دليل منهج اختبار القدرات

خصائص متوازي الأضلاع

اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.

الفكرة

متوازي الأضلاع شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان. الزوايا المتقابلة متساوية، والمتجاورة مجموعها ١٨٠°، والقطران ينصف كل منهما الآخر، وكل قطر يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين.

مثال

إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع ٧٠°، فالزاوية المقابلة لها ٧٠°، وكل زاوية مجاورة لها ١١٠°.

الشرح المفصّل

١) ما هو متوازي الأضلاع؟

متوازي الأضلاع شكل رباعي، أي له أربعة أضلاع وأربع زوايا.

وفيه كل ضلعين متقابلين متوازيان.

وبما أنه شكل رباعي، فإن مجموع زواياه الداخلية:

٢) الخصائص الخمس الأساسية

احفظ هذه العلاقات لأنها تحل معظم أسئلة الوحدة:

١. كل ضلعين متقابلين متوازيان.

٢. كل ضلعين متقابلين متساويان.

٣. كل زاويتين متقابلتين متساويتان.

٤. كل زاويتين متجاورتين مجموعهما .

٥. القطران ينصف كل منهما الآخر.

٣) الأضلاع المتقابلة متساوية

إذا عرفت طول ضلع، فقد عرفت طول الضلع المقابل له مباشرة.

مثال

إذا كان أحد الأضلاع = ٩، فالضلع المقابل له = ٩.

مع متغير

إذا كان ضلعان متقابلان:

و:

فنساويهما:

٤) الأضلاع المتقابلة متوازية

التوازي يسمح باستخدام علاقات الزوايا الناتجة عن القواطع عند الحاجة.

لكن في هذه الوحدة يكفي أن تتذكر أن الضلع لا يوازي الضلع المجاور له، بل يوازي المقابل له.

٥) الزوايا المتقابلة متساوية

إذا كانت إحدى الزوايا ، فإن الزاوية المقابلة لها أيضًا:

مع متغير

إذا كانت زاويتان متقابلتان:

و:

فنكتب:

٦) الزوايا المتجاورة متكاملة

كل زاويتين متجاورتين في متوازي الأضلاع مجموعهما:

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا ، فالزاوية المجاورة:

٧) معرفة زاوية واحدة تكفي لمعرفة الأربع

إذا عرفت زاوية واحدة، فالزاوية المقابلة لها تساويها، والزاويتان المجاورتان تكملانها إلى ١٨٠°.

مثال

إذا كانت زاوية = :

المقابلة = .

وكل زاوية مجاورة:

إذن الزوايا الأربع:

٨) زاويتان متجاورتان على صورة متغيرات

مثال

زاويتان متجاورتان قياسهما:

و:

بما أنهما متجاورتان:

٩) القطران ينصف كل منهما الآخر

إذا تقاطع قطرا متوازي الأضلاع في نقطة، فإن نقطة التقاطع هي منتصف كل قطر.

أي أن كل قطر ينقسم إلى جزأين متساويين.

مثال

إذا كان نصف أحد القطرين = ٧، فإن طول القطر كاملًا:

١٠) إيجاد متغير من نصفي قطر

مثال

جزآ أحد القطرين هما:

و:

لأن القطرين يتنصفان:

١١) القطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين

إذا رسمنا قطرًا واحدًا، فإنه يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.

لذلك:

مساحتا المثلثين متساويتان.

كل واحد منهما يمثل نصف مساحة متوازي الأضلاع.

مثال

إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع = ٨٠، فإن مساحة كل مثلث ناتج عن رسم قطر:

١٢) ماذا يحدث عند رسم القطرين؟

بما أن القطرين ينصف كل منهما الآخر، فإن نقطة التقاطع تقسم كل قطر إلى نصفين.

لكن لا تفترض أن المثلثات الأربعة الناتجة كلها متطابقة في أي متوازي أضلاع عام.

يمكن استنتاج علاقات مساحات مفيدة لاحقًا، لكن لا نضيف خواص غير معطاة للشكل.

١٣) لا تفترض أن القطرين متساويان

في متوازي الأضلاع العام:

القطران ينصف كل منهما الآخر.

لكن:

ليس شرطًا أن يكون طولهما متساويًا.

تساوي القطرين خاصية تظهر في أشكال خاصة مثل المستطيل والمربع.

١٤) لا تفترض أن القطرين متعامدان

ليس من خصائص متوازي الأضلاع العام أن يكون القطران متعامدين.

التعامد يظهر في أشكال خاصة مثل المعين والمربع.

١٥) لا تفترض أن القطر ينصف الزاوية

القطر في متوازي الأضلاع العام لا ينصف الزوايا بالضرورة.

إذن إذا رأيت قطرًا، استخدم الخاصية المؤكدة:

القطران ينصف كل منهما الآخر.

