١) ما هو المربع؟

المربع شكل رباعي له أربع أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة.

وهو في الوقت نفسه مستطيل ومعين ومتوازي أضلاع.

٢) أهم خصائص المربع

الأضلاع الأربعة متساوية.

الزوايا الأربع قائمة.

كل ضلعين متقابلين متوازيان.

القطران متساويان.

القطران متعامدان.

كل قطر ينصف القطر الآخر.

كل قطر ينصف زاويتي الرأس اللتين يمر بهما.

للمربع أربعة محاور تماثل.

٣) الأضلاع والزوايا

إذا كان طول ضلع واحد = س، فإن الأضلاع الأربعة كلها = س.

وكل زاوية:

ومجموع الزوايا:

٤) قطرا المربع متساويان

إذا كان طول أحد القطرين = ق، فإن القطر الآخر = ق أيضًا.

مثال

إذا كان أحد القطرين ١٨، فالقطر الآخر ١٨.

٥) القطران ينصف كل منهما الآخر

إذا تقاطع القطران في م، فإن م منتصف كل قطر.

٦) القطران متعامدان

قطرا المربع يتقاطعان بزاوية قائمة، ولذلك الزوايا الأربع حول نقطة التقاطع تساوي:

٧) أنصاف القطرين الأربعة متساوية

لأن القطرين متساويان وينصف كل منهما الآخر:

مثال

إذا كان القطر ٢٠، فالمسافة من المركز إلى أي رأس:

٨) القطر ينصف زاوية الرأس

كل زاوية رأس في المربع تساوي .

والقطر يقسمها إلى:

٩) القطر يصنع مثلثين ٤٥°–٤٥°–٩٠°

عند رسم قطر واحد، ينقسم المربع إلى مثلثين قائمين متطابقين.

ضلعا القائمة في كل منهما متساويان، لذلك المثلث من النوع ٤٥°–٤٥°–٩٠°.

١٠) طول قطر المربع

إذا كان الضلع = س:

إذن:

مثال

إذا كان الضلع ٩:

١١) إيجاد الضلع من القطر

إذا كان القطر معلومًا:

تكتيك سريع

إذا كان القطر على الصورة ، فإن الضلع = أ مباشرة.

١٢) المسافة من المركز إلى الرأس

إذا كان ضلع المربع = س، فالقطر = .

إذن المسافة من المركز إلى أي رأس:

١٣) المسافة من المركز إلى الضلع

العمود النازل من مركز المربع إلى أحد أضلاعه يصل إلى منتصف الضلع.

طوله:

مثال

إذا كان الضلع ١٢، فالمسافة من المركز إلى أي ضلع:

١٤) القطران يقسمان المربع إلى أربعة مثلثات

عند رسم القطرين معًا، ينقسم المربع إلى أربعة مثلثات قائمة ومتطابقة.

زاوية المركز في كل مثلث:

والزاويتان الأخريان:

١٥) مساحة كل مثلث ناتج عن القطرين

بما أن المثلثات الأربعة متطابقة، فإن مساحة كل منها = ربع مساحة المربع.

مثال

مساحة مربع = ١٠٠.

١٦) محاور التماثل

للمربع أربعة محاور تماثل:

القطران.

والخطان الماران بمنتصف كل ضلعين متقابلين.

١٧) المربع والمستطيل

كل مربع مستطيل لأن زواياه الأربع قائمة.

لكن ليس كل مستطيل مربعًا.

قاعدة سريعة

مستطيل + أضلاع أربعة متساوية = مربع.

١٨) المربع والمعين

كل مربع معين لأن أضلاعه الأربعة متساوية.

لكن ليس كل معين مربعًا.

قاعدة سريعة

معين + زاوية قائمة = مربع.

١٩) كيف أميز المربع من القطرين؟

المربع يجمع خاصيتين:

القطران متساويان مثل المستطيل.

والقطران متعامدان مثل المعين.

إذا كان الشكل متوازي أضلاع وقطراه متساويين ومتعامدين، فهو مربع.

٢٠) مربع ومستطيل لهما القطر نفسه

إذا كان للمربع والمستطيل القطر نفسه، فإن مساحة المربع أكبر من أو تساوي مساحة المستطيل.

وتتحقق المساواة فقط إذا كان المستطيل نفسه مربعًا.

السبب

إذا كان بعدا المستطيل أ وب، وقطره ق:

وبما أن:

فإن:

إذن:

أما مساحة المربع ذي القطر ق فتساوي .

