١) ما هو المستطيل؟

المستطيل شكل رباعي له أربع زوايا قائمة.

لذلك قياس كل زاوية فيه:

وهو أيضًا نوع خاص من متوازي الأضلاع، ولذلك يرث خصائص مهمة منه.

٢) أهم خصائص المستطيل

الأضلاع المتقابلة متوازية.

الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول.

الزوايا الأربع قائمة.

القطران متساويان في الطول.

كل قطر ينصف القطر الآخر.

كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمين متطابقين.

للمستطيل محورَا تماثل.

٣) الأضلاع المتقابلة

إذا كان طول المستطيل = أ وعرضه = ب، فإن الضلع المقابل للطول يساوي أ، والضلع المقابل للعرض يساوي ب.

مثال

مستطيل طوله ١٢ وعرضه ٧.

أطوال أضلاعه الأربعة:

انتبه

لا نقول إن أضلاع المستطيل الأربعة متساوية. إذا تساوت الأضلاع الأربعة مع بقاء الزوايا قائمة، يصبح الشكل مربعًا.

٤) الزوايا في المستطيل

كل زاوية تساوي:

ومجموع الزوايا الأربع:

وهذا يوافق مجموع زوايا أي شكل رباعي.

٥) الزوايا المتجاورة والمتقابلة

بما أن كل الزوايا قائمة، فإن أي زاويتين متجاورتين مجموعهما:

كما أن الزوايا المتقابلة متساوية، وكل واحدة منها .

٦) قطرا المستطيل متساويان

إذا كان طول أحد القطرين = ق، فإن طول القطر الآخر = ق أيضًا.

مثال

إذا كان أحد القطرين ٢٢، فالقطر الآخر:

هذه الخاصية تميّز المستطيل عن متوازي الأضلاع العام؛ ففي متوازي الأضلاع لا يشترط أن يكون القطران متساويين.

٧) القطران ينصف كل منهما الآخر

إذا تقاطع القطران في النقطة م، فإن م هي منتصف كل قطر.

فإذا كان أحد القطرين أ ج:

وإذا كان القطر الآخر ب د:

٨) أنصاف القطرين الأربعة متساوية

لأن القطرين متساويان وينصف كل منهما الآخر، فإن المسافات من نقطة التقاطع إلى الرؤوس الأربعة متساوية.

إذا كانت م نقطة تقاطع القطرين:

مثال

إذا كان ، فإن:

وطول كل قطر كامل:

٩) كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمين متطابقين

عند رسم قطر واحد، يتكوّن مثلثان لهما الأبعاد نفسها.

كل مثلث يحتوي على:

طول المستطيل.

عرض المستطيل.

قطر المستطيل.

لذلك المثلثان متطابقان وقائمان.

نتيجة مهمة

مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة المستطيل.

١٠) قطر المستطيل وفيثاغورس

لأن القطر يقسم المستطيل إلى مثلث قائم، فإن:

حيث ق القطر، وط الطول، وع العرض.

مثال

مستطيل طوله ١٢ وعرضه ٥.

١١) إيجاد أحد البعدين من القطر

إذا عرفت القطر وأحد البعدين، يمكن إيجاد البعد الآخر بفيثاغورس.

مثال

قطر مستطيل = ١٧، وعرضه = ٨.

١٢) مركز المستطيل

نقطة تقاطع القطرين هي مركز المستطيل.

ومن الخصائص المفيدة:

تبعد المسافة نفسها عن الرؤوس الأربعة.

تقسم كل قطر إلى نصفين متساويين.

مثال

إذا كان قطر المستطيل ٢٠، فالمسافة من المركز إلى أي رأس:

١٣) القطران ليسا متعامدين دائمًا

من الأخطاء الشائعة الاعتقاد أن قطري المستطيل متعامدان.

في المستطيل العام: القطران متساويان وينصف كل منهما الآخر، لكنهما لا يكونان متعامدين بالضرورة.

إذا كان المستطيل مربعًا، عندها يصبح القطران متعامدين.

١٤) القطر لا ينصف زاوية الرأس دائمًا

قطر المستطيل لا يقسم زاوية الرأس إلى زاويتين متساويتين في المستطيل العام.

أي لا نستطيع القول تلقائيًا إن كل زاوية تساوي .

