١) الفكرة الأساسية

في مسائل الأعمار، الزمن يؤثر على جميع الأشخاص بالمقدار نفسه.

إذا مرّت ٤ سنوات، يزيد عمر كل شخص ٤ سنوات.

وإذا عدنا ٤ سنوات إلى الماضي، ينقص عمر كل شخص ٤ سنوات.

٢) الكلمات التي تحدد اتجاه الزمن

الآن: نستخدم العمر الحالي.

بعد س سنوات: نضيف س.

قبل س سنوات: نطرح س.

منذ س سنوات: تعني قبل س سنوات.

بعد كم سنة: نبحث عن زمن مستقبلي مجهول.

قبل كم سنة: نبحث عن زمن ماضٍ مجهول.

٣) العمر بعد عدد من السنوات

إذا كان العمر الحالي = ع، فبعد س سنوات:

مثال

عمر شخص الآن ١٧ سنة. بعد ٦ سنوات:

٤) العمر قبل عدد من السنوات

إذا كان العمر الحالي = ع، فقبل س سنوات:

مثال

عمر شخص الآن ٢٤ سنة. قبل ٧ سنوات:

٥) إذا أعطاك العمر المستقبلي وأراد العمر الحالي

نعكس العملية.

مثال

بعد ٨ سنوات سيكون عمر نورة ٣٠ سنة.

عمرها الآن:

٦) إذا أعطاك العمر الماضي وأراد العمر الحالي

مثال

قبل ٥ سنوات كان عمر خالد ١٤ سنة.

عمره الآن:

٧) أهم قاعدة: الفرق بين العمرين ثابت

إذا كان شخص أكبر من آخر بـ٨ سنوات الآن، فسيظل أكبر منه بـ٨ سنوات في المستقبل، وكان أكبر منه بـ٨ سنوات في الماضي.

لأننا نضيف أو نطرح العدد نفسه من العمرين.

مثال

عمر الأب ٤٢ وعمر الابن ١٤.

الفرق:

بعد ١٠ سنوات يصبحان ٥٢ و٢٤، والفرق ما زال ٢٨.

٨) العمر عند ولادة شخص آخر

هذه نتيجة مباشرة لثبات فرق العمر.

عمر الشخص الأكبر عندما وُلد الأصغر = الفرق الحالي بين العمرين.

مثال

عمر الأب الآن ٤٠ وعمر ابنه ١٢.

إذن كان عمر الأب ٢٨ سنة عندما وُلد الابن.

٩) النسبة بين العمرين ليست ثابتة

الفرق ثابت، لكن النسبة تتغير مع الزمن.

مثال

عمر الأب ٤٠ وعمر الابن ٢٠.

الآن الأب ضعف الابن.

بعد ١٠ سنوات يصبحان ٥٠ و٣٠، ولم يعد الأب ضعف الابن.

لذلك لا تنقل علاقة «ضعف» أو «ثلاثة أمثال» من زمن إلى زمن آخر دون إعادة الحساب.

١٠) إيجاد عمرين من المجموع والفرق

إذا كان مجموع عمرين معلومًا والفرق بينهما معلومًا، يمكن الحل بسرعة:

مثال

مجموع عمرين ٤٠، والفرق بينهما ٨.

١١) إيجاد عمرين من النسبة والمجموع

إذا كانت نسبة العمرين مثل:

ومجموعهما معلومًا، نجمع أجزاء النسبة ثم نجد قيمة الجزء الواحد.

مثال

نسبة عمرَي شخصين ٢:٣، ومجموعهما ٤٠.

مجموع أجزاء النسبة:

قيمة الجزء:

العمران:

١٢) إيجاد عمرين من النسبة والفرق

إذا كانت نسبة العمرين معلومة والفرق معلومًا، نستخدم فرق أجزاء النسبة.

مثال

نسبة عمرَي شخصين ٣:٥، والفرق بينهما ١٢ سنة.

فرق الأجزاء:

قيمة الجزء:

العمران:

١٣) مجموع الأعمار يتغير بسرعة منتظمة

إذا كان لدينا شخصان، فإن مجموع عمريهما يزيد بمقدار ٢ كل سنة.

إذا كان لدينا ثلاثة أشخاص، يزيد المجموع بمقدار ٣ كل سنة.

وبصورة عامة، إذا كان عدد الأشخاص ن:

١٤) مثال على مجموع عمرين في المستقبل

عمر شخصين الآن ٢٠ و١٢ سنة.

مجموعهما الآن:

بعد ٤ سنوات يزيد المجموع بمقدار:

فيصبح:

١٥) إيجاد عدد السنوات من مجموع الأعمار

إذا كان عدد الأشخاص ثابتًا:

مثال

مجموع أعمار ثلاثة أشخاص الآن ٦٦ سنة. بعد كم سنة يصبح مجموعهم ٨٤؟

الزيادة المطلوبة:

إذن بعد ٦ سنوات.

١٦) متوسط أعمار المجموعة

إذا بقي الأشخاص أنفسهم في المجموعة، فإن متوسط أعمارهم يزيد سنة واحدة بعد كل سنة.

مثال

متوسط أعمار ٥ أشخاص الآن ٢٢ سنة.

بعد ٤ سنوات، يصبح متوسط أعمار الأشخاص أنفسهم:

لا حاجة إلى معرفة عمر كل شخص.

١٧) استخدام المعادلة عندما يكون العمر مجهولًا

إذا قال السؤال إن عمر شخص ضعف عمر شخص آخر، نعبّر عنه بمتغير.

مثال

عمر أحمد ضعف عمر خالد، ومجموع عمريهما ٣٦.

نفترض عمر خالد = س.

إذن عمر أحمد = ٢س.

إذن عمر أحمد ٢٤ وعمر خالد ١٢.

١٨) بعد كم سنة يصبح العمر ضعفًا أو ثلاثة أمثال؟

نضيف العدد نفسه إلى العمرين.

مثال

عمر الأب ٣٦ وعمر الابن ١٢. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ضعف عمر الابن؟

نفترض بعد س سنوات:

١٩) قبل كم سنة كانت هناك نسبة معينة؟

في الماضي نطرح العدد نفسه من العمرين.

مثال

عمر الأب الآن ٤٨، وعمر الابن ٢٠. قبل كم سنة كان عمر الأب ثلاثة أمثال عمر الابن؟

قبل ٦ سنوات كان العمران ٤٢ و١٤.

٢٠) نسبة الآن ونسبة مختلفة في المستقبل

هذا من الأنماط المهمة في مسائل القدرات.

مثال

عمر أمل الآن ثلث عمر أختها، وبعد ٦ سنوات يصبح عمر أمل نصف عمر أختها.

نفترض عمر أمل الآن = س.

إذن عمر أختها = ٣س.

بعد ٦ سنوات:

نضرب في ٢:

إذن عمر أمل الآن ٦ سنوات.

٢١) طريقة التجربة من الخيارات

في سؤال الاختيار من متعدد، قد تكون تجربة الخيارات أسرع من تكوين المعادلة، خصوصًا إذا كان المطلوب عمر شخص واحد وكانت الخيارات قليلة.

الخطوات:

١. ترجم العلاقة الحالية بدقة.

٢. جرّب الخيار على العمر المطلوب.

٣. استخرج العمر الآخر من العلاقة.

٤. انتقل إلى الزمن المذكور وتحقق من الشرط الثاني.

مثال سريع

في المثال السابق، إذا جرّبنا أمل = ٦، فعمر أختها الآن = ١٨.

بعد ٦ سنوات يصبح العمران ١٢ و٢٤.

و١٢ نصف ٢٤، إذن الخيار صحيح.

٢٢) متى تكون التجربة أفضل من المعادلة؟

التجربة ممتازة عندما:

الخيارات قليلة وسهلة.

العلاقة مثل نصف، ثلث، ضعف، ثلاثة أمثال.

يمكن التحقق من الخيار بسرعة.

أما إذا كانت الخيارات متقاربة أو الحسابات طويلة، فالمعادلة أوضح وأضمن.

٢٣) استخدام فرق العمر لتقليل الحساب

إذا أعطاك السؤال عمرين في زمن ما، احسب الفرق فورًا؛ فقد يغنيك عن معادلة كاملة.

مثال

بعد ٥ سنوات سيكون عمر شخصين ٣٠ و١٨.

فرق العمر بينهما دائمًا:

إذن فرق العمر الآن أيضًا ١٢.

٢٤) النتيجة السالبة للزمن ماذا تعني؟

إذا افترضت «بعد س سنوات» وظهر س سالبًا، فهذا يعني أن العلاقة حدثت في الماضي لا في المستقبل.

وإذا افترضت «قبل س سنوات» وظهر س سالبًا، فهذا يعني أن العلاقة ستحدث في المستقبل.

هذه إشارة منطقية مهمة، وليست مجرد خطأ حسابي.

٢٥) شرط منطقي مهم في الماضي

عند الرجوع إلى الماضي، لا يمكن أن يكون عدد السنوات أكبر من عمر الشخص الأصغر الحالي؛ لأن ذلك سيعطي عمرًا سالبًا.

إذا أدى خيار إلى عمر سالب لشخص، استبعده فورًا.

٢٦) مسائل ثلاثة أشخاص

يمكن بناء الأعمار من علاقات متتابعة.

مثال

عمر أحمد أكبر من خالد بـ٤ سنوات، وعمر خالد أكبر من سالم بـ٣ سنوات. إذا كان عمر سالم ١٠ سنوات:

عمر خالد:

عمر أحمد:

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — المجموع والفرق

مجموع عمرَي شخصين ٥٠ سنة، وأحدهما أكبر من الآخر بـ١٠ سنوات. كم عمر الأصغر؟

أ) ١٥
ب) ٢٠
ج) ٢٥
د) ٣٠

مثال ٢ — النسبة والفرق

نسبة عمرَي أخوين ٣:٥، والفرق بينهما ٨ سنوات. كم عمر الأكبر؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٠
د) ٢٤

مثال ٣ — بعد سنوات

عمر الأب ٤٢ سنة وعمر الابن ١٤ سنة. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ضعف عمر الابن؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢١
د) ٢٨

مثال ٤ — متوسط الأعمار

متوسط أعمار ٦ أشخاص الآن ٢٥ سنة. ما متوسط أعمار الأشخاص أنفسهم بعد ٣ سنوات؟

أ) ٢٥
ب) ٢٦
ج) ٢٨
د) ٣١

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

عمر أمل الآن ثلث عمر أختها، وبعد ٦ سنوات يصبح عمر أمل نصف عمر أختها. كم عمر أمل الآن؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ١٢
د) ١٨

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: إضافة السنوات إلى شخص واحد ونسيان الآخر.

الخطأ الثاني: اعتبار علاقة الضعف ثابتة؛ الثابت هو فرق العمر فقط.

الخطأ الثالث: الخلط بين «قبل» و«بعد».

الخطأ الرابع: إذا كان السؤال عن مجموع عمرَي شخصين بعد س سنوات، إضافة س مرة واحدة فقط بدل إضافته لكل شخص.

الخطأ الخامس: استخدام مجموع أجزاء النسبة عندما تكون المعطيات فرقًا؛ عند الفرق نستخدم فرق أجزاء النسبة.

الخطأ السادس: عدم فحص النتيجة المنطقية إذا ظهر زمن سالب أو عمر سالب.

الخطأ السابع: تجربة خيار دون تطبيق جميع شروط السؤال عليه.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: الفرق بين عمرين ثابت دائمًا.

التكتيك الثاني: بعد س سنوات ← أضف س إلى عمر كل شخص.

التكتيك الثالث: قبل س سنوات ← اطرح س من عمر كل شخص.

التكتيك الرابع: شخصان ← مجموع العمرين يزيد ٢ كل سنة؛ ثلاثة أشخاص ← يزيد ٣ كل سنة.

التكتيك الخامس: المجموعة نفسها ← متوسط الأعمار يزيد سنة واحدة كل سنة.

التكتيك السادس: نسبة + مجموع ← استخدم مجموع أجزاء النسبة.

التكتيك السابع: نسبة + فرق ← استخدم فرق أجزاء النسبة.

التكتيك الثامن: في أسئلة الاختيارات، جرّب الخيارات إذا كانت العلاقات بسيطة.

التكتيك التاسع: عند الولادة، عمر الأكبر = فرق العمر الحالي.