٢١) مثال مهم للزوايا

إذا ظهر مربع وقطر مرسوم من رأس، فالزاويتان عند ذلك الرأس:

وهذه نتيجة مباشرة لا تحتاج إلى حساب جديد.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١

مربع طول ضلعه ٨. ما قطره؟

أ) ٨
ب)
ج) ١٦
د)

مثال ٢

قطر مربع = . ما الضلع؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢٨
د)

مثال ٣

ما الزاوية بين القطر وأحد ضلعي المربع عند الرأس؟

أ) ٣٠°
ب) ٤٥°
ج) ٦٠°
د) ٩٠°

مثال ٤

قطر مربع = ٢٤. ما المسافة من نقطة تقاطع القطرين إلى أحد الرؤوس؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ٢٤
د) ٤٨

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مربع قطره . رُسم القطران. فما طول كل قطعة من المركز إلى رأس؟

أ) ٥
ب)
ج) ١٠
د)

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: اعتبار القطر مساويًا للضلع؛ الصحيح .

الخطأ الثاني: نسيان أن القطرين متعامدان.

الخطأ الثالث: نسيان أن القطر ينصف زاوية الرأس إلى ٤٥° و٤٥°.

الخطأ الرابع: الخلط بين المسافة من المركز إلى الرأس والمسافة من المركز إلى الضلع .

الخطأ الخامس: اعتبار كل مستطيل أو كل معين مربعًا دون الشرط الإضافي.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مربع ← أربعة أضلاع متساوية + أربع زوايا ٩٠°.

التكتيك الثاني: القطر = .

التكتيك الثالث: قطر على صورة ← الضلع = أ.

التكتيك الرابع: قطر من رأس ← زاويتان ٤٥° و٤٥°.

التكتيك الخامس: تقاطع القطرين ← أربع زوايا قائمة وأنصاف أقطار متساوية.

التكتيك السادس: مسافة المركز إلى ضلع = نصف الضلع.

التكتيك السابع: القطران معًا ← أربعة مثلثات متطابقة.

التكتيك الثامن: نفس القطر لمربع ومستطيل ← مساحة المربع أكبر أو تساوي.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

مربع ضلعه ١٢. ما طول أي ضلع آخر؟

أ) ٦
ب) ١٢
ج) ٢٤
د) ٤٨

سؤال ٢

أحد قطري مربع ٢١. ما القطر الآخر؟

أ) ١٠٫٥
ب) ٢١
ج) ٤٢
د) لا يمكن التحديد

سؤال ٣

مربع ضلعه ٧. ما قطره؟

أ) ٧
ب)
ج) ١٤
د)

سؤال ٤

قطر مربع = . ما الضلع؟

أ) ٨
ب) ١٦
ج) ٣٢
د)

سؤال ٥

ما قياس الزاوية بين قطري المربع عند نقطة التقاطع؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٦

ضلع مربع = ١٠. ما المسافة من المركز إلى أحد أضلاعه؟

أ) ٥
ب)
ج) ١٠
د)

سؤال ٧

ضلع مربع = ٨. ما المسافة من المركز إلى أحد الرؤوس؟

أ) ٤
ب)
ج) ٨
د)

سؤال ٨

رُسم القطران في مربع مساحته ١٤٤. ما مساحة كل مثلث ناتج؟

أ) ٢٤
ب) ٣٦
ج) ٧٢
د) ١٤٤

سؤال ٩

أي العبارات صحيحة دائمًا؟

أ) القطران متساويان وغير متعامدين
ب) القطران متعامدان وغير متساويين
ج) القطران متساويان ومتعامدان
د) القطران لا ينصفان بعضهما

سؤال ١٠

مستطيل جميع أضلاعه متساوية. ما الشكل؟

أ) شبه منحرف
ب) مربع
ج) مثلث
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١١

معين به زاوية قائمة. ما الشكل؟

أ) مربع
ب) مستطيل غير مربع دائمًا
ج) شبه منحرف
د) لا يمكن التحديد

سؤال ١٢

للمربع كم محور تماثل؟

أ) ١
ب) ٢
ج) ٣
د) ٤

سؤال ١٣

إذا كان ضلع المربع ١٤، فما طول العمود من المركز إلى أحد الأضلاع؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج)
د)

سؤال ١٤

مربع ومستطيل لهما القطر نفسه. أي العبارات صحيحة؟

أ) مساحة المستطيل أكبر دائمًا
ب) مساحة المربع أكبر من أو تساوي مساحة المستطيل
ج) المساحتان متساويتان دائمًا
د) لا يمكن المقارنة

٢٧) ملخص الدرس

المربع شكل رباعي أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه الأربع قائمة، وهو مستطيل ومعين ومتوازي أضلاع في الوقت نفسه.

قطراه متساويان ومتعامدان وينصف كل منهما الآخر وينصف زوايا الرؤوس. إذا كان الضلع = س، فالقطر = ، والمسافة من المركز إلى الرأس = ، والمسافة من المركز إلى الضلع = .

قطر واحد يصنع مثلثين ٤٥°–٤٥°–٩٠°، والقطران يصنعان أربعة مثلثات قائمة متطابقة. وللمربع أربعة محاور تماثل. وعند ثبات القطر، تكون مساحة المربع أكبر من أو تساوي مساحة أي مستطيل له القطر نفسه.