١) ما هو المنشور؟

المنشور مجسم ثلاثي الأبعاد له قاعدتان متطابقتان ومتوازيتان.

قد تكون القاعدة مثلثًا، أو مستطيلًا، أو خماسيًا، أو أي مضلع آخر.

اسم المنشور يأتي من شكل قاعدته.

٢) أنواع المنشور

إذا كانت القاعدة مثلثًا، يسمى منشورًا ثلاثيًا.

إذا كانت القاعدة مستطيلًا، نحصل على متوازي مستطيلات.

إذا كانت القاعدة خماسية، يسمى منشورًا خماسيًا.

المهم دائمًا أن القاعدتين متطابقتان ومتوازيتان.

٣) أهم فكرة في المنشور

مهما كان شكل القاعدة، فإن قانون الحجم لا يتغير:

أي:

٤) ما المقصود بارتفاع المنشور؟

ارتفاع المنشور هو المسافة العمودية بين القاعدتين المتطابقتين.

ليس هو ارتفاع الشكل الموجود في القاعدة.

وهذه من أهم النقاط في المنشور الثلاثي؛ لأن للمثلث ارتفاعًا خاصًا به، وللمنشور ارتفاعًا آخر.

٥) الفرق بين ارتفاع القاعدة وارتفاع المنشور

في منشور ثلاثي:

ارتفاع المثلث: يستخدم لحساب مساحة القاعدة المثلثية.

ارتفاع المنشور: يستخدم بعد ذلك لحساب حجم المنشور.

إذن توجد خطوتان منفصلتان.

٦) حجم المنشور إذا كانت مساحة القاعدة معلومة

مثال

مساحة قاعدة منشور = ٣٠، وارتفاع المنشور = ٥.

٧) المنشور الثلاثي

إذا كانت القاعدة مثلثًا، نحسب مساحة المثلث أولًا:

ثم:

٨) مثال على منشور ثلاثي

قاعدة المثلث = ٨، وارتفاع المثلث = ٥، وارتفاع المنشور = ١٠.

مساحة القاعدة:

الحجم:

٩) منشور قاعدته مستطيل

إذا كانت القاعدة مستطيلًا، فإن:

ثم نضرب في ارتفاع المنشور.

مثال

قاعدة مستطيلة أبعادها ٦ و٥، وارتفاع المنشور ٨.

١٠) إيجاد ارتفاع المنشور من الحجم

من القانون:

إذن:

مثال

حجم منشور = ٣٢٠، ومساحة قاعدته = ٤٠.

١١) إيجاد مساحة القاعدة من الحجم

إذا كان الحجم وارتفاع المنشور معلومين:

مثال

حجم المنشور = ٢٤٠، وارتفاعه = ٨.

١٢) المساحة الجانبية للمنشور

المساحة الجانبية هي مجموع مساحات الأوجه الجانبية دون القاعدتين.

قانونها العام:

١٣) لماذا المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع؟

عند فرد الأوجه الجانبية للمنشور القائم، تتكون مساحة مستطيلة يكون أحد أبعادها محيط القاعدة، والبعد الآخر ارتفاع المنشور.

لذلك:

حيث ح القاعدة هنا يعني محيط القاعدة.

١٤) مثال على المساحة الجانبية

منشور ثلاثي أضلاع قاعدته ٣، ٤، ٥، وارتفاع المنشور ١٠.

محيط القاعدة:

المساحة الجانبية:

١٥) مساحة السطح الكلية

مساحة السطح الكلية تشمل الأوجه الجانبية والقاعدتين.

لذلك:

وبالتعويض عن المساحة الجانبية:

١٦) مثال على مساحة السطح الكلية

منشور مساحة قاعدته ٢٠، ومحيط قاعدته ١٨، وارتفاعه ٦.

المساحة الجانبية:

مساحة القاعدتين:

المساحة الكلية:

١٧) الفرق بين الحجم ومساحة السطح

الحجم: يقيس الفراغ داخل المنشور.

مساحة السطح: تقيس المساحة الخارجية التي تغطي المجسم.

إذا قال السؤال: حجم، سعة، يتسع، فكر في الحجم.

إذا قال: تغليف، طلاء، مساحة خارجية، فكر في مساحة السطح.

