١) ما هو المضلع؟

المضلع شكل مغلق يتكوّن من أضلاع مستقيمة.

ومن أشهر المضلعات:

المثلث: ٣ أضلاع.

الرباعي: ٤ أضلاع.

الخماسي: ٥ أضلاع.

السداسي: ٦ أضلاع.

السباعي: ٧ أضلاع.

الثماني: ٨ أضلاع.

التساعي: ٩ أضلاع.

العشاري: ١٠ أضلاع.

٢) المضلع المنتظم

المضلع المنتظم هو مضلع تتساوى فيه جميع الأضلاع وتتساوى فيه جميع الزوايا الداخلية.

لماذا كلمة «منتظم» مهمة؟

لأن معرفة مجموع الزوايا الداخلية وحدها لا تعني أن كل زاوية لها القياس نفسه.

لا نقسم مجموع الزوايا على عدد الأضلاع لإيجاد زاوية واحدة إلا إذا كان المضلع منتظمًا.

٣) لماذا قانون مجموع الزوايا هو ن - ٢؟

إذا اخترنا رأسًا واحدًا في مضلع له ن أضلاع، ثم رسمنا الأقطار الممكنة من هذا الرأس، فإن المضلع ينقسم إلى:

مثلثات.

وبما أن مجموع زوايا كل مثلث يساوي ، فإن مجموع الزوايا الداخلية للمضلع:

٤) مجموع الزوايا الداخلية

إذا كان عدد أضلاع المضلع ن:

مثال

مضلع سداسي:

إذن:

٥) قيم مهمة تستحق الحفظ

المثلث: .

الرباعي: .

الخماسي: .

السداسي: .

الثماني: .

العشاري: .

تكتيك

الحفظ مفيد للسرعة، لكن القانون يكفي إذا نسيت أي قيمة.

٦) إيجاد زاوية مجهولة في مضلع غير منتظم

في المضلع غير المنتظم، احسب مجموع الزوايا أولًا ثم اطرح الزوايا المعطاة.

مثال

زوايا خماسي هي:

مجموع زوايا الخماسي:

مجموع الزوايا المعروفة:

إذن:

٧) الزاوية الداخلية في المضلع المنتظم

بما أن جميع الزوايا متساوية، نقسم مجموع الزوايا الداخلية على عدد الأضلاع:

مثال

الخماسي المنتظم:

٨) زوايا المضلعات المنتظمة المشهورة

المثلث المتطابق الأضلاع: .

المربع: .

الخماسي المنتظم: .

السداسي المنتظم: .

الثماني المنتظم: .

العشاري المنتظم: .

٩) مجموع الزوايا الخارجية

إذا أخذنا زاوية خارجية واحدة عند كل رأس وبالاتجاه نفسه، فإن مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع يساوي:

مهم

هذه القاعدة لا تشترط أن يكون المضلع منتظمًا.

١٠) الزاوية الخارجية في المضلع المنتظم

في المضلع المنتظم تكون الزوايا الخارجية متساوية، لذلك:

مثال

السداسي المنتظم:

١١) العلاقة بين الزاوية الداخلية والخارجية

الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية المجاورة لها على امتداد ضلع تقعان على مستقيم، لذلك:

مثال

إذا كانت الخارجية :

١٢) إيجاد عدد الأضلاع من الزاوية الخارجية

في المضلع المنتظم:

مثال

مضلع منتظم زاويته الخارجية .

إذن له ١٢ ضلعًا.

١٣) إيجاد عدد الأضلاع من الزاوية الداخلية

إذا كانت الزاوية الداخلية معلومة، يمكن أولًا إيجاد الخارجية:

ثم:

مثال

زاوية داخلية لمضلع منتظم = .

الخارجية:

إذن:

١٤) إيجاد عدد الأضلاع من مجموع الزوايا الداخلية

إذا كان مجموع الزوايا الداخلية معلومًا، استخدم:

مثال

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع = .

١٥) القطر في المضلع

القطر قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع.

من رأس واحد

من أي رأس لا يمكن رسم قطر إلى الرأس نفسه ولا إلى الرأسين المجاورين له، لذلك:

مثال

في مضلع ثماني:

أقطار من رأس واحد.

