١) ما هو المعين؟

المعين شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية.

وهو نوع خاص من متوازي الأضلاع، لذلك يرث خصائصه الأساسية.

٢) أهم خصائص المعين

الأضلاع الأربعة متساوية.

كل ضلعين متقابلين متوازيان.

الزوايا المتقابلة متساوية.

كل زاويتين متجاورتين مجموعهما ١٨٠°.

القطران ينصف كل منهما الآخر.

القطران متعامدان.

كل قطر ينصف زاويتَي الرأس اللتين يمر بهما.

٣) الأضلاع في المعين

إذا كان طول أحد أضلاع المعين = س، فإن الأضلاع الأربعة كلها تساوي س.

مثال

إذا كان أحد الأضلاع ١٣، فإن كل ضلع آخر يساوي ١٣.

٤) الأضلاع المتقابلة متوازية

لأن المعين متوازي أضلاع، فإن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

هذه الخاصية تسمح باستخدام قواعد الزوايا الناتجة عن المستقيمات المتوازية في الأسئلة المركبة.

٥) الزوايا المتقابلة

كل زاويتين متقابلتين في المعين متساويتان.

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا:

فالزاوية المقابلة لها:

٦) الزوايا المتجاورة

كل زاويتين متجاورتين في المعين مجموعهما:

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا:

فالزاوية المجاورة لها:

٧) إذا عرفت زاوية واحدة عرفت الزوايا كلها

إذا كانت زاوية في المعين = أ، فإن الزاوية المقابلة = أ، والزاويتان المجاورتان:

مثال

إذا كانت إحدى الزوايا ١٢٠°، فإن الزوايا الأربع:

٨) القطران ينصف كل منهما الآخر

إذا تقاطع قطرا المعين عند النقطة م، فإن م منتصف كل قطر.

إذا كان أحد القطرين أ ج:

وإذا كان القطر الآخر ب د:

مثال

إذا كان نصف أحد القطرين ٨، فإن طول القطر كاملًا:

٩) القطران متعامدان

قطرا المعين يتقاطعان بزاوية قائمة.

إذن الزوايا الأربع عند نقطة التقاطع:

١٠) القطران لا يلزم أن يكونا متساويين

من الأخطاء الشائعة افتراض أن قطري المعين متساويان.

في المعين العام:

القطران متعامدان وينصف كل منهما الآخر، لكنهما ليسا بالضرورة متساويين.

إذا كان المعين مربعًا، عندها يكون القطران متساويين أيضًا.

١١) القطر ينصف زاوية الرأس

كل قطر في المعين ينصف الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.

مثال

إذا كانت زاوية أحد الرؤوس:

ومر بها قطر، فإنه يقسمها إلى:

١٢) القطران يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات

عند رسم القطرين، ينقسم المعين إلى أربعة مثلثات قائمة.

ولأن القطرين ينصف كل منهما الآخر، فإن المثلثات الأربعة متساوية في المساحة.

وفي المعين تكون هذه المثلثات متطابقة أيضًا؛ لأن لكل منها ساقين تمثلان نصفي القطرين، والزاوية المحصورة بينهما قائمة.

١٣) العلاقة بين الضلع ونصفي القطرين

عند تقاطع القطرين، يتكوّن مثلث قائم وتره أحد أضلاع المعين، وضلعاه القائمان هما نصفا القطرين.

إذا كان نصفا القطرين أ وب، وطول ضلع المعين س:

مثال

إذا كان نصفا القطرين ٣ و٤:

١٤) إيجاد الضلع من القطرين

إذا كان طولا القطرين كاملين ق١ وق٢، فإن نصفيهما:

وطول الضلع:

مثال

قطرا معين ٦ و٨.

نصفاهما ٣ و٤، لذلك:

١٥) إيجاد قطر مجهول من الضلع والقطر الآخر

نستخدم المثلث القائم الناتج من نصفي القطرين.

مثال

ضلع معين = ١٣، وأحد القطرين = ١٠.

نصف القطر المعلوم = ٥.

إذا كان نصف القطر الآخر = س:

إذن القطر الآخر كاملًا:

١٦) زوايا المثلثات الناتجة من القطرين

كل مثلث ناتج من تقاطع القطرين قائم عند المركز.

