١) ما هو المكعب؟

المكعب مجسم ثلاثي الأبعاد جميع أوجهه مربعات متطابقة، وجميع أحرفه متساوية في الطول.

إذا كان طول الحرف = س، فإن الطول والعرض والارتفاع كلها تساوي س.

٢) مكونات المكعب

للمكعب:

٦ أوجه مربعة.

١٢ حرفًا.

٨ رؤوس.

وجميع الأوجه متطابقة، وجميع الأحرف متساوية.

٣) حجم المكعب

الحجم يقيس مقدار الفراغ داخل المجسم.

قانون حجم المكعب:

مثال

مكعب طول حرفه ٥.

٤) مساحة الوجه الواحد

كل وجه من أوجه المكعب مربع طول ضلعه س.

إذن مساحة الوجه الواحد:

مثال

إذا كان طول الحرف ٤، فمساحة وجه واحد:

٥) مساحة السطح الكلية

للمكعب ٦ أوجه متطابقة.

لذلك:

مثال

مكعب طول حرفه ٣.

٦) المساحة الجانبية

المساحة الجانبية تعني مساحة الأوجه الأربعة المحيطة بالمكعب دون القاعدة والوجه العلوي.

لذلك:

مثال

طول الحرف ٦.

٧) الفرق بين الحجم ومساحة السطح

الحجم: يقيس الفراغ داخل المكعب.

مساحة السطح: تقيس المساحة الخارجية التي تغطيه.

الحجم بوحدات مكعبة، ومساحة السطح بوحدات مربعة.

٨) إيجاد طول الحرف من الحجم

إذا كان الحجم معلومًا، نبحث عن العدد الذي مكعبه يساوي الحجم.

مثال

حجم مكعب = ٦٤.

٩) إيجاد طول الحرف من مساحة السطح

من:

نقسم أولًا على ٦:

ثم:

مثال

مساحة سطح مكعب = ١٥٠.

١٠) إيجاد طول الحرف من المساحة الجانبية

إذا كانت المساحة الجانبية معلومة:

إذن:

مثال

المساحة الجانبية = ١٩٦.

١١) قطر وجه المكعب

كل وجه مربع، لذلك قطر الوجه يحسب بفيثاغورس.

مثال

طول الحرف = ٥.

١٢) القطر الفضائي للمكعب

القطر الفضائي يصل بين رأسين متقابلين في المكعب ويمر داخل المجسم.

قانون القطر الفضائي:

١٣) لماذا القطر الفضائي يساوي س في جذر ٣؟

نستخدم قطر أحد الأوجه أولًا:

ثم نكوّن مثلثًا قائمًا ضلعاه قطر الوجه وحرف المكعب:

إذن:

١٤) إيجاد الحرف من القطر الفضائي

إذا كان القطر الفضائي معلومًا:

مثال

القطر الفضائي = .

إذن طول الحرف = ٦.

١٥) مجموع أطوال أحرف المكعب

للمكعب ١٢ حرفًا متساويًا.

إذن مجموع أطوال الأحرف:

مثال

مكعب حرفه ٤.

هذه الفكرة مفيدة في أسئلة الهيكل السلكي أو الإطار.

١٦) إذا تساوت القيمة العددية للحجم ومساحة السطح

إذا أعطى السؤال أن القيمة العددية لحجم المكعب تساوي القيمة العددية لمساحة سطحه:

ولأن طول الحرف موجب:

تكتيك

هذه مسألة قصيرة جدًا إذا كتبت القانونين مباشرة ثم اختصرت .

١٧) إذا تضاعف طول الحرف

إذا تضاعف طول الحرف:

مساحة السطح تصبح:

أمثال.

والحجم يصبح:

أمثال.

١٨) قاعدة التكبير العامة

إذا ضُرب طول الحرف في العدد ك:

الأطوال تتغير بالعامل:

مساحات الأسطح تتغير بالعامل:

الحجوم تتغير بالعامل:

١٩) نسبة حجمي مكعبين

إذا كانت نسبة طولي الحرفين:

فنسبة الحجمين:

مثال

نسبة الحرفين = .

نسبة الحجمين:

٢٠) نسبة مساحتي سطحي مكعبين

إذا كانت نسبة الحرفين:

فنسبة مساحتي السطح:

مثال

نسبة الحرفين = .

نسبة مساحتي السطح:

٢١) عدد المكعبات الصغيرة داخل مكعب كبير

إذا كان طول حرف المكعب الكبير = ك، والصغير = ص، وكان الكبير يقبل التقسيم تمامًا:

مثال

مكعب كبير حرفه ٦، وصغير حرفه ٢.

عدد المكعبات على كل اتجاه:

العدد الكلي:

٢٢) طريقة أخرى لعدد المكعبات الصغيرة

إذا كانت المكعبات تملأ الكبير دون فراغات، يمكن استخدام نسبة الحجوم:

وتعطي النتيجة نفسها.

٢٣) الطلاء والتغليف

إذا قال السؤال: طلاء المكعب من الخارج بالكامل، أو تغليفه بالكامل، فالمطلوب مساحة السطح الكلية.

مثال

مكعب حرفه ١٠.

٢٤) إذا لم تُغطَّ جميع الأوجه

إذا كان وجه واحد غير مطلي أو غير مغطى، فلا تستخدم مساحة السطح الكلية كما هي.

احسب عدد الأوجه المطلوبة فقط.

مثال

مكعب حرفه ٤، نريد طلاء ٥ أوجه فقط.

٢٥) من مساحة السطح إلى الحجم

إذا كانت مساحة السطح معلومة والمطلوب الحجم:

١. اقسم المساحة على ٦.