١٦) عدد الأقطار في المضلع كله

إذا حسبنا الأقطار من كل رأس، فكل قطر سيُحسب مرتين؛ مرة من كل طرف.

لذلك:

مثال

السداسي:

أقطار.

١٧) الربط بين الأقطار وعدد المثلثات

من رأس واحد في مضلع من ن أضلاع:

عدد الأقطار المنطلقة من الرأس = .

عدد المثلثات الناتجة عن تقسيم المضلع من الرأس نفسه = .

مثال

في السداسي:

الأقطار من رأس واحد = .

عدد المثلثات الناتجة = .

١٨) معلومات مهمة عن السداسي المنتظم

السداسي المنتظم من الأشكال التي تتكرر في أسئلة القدرات.

عدد أقطاره الكلي:

من هذه الأقطار:

٣ أقطار كبيرة تمر بمركز السداسي.

٦ أقطار أقصر لا تمر بالمركز.

١٩) أطوال أقطار السداسي المنتظم

إذا كان طول ضلع السداسي المنتظم = س:

القطر الكبير المار بالمركز:

القطر الأقصر:

مثال

سداسي منتظم طول ضلعه ٥.

القطر الكبير:

القطر الأقصر:

٢٠) مساحة السداسي المنتظم

إذا كان طول الضلع = س:

مثال

إذا كان طول ضلع السداسي المنتظم ٢:

ملاحظة

يمكن فهم هذا القانون لاحقًا من تقسيم السداسي المنتظم إلى ٦ مثلثات متطابقة الأضلاع.

٢١) طريق أسرع للمقارنة بين الداخلية والخارجية

في المضلع المنتظم:

كلما زاد عدد الأضلاع، صغرت الزاوية الخارجية واقتربت الزاوية الداخلية من .

مثال

الخارجية في السداسي = .

الخارجية في العشاري = .

إذن الداخلية في العشاري أكبر.

٢٢) أمثلة محلولة مع اختيارات

مثال ١ — مجموع الزوايا

ما مجموع الزوايا الداخلية لمضلع ثماني؟

أ) ٧٢٠°
ب) ٩٠٠°
ج) ١٠٨٠°
د) ١٢٦٠°

مثال ٢ — زاوية داخلية

ما قياس الزاوية الداخلية في سداسي منتظم؟

أ) ٩٠°
ب) ١٠٨°
ج) ١٢٠°
د) ١٣٥°

مثال ٣ — زاوية خارجية

ما قياس الزاوية الخارجية في خماسي منتظم؟

أ) ٦٠°
ب) ٧٢°
ج) ٩٠°
د) ١٠٨°

مثال ٤ — عدد الأقطار

كم عدد أقطار مضلع سباعي؟

أ) ٧
ب) ١٢
ج) ١٤
د) ١٦

٢٣) سؤال قدرات بصيغة أذكى

مضلع منتظم زاويته الداخلية . كم عدد أقطاره؟

أ) ٢٥
ب) ٣٠
ج) ٣٥
د) ٤٠

٢٤) الأخطاء الشائعة

الخطأ الأول: استخدام ٣٦٠° كمجموع الزوايا الداخلية لكل مضلع.

الخطأ الثاني: قسمة مجموع الزوايا على عدد الأضلاع رغم أن المضلع غير منتظم.

الخطأ الثالث: الخلط بين قانون مجموع الزوايا وقانون عدد الأقطار .

الخطأ الرابع: نسيان القسمة على ٢ في قانون عدد الأقطار الكلي.

الخطأ الخامس: الخلط بين عدد الأقطار من رأس واحد وعدد المثلثات الناتجة .

الخطأ السادس: اعتبار الزاوية الخارجية في مضلع منتظم مساوية للداخلية؛ الصحيح أن مجموعهما .

الخطأ السابع: الخلط بين القطر الكبير والقطر الأقصر في السداسي المنتظم.

٢٥) تكتيكات القدرات

التكتيك الأول: مجموع الداخلية؟ اذهب مباشرة إلى .

التكتيك الثاني: إذا رأيت كلمة «منتظم»، تذكر أن الزوايا متساوية.