ولا تضف علاقة أخرى إلا إذا كانت معطاة أو كان الشكل من نوع خاص.

١٦) كيف أميز العلاقة المطلوبة بسرعة؟

إذا كان السؤال عن ضلعين متقابلين ← ساوهما.

إذا كان عن زاويتين متقابلتين ← ساوهما.

إذا كان عن زاويتين متجاورتين ← اجعلهما مجموعهما ١٨٠°.

إذا كان عن جزأين من القطر نفسه حول نقطة التقاطع ← ساوهما.

١٧) هل يمكن إثبات أن شكلًا رباعيًا متوازي أضلاع؟

من الطرق المفيدة للتعرف على متوازي الأضلاع:

إذا كان كل ضلعين متقابلين متوازيين.

أو كان كل ضلعين متقابلين متساويين.

أو كان زوج واحد من الأضلاع المتقابلة متوازيًا ومتساويًا في الوقت نفسه.

أو كان القطـران ينصف كل منهما الآخر.

مهم

هذه الشروط تُستخدم عندما يطلب السؤال تحديد هل الشكل الرباعي متوازي أضلاع، وليس فقط عندما يخبرك بذلك صراحة.

١٨) علاقة متوازي الأضلاع بالأشكال الخاصة

المستطيل والمعين والمربع كلها حالات خاصة من متوازي الأضلاع، لذلك تشترك معه في الخصائص الأساسية.

لكن لكل واحد منها خصائص إضافية ستأتي في وحدته الخاصة.

انتبه

وجود خاصية إضافية في المستطيل أو المعين لا يعني أنها صحيحة لكل متوازي أضلاع.

١٩) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — ضلع مقابل

في متوازي أضلاع، أحد الأضلاع ١٢. ما طول الضلع المقابل له؟

أ) ٦
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ٢٤

الأضلاع المتقابلة متساوية.

الإجابة: ج.

مثال ٢ — زاوية مقابلة

في متوازي أضلاع، إحدى الزوايا ٧٥°. ما الزاوية المقابلة لها؟

أ) ٧٥°
ب) ٩٠°
ج) ١٠٥°
د) ١٨٠°

الزوايا المتقابلة متساوية.

الإجابة: أ.

مثال ٣ — زاوية مجاورة

في متوازي أضلاع، إحدى الزوايا ١٣٠°. ما الزاوية المجاورة لها؟

أ) ٤٠°
ب) ٥٠°
ج) ٦٠°
د) ١٣٠°

الإجابة: ب.

مثال ٤ — قطر

تقاطع قطرا متوازي أضلاع. إذا كان أحد جزأي قطر = ٩، فما طول القطر كله؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٢٧

الإجابة: ج.

٢٠) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في متوازي أضلاع، قياس زاويتين متجاورتين هو و. فما قيمة س؟

أ) ٢٥
ب) ٣٠
ج) ٣٥
د) ٤٠

الزاويتان المتجاورتان مجموعهما ١٨٠°:

الإجابة: ج.

٢١) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: اعتبار كل زوايا متوازي الأضلاع متساوية. المتقابلة متساوية، والمتجاورة مجموعها ١٨٠°.

الخطأ الثاني: اعتبار كل الأضلاع متساوية. المتقابلة فقط متساوية في متوازي الأضلاع العام.

الخطأ الثالث: اعتبار القطرين متساويين. الصحيح أنهما ينصف كل منهما الآخر فقط.

الخطأ الرابع: افتراض أن القطرين متعامدان.

الخطأ الخامس: افتراض أن كل زاوية قائمة لأن الشكل يبدو قريبًا من المستطيل.

الخطأ السادس: الخلط بين «الضلع المقابل» و«الضلع المجاور».

الخطأ السابع: استخدام خاصية من خصائص المعين أو المستطيل في متوازي أضلاع عام دون معطى إضافي.

٢٢) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: ضلع مقابل ← نفس الطول.

التكتيك الثاني: زاوية مقابلة ← نفس القياس.

التكتيك الثالث: زاوية مجاورة ← اطرح من ١٨٠°.

التكتيك الرابع: نصف قطر معلوم ← القطر كاملًا = الضعف.

التكتيك الخامس: قطر واحد مرسوم ← تذكر أنه يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين.

متوازي الأضلاع شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان، والزوايا المتقابلة متساوية، والمتجاورة مجموعها .

القطران ينصف كل منهما الآخر، والقطر الواحد يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين. لكن لا تفترض أن القطرين متساويان أو متعامدان أو أنهما ينصفان الزوايا في متوازي الأضلاع العام.

في أسئلة القدرات، حدد أولًا نوع العلاقة: مقابل = مساواة، مجاور في الزوايا = ١٨٠°، ونصفا القطر = مساواة. ثم كوّن المعادلة المناسبة.