٢. خذ الجذر التربيعي لإيجاد الحرف.

٣. كعّب الحرف.

مثال

مساحة السطح = ٩٦.

٢٦) من الحجم إلى مساحة السطح

إذا كان الحجم معلومًا:

١. أوجد الجذر التكعيبي للحجم.

٢. استخدم .

مثال

الحجم = ١٢٥.

الحرف = ٥.

٢٧) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — الحجم

مكعب طول حرفه ٤. ما حجمه؟

أ) ١٦
ب) ٢٤
ج) ٤٨
د) ٦٤

مثال ٢ — مساحة السطح

مكعب طول حرفه ٥. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٢٥
ب) ٣٠
ج) ١٢٥
د) ١٥٠

مثال ٣ — الحرف من الحجم

مكعب حجمه ٢١٦. ما طول حرفه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

مثال ٤ — القطر الفضائي

مكعب طول حرفه ٤. ما قطره الفضائي؟

أ)
ب)
ج)
د)

٢٨) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مكعب إذا تضاعف طول حرفه، فما نسبة مساحة سطحه الجديدة إلى مساحته الأصلية، وما نسبة حجمه الجديد إلى حجمه الأصلي؟

أ) ٢ ، ٢
ب) ٢ ، ٤
ج) ٤ ، ٨
د) ٨ ، ٤

٢٩) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: الخلط بين الحجم ومساحة السطح.

الخطأ الثاني: استخدام للحجم بدل .

الخطأ الثالث: اعتبار مساحة الوجه الواحد هي مساحة السطح الكلية ونسيان ضربها في ٦.

الخطأ الرابع: عند معرفة الحجم، أخذ الجذر التربيعي بدل الجذر التكعيبي.

الخطأ الخامس: الخلط بين قطر الوجه والقطر الفضائي .

الخطأ السادس: الاعتقاد أن مضاعفة الحرف تجعل الحجم يتضاعف فقط؛ الصحيح أن الحجم يصبح ٨ أمثال.

الخطأ السابع: استخدام وحدات مربعة للحجم أو وحدات مكعبة لمساحة السطح.

٣٠) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: حجم مكعب ← .

التكتيك الثاني: مساحة سطح أو طلاء أو تغليف كامل ← .

التكتيك الثالث: مساحة جانبية فقط ← .

التكتيك الرابع: حجم معلوم ← الجذر التكعيبي يعطي الحرف.

التكتيك الخامس: مساحة سطح معلومة ← اقسم على ٦ ثم خذ الجذر التربيعي.

التكتيك السادس: قطر وجه ← ، قطر فضائي ← .

التكتيك السابع: تغيير الحرف بعامل ك ← المساحة بعامل والحجم بعامل .

التكتيك الثامن: عدد مكعبات صغيرة داخل كبير ← عددها على حرف واحد ثم كعّب الناتج.

٣١) تدريب متدرج

سؤال ١

مكعب طول حرفه ٢. ما حجمه؟

أ) ٤
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٢

سؤال ٢

مكعب طول حرفه ٧. ما مساحة سطحه الكلية؟

أ) ٤٩
ب) ٩٨
ج) ٢٩٤
د) ٣٤٣

سؤال ٣

مكعب طول حرفه ٦. ما مساحته الجانبية؟

أ) ٣٦
ب) ١٠٨
ج) ١٤٤
د) ٢١٦

سؤال ٤

مكعب حجمه ٢١٦. ما طول حرفه؟

أ) ٤
ب) ٥
ج) ٦
د) ٨

سؤال ٥

مكعب مساحة سطحه ٣٨٤. ما طول حرفه؟

أ) ٦
ب) ٨
ج) ١٠
د) ١٢

سؤال ٦

مكعب طول حرفه ٥. ما قطر أحد أوجهه؟

أ)
ب)
ج) ١٠
د)

سؤال ٧

مكعب طول حرفه ٥. ما قطره الفضائي؟

أ)
ب)
ج) ١٥
د)

سؤال ٨

القطر الفضائي لمكعب = . ما طول حرفه؟

أ) ٣
ب) ٦
ج) ٩
د) ٢٧

سؤال ٩

مكعب طول حرفه ٤. ما مجموع أطوال أحرفه الاثني عشر؟

أ) ١٦
ب) ٢٤
ج) ٤٨
د) ٦٤

سؤال ١٠

إذا كانت القيمة العددية لحجم مكعب مساوية للقيمة العددية لمساحة سطحه، فما طول حرفه؟

أ) ٣
ب) ٤
ج) ٦
د) ١٢

سؤال ١١

إذا تضاعف طول حرف مكعب، فكم مرة تصبح مساحة سطحه؟

أ) مرتين
ب) ٤ مرات
ج) ٦ مرات
د) ٨ مرات

سؤال ١٢

إذا أصبح طول حرف مكعب ثلاثة أمثاله، فكم مرة يصبح حجمه؟

أ) ٣ مرات
ب) ٩ مرات
ج) ١٨ مرة
د) ٢٧ مرة

سؤال ١٣

مكعب كبير حرفه ٨، ومكعب صغير حرفه ٢. كم مكعبًا صغيرًا يلزم لتكوين الكبير؟

أ) ٤
ب) ١٦
ج) ٣٢
د) ٦٤

سؤال ١٤

مكعب مساحة سطحه ٩٦. ما حجمه؟

أ) ١٦
ب) ٣٢
ج) ٦٤
د) ٩٦

٣٢) ملخص الدرس

المكعب له ٦ أوجه مربعة، و١٢ حرفًا، و٨ رؤوس.

أهم القوانين:

إذا تغير طول الحرف بعامل ك، فإن مساحة السطح تتغير بعامل والحجم بعامل .