دليل منهج اختبار القدرات
المقارنة بين الكسور
اقرأ الفكرة والمثال، ثم تابع الشرح على مهل.
الفكرة
لمقارنة كسرين نختار أسرع طريقة بحسب شكلهما: المقام المتساوي، البسط المتساوي، توحيد المقامات، المقارنة بالنصف أو الواحد، أو الضرب التبادلي.
مثال
لمقارنة \frac{٢}{٣} و\frac{٣}{٥}: ٢\times٥=١٠ و٣\times٣=٩، لذلك \frac{٢}{٣}\gt\frac{٣}{٥}.
الشرح المفصّل
١) الفكرة الأساسية
عند المقارنة بين كسرين، لا ننظر إلى البسط وحده دائمًا، ولا إلى المقام وحده دائمًا.
الكسر يتكوّن من:
البسط: العدد في الأعلى.
المقام: العدد في الأسفل.
مثال:
في ، البسط هو ٣، والمقام هو ٤.
والمعنى:
يعني ٣ أجزاء من أصل ٤ أجزاء متساوية.
٢) متى أستخدم المقارنة بين الكسور؟
استخدمها عندما يطلب السؤال:
أي الكسرين أكبر؟
أي الكسرين أصغر؟
رتّب الكسور.
قارن بين كسرين.
اختر الأكبر أو الأصغر.
ضع علامة > أو < أو =.
كلمات مهمة: أكبر، أصغر، قارن، رتّب، تصاعديًا، تنازليًا، الأقرب إلى ١، الأقرب إلى
٣) إذا كان المقامان متساويين
إذا كان للكسرين نفس المقام، فإننا نقارن البسطين فقط.
الكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر.
مثال:
قارن بين:
و
المقامان متساويان ٨، فنقارن البسطين:
٥ > ٣
إذن:
٤) إذا كان البسطان متساويين
إذا كان للكسرين نفس البسط، فإن الكسر ذا المقام الأصغر هو الأكبر.
لأن تقسيم الشيء إلى أجزاء أقل يجعل كل جزء أكبر.
مثال:
قارن بين:
و
البسطان متساويان ٣.
نقارن المقامين:
٤ < ٧
إذن الجزء من ٤ أكبر من الجزء من ٧.
لذلك:
٥) إذا اختلف البسط والمقام
إذا اختلف البسط والمقام، فهناك أكثر من طريقة للمقارنة.
أشهر طريقتين:
توحيد المقامات.
الضرب التبادلي.
مثال:
قارن بين:
و
هنا البسط مختلف والمقام مختلف، لذلك نستخدم الضرب التبادلي.
٦) طريقة الضرب التبادلي
للمقارنة بين:
و
نضرب تبادليًا:
و:
ثم نقارن الناتجين.
مثال:
قارن بين:
و
نضرب:
و:
بما أن:
١٠ > ٩
إذن:
٧) طريقة توحيد المقامات
يمكن أيضًا توحيد المقامات ثم المقارنة.
مثال:
قارن بين:
و
المقام المشترك بين ٢ و ٣ هو ٦.
نحوّل:
و:
الآن نقارن:
إذن:
٨) المقارنة باستخدام النصف
أحيانًا نستطيع المقارنة بسرعة من خلال معرفة هل الكسر أكبر من النصف أو أصغر من النصف.
مثال:
قارن بين:
و
نقارن كل كسر بالنصف.
نصف ٧ هو ٣٫٥، والبسط ٣، إذن:
أقل من النصف.
نصف ٩ هو ٤٫٥، والبسط ٤، إذن:
أقل من النصف أيضًا.
هنا كلاهما أقل من النصف، فنحتاج طريقة أدق مثل الضرب التبادلي.
لكن في مثال آخر:
و
أكبر من النصف، لأن ٥ أكبر من نصف ٨.
أصغر من النصف، لأن ٣ أقل من نصف ٧.
إذن مباشرة:
٩) المقارنة بالكسر القريب من الواحد
إذا كان الكسران قريبين من ١، يمكن المقارنة بما ينقص كل كسر ليصل إلى ١.
مثال:
قارن بين:
و
نلاحظ:
ينقصه ليصبح ١.
و:
ينقصه ليصبح ١.
وبما أن:
فإن أقرب إلى ١، وبالتالي هو الأكبر.
إذن:
١٠) المقارنة بين كسر اعتيادي وكسر عشري
إذا كان أحد العددين كسرًا اعتياديًا والآخر كسرًا عشريًا، نحول أحدهما إلى صورة الآخر.
مثال:
قارن بين:
و ٠٫٦
نعرف أن:
إذن:
٠٫٥ < ٠٫٦
لذلك:
١١) أمثلة محلولة مع اختيارات
مثال ١
أي الكسرين أكبر؟
و
أ)
ب)
ج) الكسران متساويان
د) لا يمكن المقارنة
الحل:
المقامان متساويان، فنقارن البسطين:
٧ > ٥
إذن:
هو الأكبر.
الإجابة الصحيحة: ب) .
مثال ٢
أي الكسرين أكبر؟
و
أ)
ب)
ج) الكسران متساويان
د) لا يمكن المقارنة
الحل:
البسطان متساويان.