هذه الخاصية تتحقق في المربع بسبب تساوي طوله وعرضه، وليست خاصية عامة لكل مستطيل.

١٥) محورَا التماثل

للمستطيل غير المربع محورَا تماثل:

محور يمر بمنتصف الضلعين الطويلين.

ومحور يمر بمنتصف الضلعين القصيرين.

أما القطران فليسا محورَي تماثل للمستطيل العام.

انتبه

إذا كان المستطيل مربعًا، يزداد عدد محاور التماثل إلى أربعة.

١٦) المستطيل ومتوازي الأضلاع

كل مستطيل هو متوازي أضلاع، لأن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.

لكن ليس كل متوازي أضلاع مستطيلًا؛ لكي يكون مستطيلًا يجب أن تكون زواياه قائمة.

خاصية مميزة

إذا كان متوازي أضلاع قطراه متساويين، فإنه مستطيل.

١٧) المستطيل والمربع

كل مربع مستطيل، لأن زواياه الأربع قائمة.

لكن ليس كل مستطيل مربعًا؛ فالمستطيل لا يشترط فيه تساوي الأضلاع الأربعة.

قاعدة سريعة

مستطيل + جميع الأضلاع متساوية = مربع.

١٨) إذا رسمنا القطرين معًا

القطران يقسمان المستطيل إلى أربعة مثلثات.

بسبب تنصيف القطرين، تكون المساحات الأربع متساوية.

مثال

إذا كانت مساحة المستطيل ٨٠، فإن مساحة كل مثلث من المثلثات الأربعة الناتجة عن رسم القطرين:

تنبيه

تساوي المساحات لا يعني أن المثلثات الأربعة كلها متطابقة في المستطيل العام.

١٩) طول المستطيل وعرضه

يُستخدم عادةً لفظ «الطول» للبعد الأكبر و«العرض» للبعد الأصغر.

لكن الخصائص والقوانين لا تعتمد على الاسم؛ المهم معرفة البعدين المتعامدين.

٢٠) كيف أميز معلومة لا تخص المستطيل؟

إذا أعطاك السؤال مجموعة عبارات، فتذكر:

جميع الزوايا قائمة ← صحيحة.

الأضلاع المتقابلة متساوية ← صحيحة.

القطران متساويان ← صحيحة.

القطران ينصف كل منهما الآخر ← صحيحة.

الأضلاع الأربعة متساوية ← ليست صحيحة دائمًا.

القطران متعامدان ← ليست صحيحة دائمًا.

كل قطر ينصف زاوية الرأس ← ليست صحيحة دائمًا.

٢١) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — ضلع مقابل

مستطيل طوله ١٦ وعرضه ٩. ما طول الضلع المقابل للعرض؟

أ) ٧
ب) ٩
ج) ١٦
د) ٢٥

مثال ٢ — القطر الآخر

طول أحد قطري مستطيل ٢٤. ما طول القطر الآخر؟

أ) ١٢
ب) ١٨
ج) ٢٤
د) ٤٨

مثال ٣ — نصف القطر

تقاطع قطرا مستطيل في م، وكان . ما طول القطر أ ج؟

أ) ٧
ب) ١٠
ج) ١٤
د) ٢٨

مثال ٤ — قطر بفيثاغورس

مستطيل طوله ١٥ وعرضه ٨. ما طول قطره؟

أ) ١٥
ب) ١٧
ج) ٢٠
د) ٢٣

٢٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى

في مستطيل أ ب ج د، يتقاطع القطران في م. إذا كان ، فما مجموع ؟

أ) ١٠
ب) ١٥
ج) ٢٠
د) ٤٠

٢٣) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الاعتقاد أن الأضلاع الأربعة متساوية؛ هذه خاصية المربع.

الخطأ الثاني: نسيان أن قطري المستطيل متساويان بالإضافة إلى أنهما ينصفان بعضهما.

الخطأ الثالث: افتراض أن القطرين متعامدان دائمًا.

الخطأ الرابع: افتراض أن القطر ينصف زاوية الرأس إلى ٤٥° و٤٥°.

الخطأ الخامس: عند حساب القطر بفيثاغورس، عدم اختيار القطر بوصفه الوتر.

الخطأ السادس: الخلط بين «نصف القطر» في المستطيل وبين نصف قطر الدائرة؛ المقصود هنا نصف أحد أقطار المستطيل حسب سياق السؤال.

