١) الفكرة الأساسية

إذا كان لدينا عامل خارج قوس، فإن هذا العامل يُضرب في كل حد داخل القوس.

القانون الأساسي:

ومع الطرح:

مثال

٢) لماذا تعمل خاصية التوزيع؟

لأن الضرب في مجموع يساوي جمع نواتج الضرب.

مثلًا:

يمكن حساب ما داخل القوس أولًا:

أو بالتوزيع:

النتيجة نفسها.

٣) متى أستخدم خاصية التوزيع؟

تستخدمها عندما تريد:

١. فك الأقواس.

٢. تبسيط عبارة جبرية.

٣. جمع الحدود المتشابهة بعد فك الأقواس.

٤. حل معادلة أو متباينة فيها أقواس.

٥. ضرب مقدار جبري في مقدار آخر.

٦. التحقق من تحليل بالعامل المشترك؛ لأن العامل المشترك هو التوزيع بالعكس.

٤) التوزيع مع الجمع

مثال:

نضرب ٤ في الحد الأول ثم الحد الثاني:

إذن:

٥) التوزيع مع الطرح

مثال:

نوزع ٥ على الحدين:

انتبه

علامة الطرح جزء من الحد الثاني، لذلك نضرب العامل فيها أيضًا.

٦) التوزيع على أكثر من حدين

لا تقتصر خاصية التوزيع على حدين؛ العامل خارج القوس يُضرب في كل ما داخل القوس.

مثال:

نوزع ٣ على الحدود الثلاثة:

٧) التوزيع مع عدد سالب

إذا كان العامل خارج القوس سالبًا، انتبه جيدًا للإشارات.

مثال ١

إذن:

مثال ٢

السالب في الخارج يضرب السالب في الداخل:

٨) السالب وحده قبل القوس

إذا لم يظهر عدد قبل القوس ووجدت إشارة سالب فقط، فهذا يعني أن العامل هو -١.

مثال

ومع الطرح داخل القوس

تكتيك سريع

عندما ترى سالبًا مباشرة قبل القوس، يمكنك التفكير: غيّر إشارات جميع الحدود داخل القوس.

٩) التوزيع عندما يكون العامل متغيرًا

العامل خارج القوس قد يكون متغيرًا وليس عددًا.

مثال

إذن:

مثال بمتغيرين

١٠) التوزيع ثم جمع الحدود المتشابهة

بعد فك الأقواس، ابحث مباشرة عن الحدود المتشابهة واجمعها.

مثال

نوزع:

ثم نجمع الحدود المتشابهة:

مثال آخر

١١) قوسان منفصلان في عبارة واحدة

إذا كان لدينا أكثر من قوس وكل واحد له عامل، نفك كل قوس ثم نجمع الحدود المتشابهة.

مثال

نوزع:

ثم نبسط:

مثال مع سالب

القوس الثاني مضروب في -٢:

إذن:

١٢) ضرب قوس في قوس بالتوزيع

يمكن تطبيق خاصية التوزيع أكثر من مرة عند ضرب قوسين.

مثال

نوزع س على القوس الثاني:

ثم نوزع ٢:

نجمع:

الفكرة العامة

كل حد في القوس الأول يُضرب في كل حد في القوس الثاني.

١٣) التوزيع والمربع الكامل

المربع الكامل حالة خاصة من ضرب قوس في نفسه، وليس مجرد ضرب العامل الخارجي في القوس.

مثل:

وبالتوزيع:

لذلك لا يصح أن نقول:

١٤) التوزيع والفرق بين مربعين

يمكن التأكد من قانون الفرق بين مربعين بالتوزيع:

نوزع:

الحدان الأوسطان يختصران:

وهذا يربط هذه الوحدة بوحدة الفرق بين مربعين.

١٥) عكس التوزيع: العامل المشترك

إذا بدأنا من:

فالتوزيع يعطينا:

أما إذا بدأنا من:

وأخرجنا ٥ عاملًا مشتركًا، نعود إلى:

إذن إخراج العامل المشترك هو التوزيع بالعكس.

١٦) متى لا أحتاج إلى التوزيع؟

في القدرات، لا تفك الأقواس تلقائيًا. أحيانًا توجد طريقة أقصر.

مثال

في المعادلة:

بدل التوزيع، يمكن القسمة على ٤ مباشرة:

ثم:

قاعدة القدرات

استخدم التوزيع عندما يبسّط السؤال، ولا تستخدمه لمجرد وجود قوس.

١٧) استخدام التوزيع في المعادلات

إذا لم يمكن التخلص من القوس بسهولة، نوزع ثم نحل.