إذا كانت إحدى زاويتي رأس المعين = أ، فإن القطر الذي يمر بها يقسمها إلى نصفين:

وهذا يسمح بربط خصائص المعين بدرس المثلث القائم.

١٧) المعين ومتوازي الأضلاع

كل معين متوازي أضلاع؛ لأن كل ضلعين متقابلين متوازيان.

لكن ليس كل متوازي أضلاع معينًا؛ لأن المعين يشترط تساوي الأضلاع الأربعة.

قاعدة سريعة

متوازي أضلاع + أربعة أضلاع متساوية = معين.

١٨) المعين والمربع

كل مربع معين؛ لأن أضلاعه الأربعة متساوية.

لكن ليس كل معين مربعًا؛ لأن المعين لا يشترط أن تكون زواياه قائمة.

قاعدة سريعة

معين + زاوية قائمة = مربع.

١٩) متى يصبح المعين مربعًا؟

إذا تحققت في المعين خاصية تجعل زواياه قائمة، فإنه يصبح مربعًا.

ومن العلامات السريعة:

إذا كان أحد زواياه ٩٠°، فهو مربع.

إذا كان قطراه متساويين، فهو مربع.

لأن المعين أصلًا متوازي أضلاع، وتساوي قطري متوازي الأضلاع يجعله مستطيلًا، ومع تساوي أضلاعه يصبح مربعًا.

٢٠) لا تخلط بين المعين والمربع

المعين والمربع يشتركان في:

الأضلاع الأربعة المتساوية.

القطرين المتعامدين.

تنصيف القطرين لبعضهما.

تنصيف القطرين لزوايا الرؤوس.

لكن المربع يتميز بأن:

زواياه الأربع قائمة.

وقطراه متساويان.

٢١) تكوين معادلة من الزوايا المتجاورة

إذا أعطى السؤال زاويتين متجاورتين على صورة تعبيرين جبريين، فمجموعهما ١٨٠°.

مثال

زاويتان متجاورتان:

و:

إذن:

٢٢) تكوين معادلة من تنصيف الزاوية

إذا قسم القطر زاوية في المعين إلى جزأين، فالجزآن متساويان.

مثال

إذا كان الجزآن:

و:

فنكتب:

٢٣) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الزوايا

في معين، إحدى الزوايا ٧٥°. ما قياس الزاوية المجاورة لها؟

أ) ٧٥°
ب) ٩٠°
ج) ١٠٥°
د) ١١٥°

مثال ٢ — تنصيف القطر

أحد قطري معين طوله ٢٦. ما طول كل نصف منه عند نقطة التقاطع؟

أ) ٦٫٥
ب) ١٣
ج) ٢٦
د) ٥٢

مثال ٣ — الضلع من القطرين

قطرا معين ١٠ و٢٤. ما طول ضلعه؟

أ) ١٢
ب) ١٣
ج) ١٧
د) ٢٦

مثال ٤ — زاوية مع القطر

زاوية في معين = ٨٠°، ويمر بها أحد القطرين. ما قياس الزاوية بين القطر وأحد الضلعين عند الرأس؟

أ) ٢٠°
ب) ٤٠°
ج) ٨٠°
د) ١٠٠°

٢٤) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في معين، أحد القطرين ١٦، والقطر الآخر ٣٠. فما طول ضلع المعين؟

أ) ١٣
ب) ١٥
ج) ١٧
د) ٢٣

٢٥) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الاعتقاد أن زوايا المعين كلها قائمة. إذا كانت كلها قائمة، يصبح مربعًا.

الخطأ الثاني: الاعتقاد أن قطري المعين متساويان دائمًا. الصحيح أنهما متعامدان وينصف كل منهما الآخر، لكنهما ليسا بالضرورة متساويين.

الخطأ الثالث: نسيان أن الزوايا المتجاورة مجموعها ١٨٠°.

الخطأ الرابع: استخدام طولي القطرين كاملين مباشرة في فيثاغورس لإيجاد الضلع. يجب استخدام نصفي القطرين.

الخطأ الخامس: اعتبار كل متوازي أضلاع معينًا؛ المعين يحتاج إلى تساوي الأضلاع الأربعة.

الخطأ السادس: اعتبار كل معين مربعًا؛ يحتاج المعين إلى زوايا قائمة ليكون مربعًا.