١٨) منشور ثلاثي بقاعدة مثلث قائم

إذا كانت قاعدة المنشور مثلثًا قائمًا، فإن ضلعي الزاوية القائمة هما القاعدة والارتفاع للمثلث.

مثال

ضلعا المثلث القائم ٦ و٨، وارتفاع المنشور ٥.

مساحة القاعدة:

الحجم:

١٩) إذا كان محيط القاعدة معلومًا مباشرة

في سؤال المساحة الجانبية، لا تحتاج إلى معرفة شكل القاعدة إذا أعطاك السؤال محيطها مباشرة.

مثال

محيط القاعدة = ٢٢، وارتفاع المنشور = ٥.

٢٠) إذا كانت مساحة القاعدة معلومة مباشرة

في سؤال الحجم، لا تحتاج إلى معرفة أبعاد القاعدة إذا أعطاك السؤال مساحتها مباشرة.

مثال

مساحة القاعدة = ٢٥، وارتفاع المنشور = ٨.

٢١) الطلاء والتغليف

إذا كان المنشور مغلقًا ويراد تغليفه أو طلاؤه بالكامل، نستخدم مساحة السطح الكلية.

إذا كان المطلوب الجوانب فقط، نستخدم المساحة الجانبية.

٢٢) إذا كان أحد الوجهين القاعديين مفتوحًا

إذا كان المنشور مفتوحًا من إحدى القاعدتين، فإننا نحسب:

ولا نضيف القاعدة غير الموجودة.

٢٣) أثر تغيير ارتفاع المنشور فقط

إذا بقيت القاعدة نفسها وتضاعف ارتفاع المنشور، فإن الحجم يتضاعف.

كما تتضاعف المساحة الجانبية.

أما مساحة القاعدتين فتبقى ثابتة.

٢٤) تكبير المنشور كله

إذا ضُربت جميع الأطوال في العدد ك:

مساحات السطح تتغير بعامل:

والحجم يتغير بعامل:

٢٥) نسبة حجمي منشورين متشابهين

إذا كانت نسبة الأطوال المناظرة:

فنسبة الحجمين:

مثال

نسبة الأطوال = .

نسبة الحجمين:

٢٦) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — حجم مباشر

منشور مساحة قاعدته ٢٤ وارتفاعه ٧. ما حجمه؟

أ) ٣١
ب) ٤٨
ج) ١٦٨
د) ٣٣٦

مثال ٢ — منشور ثلاثي

قاعدة المثلث ١٠ وارتفاعه ٦، وارتفاع المنشور ٤. ما الحجم؟

أ) ٣٠
ب) ٦٠
ج) ١٢٠
د) ٢٤٠

مثال ٣ — ارتفاع مجهول

منشور حجمه ٣٢٠ ومساحة قاعدته ٤٠. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

مثال ٤ — المساحة الجانبية

منشور محيط قاعدته ١٥ وارتفاعه ٨. ما مساحته الجانبية؟

أ) ٢٣
ب) ٦٠
ج) ١٢٠
د) ٢٤٠

٢٧) سؤال قدرات بصيغة أذكى

منشور ثلاثي قاعدته مثلث قائم ضلعاه القائمان ٥ و١٢، وارتفاع المنشور ٤. إذا كان المطلوب مساحة السطح الكلية، فما قيمتها؟

أ) ١٢٠
ب) ١٥٠
ج) ١٨٠
د) ٢٤٠

٢٨) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين ارتفاع القاعدة وارتفاع المنشور.

الخطأ الثاني: حساب مساحة القاعدة فقط ونسيان ضربها في ارتفاع المنشور عند حساب الحجم.

الخطأ الثالث: استخدام قانون المكعب أو متوازي المستطيلات مع كل منشور دون النظر إلى شكل القاعدة.

الخطأ الرابع: الخلط بين المساحة الجانبية والمساحة الكلية.

الخطأ الخامس: نسيان أن للمنشور قاعدتين متطابقتين عند حساب مساحة السطح الكلية.

الخطأ السادس: عند سؤال المساحة الجانبية، استخدام مساحة القاعدة بدل محيطها.

٢٩) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: أي منشور ← الحجم = مساحة القاعدة × ارتفاع المنشور.

