما س؟

أ) ٣٠°
ب) ٣٥°
ج) ٤٠°
د) ٤٥°

سؤال ٣

زوايا مثلث هي . فما س؟

أ) ٢٠°
ب) ٢٤°
ج) ٢٦°
د) ٣٠°

سؤال ٤

زاوية خارجية ومجاورتها الداخلية تساوي . فما الخارجية؟

أ) ١٠٥°
ب) ١١٠°
ج) ١١٥°
د) ١٢٥°

سؤال ٥

زاويتان داخليتان بعيدتان عن زاوية خارجية هما ٥٥° و٦٥°. ما الخارجية؟

أ) ١١٠°
ب) ١١٥°
ج) ١٢٠°
د) ١٢٥°

سؤال ٦

زاويتان خارجيتان في مثلث هما ١١٠° و١٣٠°. ما الزاوية الخارجية الثالثة؟

أ) ١٠٠°
ب) ١١٠°
ج) ١٢٠°
د) ١٣٠°

سؤال ٧

في مثلث قائم، إحدى الزاويتين الحادتين ٢٨°. فما الأخرى؟

أ) ٥٢°
ب) ٦٢°
ج) ٧٢°
د) ١٥٢°

سؤال ٨

زوايا مثلث هي ٤٠°، ٦٠°، ٨٠°. أي ضلع هو الأقصر؟

أ) المقابل لـ٤٠°
ب) المقابل لـ٦٠°
ج) المقابل لـ٨٠°
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٩

إذا تساوت زاويتان في مثلث، فما الذي نستنتجه؟

أ) جميع الأضلاع متساوية دائمًا
ب) الضلعان المقابلان لهما متساويان
ج) المثلث قائم دائمًا
د) الزاوية الثالثة تساوي ٩٠°

سؤال ١٠

أي مجموعة لا يمكن أن تمثل زوايا مثلث؟

أ) ٦٠°، ٦٠°، ٦٠°
ب) ٩٠°، ٣٠°، ٦٠°
ج) ١٠٠°، ٥٠°، ٣٠°
د) ٩٠°، ٩٠°، ٠°

سؤال ١١

زاوية خارجية تساوي ١٣٥°، وإحدى الزاويتين البعيدتين ٥٥°. فما الأخرى؟

أ) ٧٠°
ب) ٨٠°
ج) ٩٠°
د) ١٠٠°

سؤال ١٢

في مثلث، أكبر زاوية تساوي ١١٠°. ماذا نعرف عن الزاويتين الأخريين؟

أ) كلتاهما منفرجتان
ب) إحداهما قائمة
ج) كلتاهما حادتان
د) لا يمكن أن يوجد مثلث بهذه الزاوية

سؤال ١٣

مثلث زواياه متساوية. ما قياس كل زاوية؟

أ) ٤٥°
ب) ٥٠°
ج) ٦٠°
د) ٩٠°

سؤال ١٤

إذا كان في مثلث ضلعان طولهما متساويًا، فما العلاقة بين الزاويتين المقابلتين لهما؟

أ) مجموعهما ٩٠°
ب) متساويتان
ج) إحداهما ضعف الأخرى
د) لا توجد علاقة

٢٤) ملخص الدرس

مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث هو . لإيجاد زاوية ناقصة، اجمع المعلومتين واطرح من ١٨٠°، وإذا كانت الزوايا مكتوبة بمتغيرات فكوّن معادلة واحدة.

الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، كما أنها تكمل الزاوية الداخلية المجاورة لها إلى . ومجموع زاوية خارجية واحدة عند كل رأس يساوي .

في المثلث، الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأطول، والزوايا المتساوية تقابل أضلاعًا متساوية. ولا تعتمد على مظهر الرسم وحده؛ اعتمد على المعطيات والعلامات الهندسية.