عند تساوي البسطين، يكون الكسر ذو المقام الأصغر أكبر.
والمقام ٥ أصغر من ٧، إذن:
الإجابة الصحيحة: أ) .
مثال ٣
قارن بين:
و
أ)
ب)
ج)
د) لا يمكن المقارنة
الحل:
نستخدم الضرب التبادلي:
و:
بما أن:
٨ < ٩
إذن:
الإجابة الصحيحة: ب) .
مثال ٤
أي الكسور التالية هو الأكبر؟
أ)
ب)
ج)
د)
الحل:
كل الكسور لها نفس المقام ٥، إذن نقارن البسط فقط.
أكبر بسط هو ٤.
إذن أكبر كسر هو:
الإجابة الصحيحة: ب) .
١٢) سؤال قدرات بصيغة أذكى
أي الكسرين أكبر؟
و
أ)
ب)
ج) الكسران متساويان
د) لا يمكن المقارنة
الحل:
الكسران قريبان من ١.
ينقصه ليصل إلى ١.
و:
ينقصه ليصل إلى ١.
وبما أن:
فإن أقرب إلى ١، فهو الأكبر.
الإجابة الصحيحة: ب) .
١٣) مثال مهم: الترتيب التصاعدي
رتّب الكسور التالية تصاعديًا:
، ،
أ)
ب)
ج)
د)
الحل:
نحوّل إلى مقامات مشتركة أو نستخدم المعرفة السريعة:
إذن الترتيب من الأصغر إلى الأكبر:
الإجابة الصحيحة: أ) .
١٤) مثال مهم: المقارنة مع النصف
أي الكسور التالية أكبر من ؟
أ)
ب)
ج)
د)
الحل:
نقارن كل بسط بنصف المقام.
في : نصف ٥ هو ٢٫٥، والبسط ٢، إذن أصغر من النصف.
في : نصف ٨ هو ٤، والبسط ٣، إذن أصغر من النصف.
في : نصف ٧ هو ٣٫٥، والبسط ٤، إذن أكبر من النصف.
في : نصف ١٢ هو ٦، والبسط ٥، إذن أصغر من النصف.
الإجابة الصحيحة: ج) .
١٥) مثال مهم: كسر عشري وكسر اعتيادي
قارن بين:
٠٫٧٥ و
أ)
ب)
ج)
د) لا يمكن المقارنة
الحل:
نعرف أن:
٠٫٧٥ =
فنقارن بين:
و
نستخدم الضرب التبادلي:
و:
بما أن:
إذن:
أي:
الإجابة الصحيحة: أ) .
١٦) الأخطاء الشائعة
الخطأ الأول: الاعتقاد أن الكسر صاحب المقام الأكبر هو الأكبر دائمًا.
مثلًا أصغر من ، رغم أن ٨ أكبر من ٤.
الخطأ الثاني: مقارنة البسط فقط عند اختلاف المقامات.
لا يجوز أن نقول إن أكبر من فقط لأن .
الخطأ الثالث: نسيان أن المقام الأصغر يعطي جزءًا أكبر إذا تساوى البسط.
الخطأ الرابع: الخطأ في اتجاه علامة المقارنة بعد الضرب التبادلي.
الخطأ الخامس: الخلط بين الترتيب التصاعدي والتنازلي.
التصاعدي يعني من الأصغر إلى الأكبر، والتنازلي يعني من الأكبر إلى الأصغر.
١٧) حيل سريعة
الحيلة الأولى: إذا تساوت المقامات، فقارن البسطين.
الحيلة الثانية: إذا تساوت البسوط، فالمقام الأصغر يعطي الكسر الأكبر.
الحيلة الثالثة: إذا اختلف كل شيء، استخدم الضرب التبادلي.
الحيلة الرابعة: قارن بالنصف إذا كان ذلك واضحًا.
الحيلة الخامسة: إذا كان الكسران قريبين من ١، فانظر إلى مقدار النقص عن ١.
١٨) تدريب سريع
سؤال ١
أي الكسرين أكبر؟
و
أ)
ب)
ج) متساويان
د) لا يمكن المقارنة
الإجابة: ب) .
سؤال ٢
أي الكسرين أكبر؟
و
أ)
ب)
ج) متساويان
د) لا يمكن المقارنة
الإجابة: أ) .
سؤال ٣
قارن بين:
و
أ)
ب)
ج)
د) لا يمكن المقارنة
الإجابة: ب) .
سؤال ٤
أي الكسور التالية أصغر؟
أ)
ب)
ج)
د)
الإجابة: د) .
١٩) ملخص الدرس
المقارنة بين الكسور تعتمد على شكل الكسرين. إذا تساوت المقامات، نقارن البسوط. وإذا تساوت البسوط، فالكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر. وإذا اختلف البسط والمقام، نستخدم توحيد المقامات أو الضرب التبادلي. يمكن أحيانًا استخدام النصف أو القرب من الواحد للمقارنة بسرعة. أهم ما يجب تجنبه هو مقارنة البسط وحده أو المقام وحده عند اختلاف المقامات.