مثال

نوزع:

نجمع:

١٨) استخدام التوزيع في المتباينات

الفكرة نفسها تعمل مع المتباينات، مع تذكّر قاعدة السالب الخاصة بها.

مثال

نوزع:

مثال بسالب

نوزع:

نقسم على -٢، لذلك نعكس الإشارة:

١٩) الحساب السريع باستخدام التوزيع

خاصية التوزيع مفيدة أيضًا في الحساب الذهني.

مثال ١

نكتب ٩٨ على صورة ١٠٠ - ٢:

مثال ٢

تكتيك

إذا كان أحد العددين قريبًا من ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، ففكّره كمجموع أو فرق من عدد سهل.

٢٠) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — توزيع مباشر

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٢ — سالب

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٣ — متغير خارج القوس

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

مثال ٤ — قوسان منفصلان

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

٢١) سؤال قدرات بصيغة أذكى

أوجد قيمة:

أ) ١٥٨٣
ب) ١٦٨٣
ج) ١٦٩٩
د) ١٧٠٠

٢٢) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: توزيع العامل على الحد الأول فقط.

لا يصح:

الصحيح:

الخطأ الثاني: نسيان الإشارة عند توزيع عدد سالب.

الخطأ الثالث: نسيان أن السالب وحده قبل القوس يعني -١.

الخطأ الرابع: نسيان ضرب المتغير في المتغير.

الخطأ الخامس: عدم جمع الحدود المتشابهة بعد التوزيع.

الخطأ السادس: جمع حدود غير متشابهة.

مثلًا لا يمكن دمج:

الخطأ السابع: الخلط بين:

و:

الخطأ الثامن: فك القوس رغم وجود طريق أقصر للحل.

٢٣) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: كل حد داخل القوس يجب أن يأخذ نصيبه من العامل الخارجي.

التكتيك الثاني: إذا كان خارج القوس سالب، تعامل معه كجزء من العامل من البداية.

التكتيك الثالث: السالب وحده قبل القوس = -١؛ أي تتغير إشارات جميع الحدود.

التكتيك الرابع: بعد فك القوس، امسح العبارة بصريًا وابحث فورًا عن الحدود المتشابهة.

التكتيك الخامس: إذا كان لديك عامل خارج قوس في معادلة ويمكن القسمة عليه مباشرة، فقد تكون القسمة أسرع من التوزيع.

التكتيك السادس: في ضرب قوسين استخدم فكرة «كل حد في الأول × كل حد في الثاني» بدل حفظ خطوات بلا معنى.

التكتيك السابع: استخدم التوزيع للتحقق من العامل المشترك، والمربع الكامل، والفرق بين مربعين.

التكتيك الثامن: في الحساب الذهني، الأعداد القريبة من ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ مرشحة ممتازة للتوزيع.

التكتيك التاسع: لا تجعل التوزيع خطوة تلقائية؛ اختر دائمًا الطريق الأقصر.

٢٤) تدريب متدرج

سؤال ١ — جمع داخل القوس

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٢ — طرح

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٣ — عامل سالب

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٤ — سالب فقط

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٥ — متغير خارج القوس

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٦ — جمع الحدود المتشابهة

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٧ — قوسان منفصلان

بسّط:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٨ — ضرب قوسين

وسّع:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ٩ — معادلة

إذا كان:

فما قيمة س؟

أ) ٢
ب) ٣
ج) ٤
د) ٥

سؤال ١٠ — متباينة

حل:

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١ — حساب سريع

أوجد:

أ) ٢١٧٧
ب) ٢٢٧٧
ج) ٢٣٠٠
د) ٢٣٩٩

٢٥) ملخص الدرس

خاصية التوزيع تعني أن العامل خارج القوس يُضرب في كل حد داخله. وهي أساس فك الأقواس وتبسيط العبارات وحل كثير من المعادلات والمتباينات.

انتبه خصوصًا للسالب قبل القوس، واضرب المتغيرات والأسس بطريقة صحيحة، ثم اجمع الحدود المتشابهة بعد التوزيع.

يمكن استخدام التوزيع أكثر من مرة عند ضرب قوسين، كما أن العامل المشترك هو التوزيع بالعكس، والمربع الكامل والفرق بين مربعين يمكن فهمهما والتحقق منهما بالتوزيع.

وفي القدرات، لا تفك القوس تلقائيًا: إذا كان القسمة أو الاختصار أسرع فاختر الطريق الأقصر، واستخدم التوزيع أيضًا في الحساب الذهني عندما يكون أحد الأعداد قريبًا من ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠.