١) لماذا ندرس الحالات الخاصة للدائرة؟

أسئلة الدائرة لا تعتمد فقط على المحيط والمساحة، بل تتكرر فيها علاقات بين الأوتار والأقواس والزوايا والمماس.

فهم هذه العلاقات يحول كثيرًا من الأسئلة الهندسية إلى خطوة أو خطوتين فقط.

٢) الوتر

الوتر قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة.

قد يمر الوتر بالمركز وقد لا يمر به.

٣) القطر هو أطول وتر

القطر وتر يمر بمركز الدائرة.

ولذلك هو أطول وتر يمكن رسمه في الدائرة.

تكتيك

إذا سأل السؤال عن أطول وتر في دائرة، فالإجابة مباشرة: القطر.

٤) القاطع

القاطع مستقيم يمر بالدائرة ويقطع محيطها في نقطتين.

الفرق بينه وبين الوتر أن الوتر هو القطعة الواقعة بين النقطتين، أما القاطع فهو مستقيم يمتد خارج الدائرة.

٥) المماس

المماس مستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة فقط.

هذه النقطة تسمى نقطة التماس.

٦) أهم خاصية للمماس

نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس يكون عموديًا على المماس.

إذن الزاوية بينهما:

مثال

إذا وصلنا مركز الدائرة بنقطة التماس، فإن الزاوية بين نصف القطر والمماس = ٩٠° مباشرة.

٧) الفرق السريع بين الوتر والقاطع والمماس

الوتر: قطعة بين نقطتين على المحيط.

القاطع: مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.

المماس: مستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة.

٨) القوس

القوس جزء من محيط الدائرة بين نقطتين.

وتر وقوس قد يشتركان في النقطتين نفسيهما، لكن الوتر خط مستقيم داخل الدائرة، بينما القوس جزء منحني من المحيط.

٩) الزاوية المركزية

الزاوية المركزية هي زاوية رأسها عند مركز الدائرة.

ضلعاها نصفا قطر، ولذلك المثلث الناتج من نصفي القطرين يكون متساوي الساقين.

١٠) قياس الزاوية المركزية يساوي قياس القوس

إذا كانت الزاوية المركزية تحصر قوسًا، فإن قياس الزاوية المركزية يساوي قياس ذلك القوس بالدرجات.

مثال

زاوية مركزية = ٨٠°.

إذن قياس القوس المقابل لها = ٨٠°.

١١) الزاوية المحيطية

الزاوية المحيطية زاوية رأسها على محيط الدائرة، وضلعاها وتران.

إذا كانت تحصر القوس نفسه الذي تحصره زاوية مركزية، فإن لها علاقة ثابتة معها.

١٢) العلاقة بين الزاوية المركزية والمحيطية

على القوس نفسه:

وبالعكس:

مثال

الزاوية المركزية = ١٢٠°.

١٣) الزاوية المحيطية تساوي نصف قياس القوس

لأن قياس الزاوية المركزية يساوي قياس القوس:

مثال

قياس القوس = ١٤٠°.

١٤) إيجاد القوس من زاوية محيطية

إذا كانت الزاوية المحيطية معلومة، فإن القوس المقابل لها يساوي ضعفها.

مثال

زاوية محيطية = ٥٥°.

١٥) الزوايا المحيطية على القوس نفسه

كل الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه تكون متساوية.

مثال

إذا كانت زاوية محيطية على قوس معين = ٤٠°، فإن أي زاوية محيطية أخرى تحصر القوس نفسه = ٤٠°.

١٦) الأقواس المتساوية والزوايا المحيطية

إذا تساوى قوسان، فإن الزوايا المحيطية القائمة عليهما تتساوى.

هذه قاعدة مفيدة في الرسومات التي تحتوي على أكثر من وتر أو أكثر من زاوية على المحيط.

١٧) المثلث الذي رأسه عند المركز

إذا كان رأس مثلث عند مركز الدائرة والرأسان الآخران على المحيط، فإن الضلعين من المركز إلى المحيط نصفا قطر.

إذن المثلث متساوي الساقين.

مثال

إذا كانت الزاوية عند المركز ٤٠°، فإن مجموع زاويتي القاعدة:

ولأنهما متساويتان:

١٨) المثلث المرسوم على قطر الدائرة

إذا كان مثلث مرسومًا داخل دائرة وكان أحد أضلاعه قطرًا، فإن الزاوية المقابلة للقطر قائمة.

وتسمى هذه النتيجة نظرية طاليس.

١٩) لماذا زاوية نصف الدائرة قائمة؟

القطر يحصر نصف دائرة، أي قوسًا قياسه:

والزاوية المحيطية تساوي نصف القوس:

٢٠) طول القوس من الزاوية المركزية

إذا كانت الزاوية المركزية = س، فإن القوس يمثل:

من محيط الدائرة.

إذن:

مثال

نصف القطر = ٦، والزاوية المركزية = ٦٠°.

٢١) إيجاد الزاوية المركزية من طول القوس

إذا كان طول القوس ومحيط الدائرة معلومين:

مثال

طول قوس يساوي ربع محيط الدائرة.

إذن الزاوية المركزية:

٢٢) الزوايا المركزية المشهورة

زاوية ٩٠° تحصر ربع الدائرة.

زاوية ١٨٠° تحصر نصف الدائرة.

زاوية ٦٠° تحصر سدس الدائرة.

زاوية ١٢٠° تحصر ثلث الدائرة.

٢٣) مربع مرسوم داخل دائرة

إذا كانت رؤوس مربع على محيط دائرة، فإن قطر المربع يساوي قطر الدائرة.

وبما أن قطر المربع:

فإن:

مثال

ضلع مربع مرسوم داخل دائرة = ٨.

قطر الدائرة:

٢٤) دائرة مرسومة داخل مربع

إذا كانت دائرة مماسة لأضلاع مربع من الداخل، فإن قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.

مثال

ضلع المربع = ١٢.

قطر الدائرة = ١٢، ونصف القطر = ٦.

٢٥) لا تخلط بين الحالتين

مربع داخل دائرة: قطر الدائرة = قطر المربع.

دائرة داخل مربع: قطر الدائرة = ضلع المربع.

تحديد أي شكل داخل الآخر يغيّر العلاقة تمامًا.

٢٦) دوائر متطابقة متماسة داخل مستطيل

إذا كانت دوائر متطابقة مصطفة في صف واحد داخل مستطيل، ومتماسة مع بعضها ومع أضلاع المستطيل:

عرض المستطيل = قطر دائرة واحدة.

وطول المستطيل:

مثال

٤ دوائر متطابقة قطر كل منها ٦ داخل مستطيل في صف واحد.

العرض = ٦.

٢٧) دوائر متداخلة ونسب المساحات

إذا كانت أنصاف أقطار دوائر بنسبة:

فإن مساحاتها بنسبة مربعات أنصاف الأقطار:

لأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع نصف القطر.

٢٨) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — المماس

نصف قطر مرسوم إلى نقطة تماس مع مماس. ما الزاوية بينهما؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

مثال ٢ — زاوية محيطية

زاوية مركزية = ١٤٠°. ما الزاوية المحيطية على القوس نفسه؟

أ) ٣٥°
ب) ٧٠°
ج) ١٤٠°
د) ٢٨٠°

مثال ٣ — القوس

زاوية محيطية = ٣٥°. ما قياس القوس الذي تحصره؟

أ) ٣٥°
ب) ٧٠°
ج) ١٠٥°
د) ١٤٠°

مثال ٤ — طاليس

مثلث مرسوم داخل دائرة وأحد أضلاعه قطر الدائرة. ما قياس الزاوية المقابلة للقطر؟

أ) ٣٠°
ب) ٤٥°
ج) ٦٠°
د) ٩٠°

٢٩) سؤال قدرات بصيغة أذكى

دائرة نصف قطرها ٩، وقطاع فيها زاويته المركزية ٨٠°. ما طول قوس القطاع؟

أ)
ب)
ج)
د)

٣٠) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين الوتر والقاطع؛ الوتر قطعة داخل الدائرة، والقاطع مستقيم يمتد خارجها.

الخطأ الثاني: الخلط بين القاطع والمماس؛ القاطع يلتقي الدائرة في نقطتين، والمماس في نقطة واحدة.

الخطأ الثالث: نسيان أن نصف القطر عمودي على المماس عند نقطة التماس.

الخطأ الرابع: مساواة الزاوية المحيطية بالزاوية المركزية؛ الصحيح أنها نصفها على القوس نفسه.

الخطأ الخامس: نسيان أن الزاوية المحيطية على القطر = ٩٠°.

الخطأ السادس: استخدام نسبة الزاوية من ١٨٠° عند طول القوس؛ الدائرة الكاملة = ٣٦٠°.

الخطأ السابع: الخلط بين مربع داخل دائرة ودائرة داخل مربع.

٣١) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: أطول وتر ← القطر.

التكتيك الثاني: مماس + نصف قطر عند نقطة التماس ← ٩٠°.

التكتيك الثالث: زاوية مركزية وقوسها ← القياسان متساويان.

التكتيك الرابع: زاوية محيطية على القوس نفسه ← نصف الزاوية المركزية.

التكتيك الخامس: زاويتان محيطيتان على القوس نفسه ← متساويتان.

التكتيك السادس: مثلث أحد أضلاعه قطر الدائرة ← الزاوية المقابلة للقطر ٩٠°.

التكتيك السابع: طول القوس ← نسبة الزاوية المركزية من ٣٦٠° × محيط الدائرة.

التكتيك الثامن: مربع داخل دائرة ← قطر المربع = قطر الدائرة؛ دائرة داخل مربع ← قطر الدائرة = ضلع المربع.

٣٢) تدريب متدرج

سؤال ١

ما أطول وتر في الدائرة؟

أ) نصف القطر
ب) القطر
ج) المماس
د) القوس

سؤال ٢

مستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة يسمى:

أ) وترًا
ب) قطرًا
ج) قاطعًا
د) مماسًا

سؤال ٣

ما قياس الزاوية بين المماس ونصف القطر عند نقطة التماس؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٤

زاوية مركزية = ١٠٠°. ما قياس القوس المقابل؟

أ) ٥٠°
ب) ١٠٠°
ج) ١٨٠°
د) ٢٠٠°

سؤال ٥

زاوية مركزية = ١٠٠°. ما الزاوية المحيطية على القوس نفسه؟

أ) ٢٥°
ب) ٥٠°
ج) ١٠٠°
د) ٢٠٠°

سؤال ٦

زاوية محيطية = ٤٥°. ما قياس القوس الذي تحصره؟

أ) ٢٢٫٥°
ب) ٤٥°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ٧

زاويتان محيطيتان تحصران القوس نفسه. إذا كانت الأولى ٣٥°، فما الثانية؟

أ) ١٧٫٥°
ب) ٣٥°
ج) ٧٠°
د) ١٤٥°

سؤال ٨

مثلث رأسه عند مركز الدائرة والرأسان الآخران على المحيط. إذا كانت زاوية الرأس ٦٠°، فما كل زاوية من زاويتي القاعدة؟

أ) ٣٠°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٢٠°

سؤال ٩

مثلث داخل دائرة، وأحد أضلاعه قطر. الزاوية المقابلة للقطر:

أ) ٣٠°
ب) ٤٥°
ج) ٦٠°
د) ٩٠°

سؤال ١٠

دائرة نصف قطرها ٦، وزاوية مركزية ٦٠°. ما طول القوس؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١١

قوس يمثل ربع محيط دائرة. ما الزاوية المركزية المقابلة له؟

أ) ٤٥°
ب) ٦٠°
ج) ٩٠°
د) ١٨٠°

سؤال ١٢

مربع ضلعه ٦ مرسوم داخل دائرة. ما قطر الدائرة؟

أ) ٦
ب)
ج) ١٢
د)

سؤال ١٣

دائرة مرسومة داخل مربع ضلعه ١٤ ومماسة لأضلاعه. ما نصف قطر الدائرة؟

أ) ٧
ب) ١٤
ج) ٢٨
د)

سؤال ١٤

٥ دوائر متطابقة قطر كل منها ٤ مصطفة في صف واحد داخل مستطيل ومتماسة مع بعضها. ما طول المستطيل؟

أ) ٤
ب) ٩
ج) ٢٠
د) ٢٥

٣٣) ملخص الدرس

الوتر يصل بين نقطتين على المحيط، والقطر أطول وتر، والقاطع يقطع الدائرة في نقطتين، والمماس يلمسها في نقطة واحدة ويكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس.

قياس الزاوية المركزية يساوي قياس القوس، والزاوية المحيطية على القوس نفسه تساوي نصف الزاوية المركزية ونصف قياس القوس.

الزوايا المحيطية على القوس نفسه متساوية، والزاوية المحيطية المقابلة لقطر تساوي ٩٠°.

طول القوس:

وفي الأشكال الخاصة: مربع داخل دائرة ← قطر المربع = قطر الدائرة، ودائرة داخل مربع ← قطر الدائرة = ضلع المربع.