التكتيك العاشر: إذا ظهرت سنوات سالبة، فافهم اتجاه الزمن بدل تجاهل الإشارة.

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

عمر محمد الآن ١٦ سنة. كم كان عمره قبل ٥ سنوات؟

أ) ٩
ب) ١١
ج) ٢١
د) ٢٥

سؤال ٢

بعد ٨ سنوات سيكون عمر سارة ٣٠ سنة. كم عمرها الآن؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٢٢
د) ٣٨

سؤال ٣

عمر الأب ٤٥ سنة وعمر ابنه ١٧ سنة. كم كان عمر الأب عندما وُلد الابن؟

أ) ١٧
ب) ٢٨
ج) ٤٥
د) ٦٢

سؤال ٤

مجموع عمرَي شخصين ٦٠ سنة، والفرق بينهما ١٢ سنة. كم عمر الأكبر؟

أ) ٢٤
ب) ٣٠
ج) ٣٦
د) ٤٢

سؤال ٥

نسبة عمرَي شخصين ٢:٥ ومجموعهما ٤٩ سنة. كم عمر الأصغر؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢١
د) ٣٥

سؤال ٦

نسبة عمرَي أخوين ٤:٧ والفرق بينهما ١٥ سنة. كم عمر الأكبر؟

أ) ٢٠
ب) ٢٥
ج) ٣٥
د) ٤٥

سؤال ٧

مجموع أعمار ثلاثة إخوة الآن ٤٨ سنة. بعد ٥ سنوات، كم يصبح مجموع أعمارهم؟

أ) ٥٣
ب) ٥٨
ج) ٦٣
د) ٦٨

سؤال ٨

مجموع أعمار ٤ أشخاص الآن ١٠٠ سنة. بعد كم سنة يصبح مجموع أعمارهم ١٢٨ سنة؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٧
د) ٨

سؤال ٩

متوسط أعمار ٧ أشخاص الآن ٢١ سنة. ما متوسط أعمار الأشخاص أنفسهم بعد ٦ سنوات؟

أ) ٢١
ب) ٢٤
ج) ٢٧
د) ٤٢

سؤال ١٠

عمر الأب ٣٨ سنة وعمر الابن ١٠ سنوات. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ثلاثة أمثال عمر الابن؟

أ) ٢
ب) ٤
ج) ٦
د) ٨

سؤال ١١

عمر الأب ٤٨ سنة وعمر الابن ٢٠ سنة. قبل كم سنة كان عمر الأب ثلاثة أمثال عمر الابن؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ١٢

عمر أحمد ضعف عمر خالد، ومجموع عمريهما ٤٥ سنة. كم عمر أحمد؟

أ) ١٥
ب) ٢٢٫٥
ج) ٣٠
د) ٤٥

سؤال ١٣

عمر ليان الآن نصف عمر أختها. بعد ٨ سنوات يصبح عمر ليان ثلثي عمر أختها. إذا كان عمر ليان الآن ٨ سنوات، فما عمر أختها الآن؟

أ) ١٢
ب) ١٦
ج) ٢٠
د) ٢٤

سؤال ١٤

عمر أمل الآن ثلث عمر أختها، وبعد ٦ سنوات يصبح عمرها نصف عمر أختها. كم عمر أمل الآن؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ١٢
د) ١٨

٣٢) ملخص الدرس

في مسائل الأعمار، أضف أو اطرح عدد السنوات من أعمار جميع الأشخاص، لا من شخص واحد فقط.

فرق العمر بين شخصين ثابت دائمًا، أما النسبة مثل الضعف أو النصف فتتغير مع الزمن.

إذا عرفت المجموع والفرق، يمكن إيجاد العمرين مباشرة. وإذا عرفت نسبة مع مجموع فاستخدم مجموع أجزاء النسبة، وإذا عرفت نسبة مع فرق فاستخدم فرق الأجزاء.

مجموع أعمار ن أشخاص يزيد بمقدار ن كل سنة، ومتوسط أعمار المجموعة نفسها يزيد سنة واحدة كل سنة.

في أسئلة الاختيار من متعدد، قد تكون تجربة الخيارات أسرع من المعادلة، بشرط التحقق من جميع شروط السؤال.