٢٦) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: كلمة «معين» ← أربعة أضلاع متساوية.

التكتيك الثاني: زاوية معلومة ← المقابلة مساوية، والمجاورة = ١٨٠° ناقص الزاوية.

التكتيك الثالث: تقاطع القطرين ← زاوية ٩٠° وكل قطر منصف للآخر.

التكتيك الرابع: قطر يمر برأس ← يقسم زاوية الرأس إلى نصفين.

التكتيك الخامس: لإيجاد الضلع من القطرين، استخدم نصفي القطرين مع فيثاغورس.

التكتيك السادس: لا تفترض تساوي القطرين إلا إذا أعطاك السؤال ما يجعل المعين مربعًا.

التكتيك السابع: معين + زاوية قائمة ← مربع.

التكتيك الثامن: معين + قطران متساويان ← مربع.

٢٧) تدريب متدرج

سؤال ١

معين طول أحد أضلاعه ١٤. ما طول أي ضلع آخر؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢٨
د) ٥٦

سؤال ٢

في معين، زاوية تساوي ٨٠°. ما قياس الزاوية المقابلة لها؟

أ) ٨٠°
ب) ١٠٠°
ج) ١٢٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٣

في معين، زاوية تساوي ١١٠°. ما قياس الزاوية المجاورة لها؟

أ) ٥٠°
ب) ٦٠°
ج) ٧٠°
د) ١١٠°

سؤال ٤

ما قياس الزاوية بين قطري المعين؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٥

أحد قطري معين طوله ٣٦. ما طول نصفه؟

أ) ٩
ب) ١٢
ج) ١٨
د) ٣٦

سؤال ٦

زاوية في معين ١٢٠°، ويمر بها قطر. ما قياس كل جزء من الزاوية؟

أ) ٣٠°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٢٠°

سؤال ٧

قطرا معين ٦ و٨. ما طول ضلع المعين؟

أ) ٥
ب) ٧
ج) ١٠
د) ١٤

سؤال ٨

قطرا معين ١٤ و٤٨. ما طول ضلعه؟

أ) ٢٤
ب) ٢٥
ج) ٣١
د) ٥٠

سؤال ٩

ضلع معين ١٠، وأحد قطريه ١٢. ما طول القطر الآخر؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ٢٠

سؤال ١٠

أي عبارة صحيحة دائمًا في المعين؟

أ) القطران متساويان دائمًا
ب) الزوايا الأربع قائمة
ج) القطران متعامدان وينصف كل منهما الآخر
د) ضلعان فقط متساويان

سؤال ١١

إذا كانت زاويتان متجاورتان في معين هما س+٢٠ و٢س+١٠، فما س؟

أ) ٤٠
ب) ٥٠
ج) ٦٠
د) ٧٠

سؤال ١٢

في معين، قسم قطر زاوية إلى جزأين قياسهما ٣س−٥ و٢س+١٥. فما س؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٢٥

سؤال ١٣

معين إحدى زواياه ٩٠°. ما الوصف الأدق له؟

أ) مربع
ب) شبه منحرف فقط
ج) مستطيل غير مربع
د) لا يمكن أن يكون معينًا

سؤال ١٤

معين قطراه متساويان. ما الشكل الذي يصبح عليه؟

أ) مثلث
ب) مربع
ج) شبه منحرف
د) لا يتغير شيء

٢٨) ملخص الدرس

المعين شكل رباعي أضلاعه الأربعة متساوية، وهو نوع خاص من متوازي الأضلاع. لذلك أضلاعه المتقابلة متوازية، وزواياه المتقابلة متساوية، والمتجاورة مجموعها ١٨٠°.

قطرا المعين متعامدان، وينصف كل منهما الآخر، وكل قطر ينصف زاويتَي الرأس اللتين يمر بهما. لكن القطرين ليسا بالضرورة متساويين.

عند تقاطع القطرين يتكوّن مثلث قائم يمكن استخدام فيثاغورس فيه؛ فإذا كان نصفا القطرين أ وب وطول الضلع س:

والمربع حالة خاصة من المعين؛ فإذا أصبح للمعين زاوية قائمة، أو أصبح قطراه متساويين، أصبح مربعًا.