التكتيك الثاني: منشور ثلاثي ← احسب مساحة المثلث أولًا.

التكتيك الثالث: المساحة الجانبية ← محيط القاعدة × ارتفاع المنشور.

التكتيك الرابع: المساحة الكلية ← المساحة الجانبية + ضعفي مساحة القاعدة.

التكتيك الخامس: حجم ومساحة قاعدة معلومان ← الارتفاع = الحجم ÷ مساحة القاعدة.

التكتيك السادس: لا تخلط بين ارتفاع القاعدة وارتفاع المنشور.

التكتيك السابع: إذا أعطاك مساحة القاعدة مباشرة، لا تعِد حسابها.

٣٠) تدريب متدرج

سؤال ١

منشور مساحة قاعدته ١٥ وارتفاعه ٩. ما حجمه؟

أ) ٢٤
ب) ٦٠
ج) ١٣٥
د) ٢٧٠

سؤال ٢

منشور ثلاثي، قاعدة المثلث ٨ وارتفاعه ٣، وارتفاع المنشور ٦. ما حجمه؟

أ) ٢٤
ب) ٤٨
ج) ٧٢
د) ١٤٤

سؤال ٣

منشور حجمه ٢٠٠ ومساحة قاعدته ٢٥. ما ارتفاعه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٤

منشور محيط قاعدته ٢٢ وارتفاعه ٥. ما مساحته الجانبية؟

أ) ٢٧
ب) ٤٤
ج) ١١٠
د) ٢٢٠

سؤال ٥

منشور مساحة قاعدته ١٨ ومحيط قاعدته ٢٠ وارتفاعه ٤. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٨٠
ب) ٩٨
ج) ١١٦
د) ١٦٠

سؤال ٦

منشور ثلاثي قاعدته مثلث قائم ضلعاه القائمان ٦ و٨، وارتفاع المنشور ٥. ما حجمه؟

أ) ٦٠
ب) ١٢٠
ج) ٢٤٠
د) ٤٨٠

سؤال ٧

منشور قاعدته مستطيل أبعاده ٧ و٤، وارتفاع المنشور ٦. ما حجمه؟

أ) ٢٨
ب) ٨٤
ج) ١٦٨
د) ٣٣٦

سؤال ٨

حجم منشور ٣٦٠ وارتفاعه ٩. ما مساحة قاعدته؟

أ) ٢٠
ب) ٤٠
ج) ٤٥
د) ٩٠

سؤال ٩

منشور مساحته الجانبية ٩٠ وارتفاعه ٥. ما محيط قاعدته؟

أ) ١٨
ب) ٢٠
ج) ٤٥
د) ٩٥

سؤال ١٠

منشور مساحة سطحه الكلية ١٤٠ ومساحة قاعدته ٢٠. ما مساحته الجانبية؟

أ) ٨٠
ب) ١٠٠
ج) ١٢٠
د) ١٤٠

سؤال ١١

إذا تضاعف ارتفاع منشور وبقيت قاعدته كما هي، فماذا يحدث لحجمه؟

أ) يبقى نفسه
ب) يتضاعف
ج) يصبح ٤ أمثال
د) يصبح ٨ أمثال

سؤال ١٢

إذا تضاعفت جميع أبعاد منشور، فكم يصبح حجمه؟

أ) مثليه
ب) ٤ أمثاله
ج) ٦ أمثاله
د) ٨ أمثاله

سؤال ١٣

منشوران متشابهان نسبة أطوالهما المناظرة ٢:٣. ما نسبة حجميهما؟

أ) ٢:٣
ب) ٤:٩
ج) ٨:٢٧
د) ١٦:٨١

سؤال ١٤

منشور ثلاثي، مساحة قاعدته ٢٤، ومحيط قاعدته ١٨، وارتفاع المنشور ٥. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٩٠
ب) ١١٤
ج) ١٣٨
د) ١٨٠

٣١) ملخص الدرس

المنشور له قاعدتان متطابقتان ومتوازيتان.

قانون الحجم العام:

المساحة الجانبية:

مساحة السطح الكلية:

في المنشور الثلاثي، انتبه جيدًا إلى الفرق بين ارتفاع المثلث المستخدم في مساحة القاعدة وارتفاع المنشور المستخدم في الحجم.