التكتيك الثالث: زاوية خارجية منتظمة معلومة؟ عدد الأضلاع = ٣٦٠ ÷ الخارجية.

التكتيك الرابع: زاوية داخلية منتظمة معلومة؟ أوجد الخارجية أولًا من ١٨٠ ثم احسب عدد الأضلاع.

التكتيك الخامس: مجموع الزوايا معلوم؟ كوّن معادلة .

التكتيك السادس: الأقطار من رأس واحد = ن - ٣، والأقطار كلها = .

التكتيك السابع: في السداسي المنتظم احفظ أن عدد الأقطار ٩: ثلاثة كبيرة وستة أقصر.

التكتيك الثامن: لا تحفظ كل الزوايا؛ يكفي أن تحفظ بعض القيم المشهورة وتعرف القانون.

٢٦) تدريب متدرج

سؤال ١

ما مجموع الزوايا الداخلية لخماسي؟

أ) ٣٦٠°
ب) ٤٥٠°
ج) ٥٤٠°
د) ٧٢٠°

سؤال ٢

ما مجموع الزوايا الداخلية لسباعي؟

أ) ٧٢٠°
ب) ٩٠٠°
ج) ١٠٨٠°
د) ١٢٦٠°

سؤال ٣

ما الزاوية الداخلية في ثماني منتظم؟

أ) ١٢٠°
ب) ١٣٥°
ج) ١٤٠°
د) ١٥٠°

سؤال ٤

ما الزاوية الخارجية في عشاري منتظم؟

أ) ٣٠°
ب) ٣٦°
ج) ٤٠°
د) ٤٥°

سؤال ٥

مضلع منتظم زاويته الخارجية ٤٥°. كم عدد أضلاعه؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ٩

سؤال ٦

مضلع منتظم زاويته الداخلية ١٢٠°. كم عدد أضلاعه؟

أ) ٥
ب) ٦
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٧

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع = ١٢٦٠°. كم عدد أضلاعه؟

أ) ٧
ب) ٨
ج) ٩
د) ١٠

سؤال ٨

كم قطرًا يمكن رسمه من رأس واحد في عشاري؟

أ) ٦
ب) ٧
ج) ٨
د) ١٠

سؤال ٩

كم عدد أقطار ثماني؟

أ) ١٦
ب) ٢٠
ج) ٢٤
د) ٢٨

سؤال ١٠

سداسي منتظم طول ضلعه ٧. ما طول القطر الكبير المار بالمركز؟

أ) ٧
ب)
ج) ١٤
د) ٢١

سؤال ١١

سداسي منتظم طول ضلعه ٤. ما طول القطر الأقصر؟

أ)
ب)
ج) ٨
د)

سؤال ١٢

ما مساحة سداسي منتظم طول ضلعه ٢؟

أ)
ب)
ج)
د)

سؤال ١٣

خماسي زواياه ٩٥°، ١١٠°، ١٢٠°، ١٠٥°، س. فما س؟

أ) ١٠٠°
ب) ١٠٥°
ج) ١١٠°
د) ١٢٠°

سؤال ١٤

أي العبارات التالية صحيحة لمضلع منتظم؟

أ) الزاوية الداخلية = الخارجية دائمًا
ب) الداخلية + الخارجية = ١٨٠°
ج) مجموع الزوايا الخارجية = ١٨٠°
د) عدد الأقطار = ن - ٣ دائمًا

٢٧) ملخص الدرس

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع من ن أضلاع هو . وإذا كان المضلع منتظمًا، فقسّم المجموع على ن لإيجاد الزاوية الداخلية الواحدة.

مجموع الزوايا الخارجية يساوي دائمًا ، وفي المضلع المنتظم تكون الخارجية الواحدة ، والداخلية والخارجية المجاورتان مجموعهما .

عدد الأقطار من رأس واحد = ، وعدد الأقطار في المضلع كله = . وفي السداسي المنتظم توجد ٩ أقطار: ٣ كبيرة تمر بالمركز و٦ أقصر، وطول القطر الكبير = ضعفي الضلع، والأقصر = × الضلع.