الخطأ السابع: اعتبار القطرين محورَي تماثل للمستطيل العام.

٢٤) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: كلمة «مستطيل» ← أربع زوايا ٩٠° فورًا.

التكتيك الثاني: الضلع المقابل = الضلع نفسه في الطول.

التكتيك الثالث: قطر معلوم ← القطر الآخر مساوي له.

التكتيك الرابع: نصف قطر معلوم ← القطر كاملًا = ضعفه.

التكتيك الخامس: طول وعرض وقطر ← ابحث عن مثلث قائم وفيثاغورس.

التكتيك السادس: نقطة تقاطع القطرين ← تبعد المسافة نفسها عن الرؤوس الأربعة.

التكتيك السابع: لا تضف خاصية المربع إلى المستطيل: لا تعامد للقطرين ولا تنصيف لزاوية الرأس إلا بوجود شرط إضافي.

التكتيك الثامن: مستطيل + أضلاع أربعة متساوية ← مربع.

٢٥) تدريب متدرج

سؤال ١

كم قياس كل زاوية في المستطيل؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٢٠°

سؤال ٢

مستطيل طوله ١٤ وعرضه ٦. ما طول الضلع المقابل للطول؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٤
د) ٢٠

سؤال ٣

أحد قطري مستطيل = ١٩. ما الآخر؟

أ) ٩٫٥
ب) ١٩
ج) ٣٨
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٤

إذا كان نصف أحد قطري مستطيل = ٨، فما طول القطر؟

أ) ٨
ب) ١٢
ج) ١٦
د) ٣٢

سؤال ٥

مستطيل طوله ١٢ وعرضه ٩. ما قطره؟

أ) ١٣
ب) ١٥
ج) ١٨
د) ٢١

سؤال ٦

قطر مستطيل ١٣، وعرضه ٥. ما طوله؟

أ) ٨
ب) ١٠
ج) ١٢
د) ١٨

سؤال ٧

أي العبارات التالية صحيحة دائمًا في المستطيل؟

أ) الأضلاع الأربعة متساوية
ب) القطران متعامدان
ج) القطران متساويان
د) كل قطر ينصف زاوية الرأس

سؤال ٨

أي العبارات التالية ليست صحيحة دائمًا في المستطيل؟

أ) الزوايا الأربع قائمة
ب) الأضلاع المتقابلة متساوية
ج) القطران ينصف كل منهما الآخر
د) القطران متعامدان

سؤال ٩

في مستطيل، تقاطع القطران في م. إذا كان أحد القطرين ٢٦، فما المسافة من م إلى أي رأس؟

أ) ٦٫٥
ب) ١٣
ج) ٢٦
د) ٥٢

سؤال ١٠

رُسم قطر في مستطيل مساحته ٧٢. ما مساحة كل من المثلثين الناتجين؟

أ) ١٨
ب) ٢٤
ج) ٣٦
د) ٧٢

سؤال ١١

رُسم القطران في مستطيل مساحته ١٠٠. ما مساحة كل مثلث من المثلثات الأربعة الناتجة؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٥٠
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٢

إذا كان متوازي أضلاع قطراه متساويين، فما الشكل الذي يمكن استنتاجه؟

أ) معين
ب) مستطيل
ج) شبه منحرف
د) مثلث

سؤال ١٣

إذا كان مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية، فما الشكل الناتج؟

أ) معين فقط ولا يمكن أن يكون مربعًا
ب) مربع
ج) شبه منحرف
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٤

للمستطيل غير المربع كم محور تماثل؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٤

٢٦) ملخص الدرس

المستطيل شكل رباعي زواياه الأربع قائمة، وكل ضلعين متقابلين فيه متوازيان ومتساويان. قطراه متساويان وينصف كل منهما الآخر، ولذلك تكون نقطة تقاطعهما على المسافة نفسها من الرؤوس الأربعة.

كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين قائمين متطابقين، ويمكن حساب طول القطر بفيثاغورس من الطول والعرض. لكن انتبه: قطرا المستطيل لا يكونان متعامدين ولا ينصفان زوايا الرؤوس في المستطيل العام.

للمستطيل غير المربع محورَا تماثل. وكل مربع مستطيل، وليس كل مستطيل مربعًا. وإذا كان متوازي أضلاع قطراه متساويين، فيمكن استنتاج أنه مستطيل.